1、1/18/2019 1:06 PM,*7.6 一阶和二阶常系数线性差分方程,1. 一阶常系数线性差分方程,2. 二阶常系数线性差分方程,1/18/2019 1:06 PM,1. 一阶常系数线性差分方程,第7章 微分方程与差分方程,的方程称为一阶常系数线性差分方程。,形如,为已知函数，,其中,为未知函数，,当,时，,方程（1）称为非齐次的；,当,时，,方程（1）称为齐次的。,1/18/2019 1:06 PM,一阶常系数线性差分方程的解法,第7章 微分方程与差分方程,1）齐次方程 的解法,设 已知，,中得,这种解法称为迭代法。,将 依次代人,一般地，,可以验证，,满足差分方程，,因此是差分方程的
2、解,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,2）一般解法,即,若 是方程（1）的一个特解，,它与方程（1）相减得,由前面知，,令 ，,即 是对应齐次方程的解，,也是齐次方程的解,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,而 是非齐次方程的一个特解，,因此是,是齐次方程的通解，,故 是,由通解的定义知，,非齐次方程的解，,而且含有任意常数，,非齐次方程（1）的通解。,非齐次方程,通解,齐次方程的通解,非齐次方程的特解,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,代人方程中得,特解，,设 是此方程的一个特解，,称为特征方程，,因此
3、是它的通解,首先求齐次方程 的通解,其根,称为特征根，,故 是此齐次方程的一个,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,方程转化为,再求非齐次方程 的特解,代人方程得,利用迭代法,设给定初值 ，,依次将,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,因此猜想方程的解为,当 时，,当 时，,可以验证在这两种情况下 均为方程的解。,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,的特解。,当 时，,利用待定系数法,设方程具有 形式,取 ，,代人方程得,所以方程的特解为,又因对应的齐次方程的通解为,故此方程的通解为,1/18/2019 1:0
4、6 PM,第7章 微分方程与差分方程,当 时，,取 ，,对应的齐次方程的通解为 ，,通解为,将 代人方程得,此时方程的特解为 ，,而当 时，,故此方程的,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,例1 求差分方程 的通解,解,代人 式得通解,由题意,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,的特解,方程转化为,利用待定系数法,设方程具有形如,当 时，,取 ，,即 ，,代人方程得,于是,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,当 时，,通解为,当 时，,通解为,取 ，,取 ，,（自己推出）,1/18/2019 1:06 PM,第
5、7章 微分方程与差分方程,例2 求差分方程 的通解,解,代人 式得通解,由题意,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,的特解。,方程转化为,设方程具有形如,当 时，,取 ，,代人方程，,得到方程的特解。,将,比较同次系数，,确定出,对于 是一般的 次多项,式的情况可类似求解。,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,当 时，,取 ，,此时将,代人方程，,得到方程的特解。,比较同次系数，,确定出,这种情况下，,方程的左端为,方程为 ，,可将 化成 的形式,求出它的一个特解。,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,例3 求
6、差分方程 的通解,解,比较系数得,设 ，,代人原方程,原方程的特解为,对应齐次方程的通解为 ，,故原方程的通解,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,例4 求差分方程 的通解,解,而,方程转化为,通解为,故,所以,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,例5 在农业生产中，种植先于产出及产,品的出售一个适当的时期，,时期该产品的价,格 决定着生产者在下一时期愿意在市场上,提供的产量 ，,还决定着本期该产品的需,求量 ，,因此有,求价格随时间变化的规律。,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,解 假设在每一时期中价格总是
7、确定在,市场出清的水平上，,即 ，,得差分方程,因此得到,由于,所以 ，,故方程是形如（2）的方程，,按 求解。,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,于是，,对应的齐次方程的通解为 ，,当 时，,通解为,方程的特解为,所求问题的,（初始价格），,代人通解得,则满足初始条件的特解为,1/18/2019 1:06 PM,2. 二阶常系数线性差分方程,第7章 微分方程与差分方程,的差分方程称为二阶常系数线性差分方程。,形如,当 时，,方程（4）称为非齐次的；,当 时，,称其为方程（4）对应的齐次方程。,方程,1/18/2019 1:06 PM,二阶常系数线性差分方程的通解
8、,第7章 微分方程与差分方程,=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的特解,1）二阶常系数线性齐次差分方程的通解,设 为一特解，,（5）得,代人方程,称其为（5）的特征方程,其根,称为特征根。,1/18/2019 1:06 PM,根据特征根的情况确定方程通解的形式,第7章 微分方程与差分方程,特征根,通 解,实数,其中,为任意常数。,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,方程（4）为,当 时，,方程得,设方程（6）具有形式为 的特解,方程有特解,函数时的特解,2.方程（4）中 取某些特殊形式的,（利用待定系数法求出）,取 ，,即 ，,代人,1/18/2019 1:06 P
9、M,第7章 微分方程与差分方程,方程有特解,取 ，,即 ，,代人方程得,当 且 时，,方程有特解,取 ，,即 ，,代人方程得,当 且 时，,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,事实上，,（6）的左端为,于是方程转化为,方程,当 时，,所以 ，,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,例6 求差分方程 的,解,特征方程,故原方程的通解为,通解及 时的特解,对应的齐次方程的通解为,因为,所以特解为,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,故所求特解为,代人初始条件,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分
10、方程,方程（7.49）为,当 时，,代人方程得,设方程（7）具有形式为 的特解,方程有特解,取 ，,即 ，,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,当 时，,代人方程得特解为,取 ，,即 ，,当 时，,代人方程得特解为,取 ，,即 ，,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,方程（4）为,设方程（7）具有形式为,当 时，,取 ，,的特解（其中 为待定系数）,当 且 时，,取 ，,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,方程化为,对 且 的情况，,可得方程（8）的特解。,取 ，,就以上各种情况，,分别将所设特解代人方,程，,
11、比较同次项的系数，,确定出 ，,再将 化为 的形式，,若,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,例7 求差分方程 的,解,特征方程,通解,对应的齐次方程的通解为,因为,有特解形式,代人方程得,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,故原方程的通解为,比较同次项系数得,原方程的一个特解为,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,例8 求差分方程 的,解,特征方程,通解,对应的齐次方程的通解为,因为,有特解形式,代人方程得,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,故原方程的通解为,比较同次项系数得,原
12、方程的一个特解为,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,内容小结,1.一阶常系数线性差分方程,通解,当 时，,通解,当 时，,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,通解,当 时，,通解,当 时，,特解形式为,当 时，,特解形式为,当 时，,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,2.二阶常系数线性差分方程,特征方程,特征根,（1）二阶常系数线性齐次差分方程,1/18/2019 1:06 PM,通解,第7章 微分方程与差分方程,实数,其中,为任意常数。,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,非齐次方程的通解=,（2）二阶常系数线性非齐次差分方程,对应齐次方程的通解+非齐次方程的特解,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,特解,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,特解,1/18/2019 1:06 PM,第7章 微分方程与差分方程,特解形式,
