1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,第8章 常微分方程,高等数学A,8.2 一阶微分方程8.2.2 齐次方程8.2.3 一阶线性微分方程,8.2 一阶微分方程 8.2.2 齐次方程 8.2.3 一阶线性微分方程,可化为齐次方程的方程,齐次方程,基本形式和求解方法,例题,基本形式和解法,例 题,一阶线性微分方程题解,基本形式,例题,习题,一阶齐次线性方程的解法,一阶非齐次线性方程的解法,8.2.1可分离变量的方程（复习上次课的相关内容）,一阶微分方程,8.2.2 齐次方程,8.2.3 一阶线性微分方程,习 题,由光的反射定律:,可得 OMA = OAM = ,模型1 探照灯的聚光镜面是一张
2、旋转曲面, 它的形状由,解: 将光源所在点取作坐标原点,并设,入射角 = 反射角,能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线，,xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 ,按聚光性,经它反射后都与旋转轴平行.,求曲线 L 的方程.,于是方程化为,(齐次方程),从而 AO = OM,而 AO,于是得微分方程 :,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,齐次方程的定义和解法,的微分方程称为齐次方程.,2. 解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,齐次方程的定义和解法,例 1 求解微分方程,例2 解微分方程,例 3 求解微分方程,例 ,例 ,
3、例 ,例 1 求解微分方程,微分方程的解为,解,例题,例2. 解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,例 3 求解微分方程,解,例题,微分方程的解为,例题,于是，原方程化为,两边积分，得,即,例 4,解：,例,原方程可化为,代入原方程得,解：,即,所以通解为,例6,原方程可化为,代入上述方程得,解,即,分离变量并积分得,可化为齐次的方程,（其中h和k是待定的常数）,2.解法,定义,有唯一一组解.,得通解代回,未必有解, 上述方法不能用.,可化为齐次的
4、方程,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量.,可化为齐次的方程,例,例,解,代入原方程得,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,例,解,分离变量并积分得,于是，原方程变为,联立方程组,解之，得,例,解,两边积分，得,即,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0,模型2. 有一电路如图所示,电阻 R 和电,解: 列方程 .,已知经过电阻 R 的电压降为R i,经过 L的电压降为,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感 L 都是常量,如何解方程？,因此有,即,初始条件:,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一阶线性微分方程的标准形式,例如
5、,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性齐次微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,一阶线性非齐次微分方程的解法,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,一阶线性非齐次微分方程的解法,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,一阶线性非齐次微分方程的解法,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,因此所求电流函数为,解的意义:,例10,例13 用适当的变量代换解下列微分方程:,例11,
6、例12,一阶线性微分方程的例题,解,例10,例11. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,一阶线性微分方程的例题,例12,原方程可以改写为,这是一个以 x 为自变量的非线性方程.,把 x 看着y的函数，该方程进一步变形为,这是一个以 x 为函数y为自变量的一阶线性方程.,解,整理得原方程的通解,解,分离变量法得,所求通解为,例13 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,例14. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h,一鸭子从点 A 游向点,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,提示: 如图所示建立坐标系.,设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b,求鸭子游动的轨迹方程 .,O ,水流速度大小为 a ,两岸,则,定解条件,由此得微分方程,即,鸭子的实际运动速度为,( 自己求解 ),( 齐次方程 ),思考题,已知 ，求 .,
