1、第三章 线性方程组,杨世显 ,3.3 线性相关性,定义3.14：如果向量组 中有一个向量可以由其余向量线性表出，那么向量组 称为线性相关的。,例：向量组,注意：,1)向量组 线性相关的充要条件是两向量成比例。,2)任意一个含有零向量的向量组一定线性相关。,3)在 中，如果两个向量 线性相关，那么 共线，如果三个向量 线性相关，那么 共面,定义3.14：向量组 称为线性相关的，如果存在数域P中的不全为零的数 使得：,注意：,1)以上两个线性相关的定义在 时是等价的。,2) 线性相关的充要条件为 。,定义3.15：一个向量组 不线性相关，即 不存在不全为零的数 使 就称为线性无关；,或者说，一个向
2、量组 称为线性无关，如果由 可以推出,分析：,问题3.8：给定一个向量组 ，如何判断它的线性相关性？,分析：,判断向量组线性相关性的问题可以转化为某个 齐次线性方程组是否由非零解的问题。,一般地，若考虑向量组,首先写出等式,把上面等式看做关于 的方程，如果方程有非零 解说明向量组线性相关，反之线性无关。,代入数值得：,化简：,即：,如果上面齐次线性方程组有非零解，那么原向量 组线性相关，反之线性无关。,例1：判断向量组的线性相关性,解：,先写出等式,代入数据：,化简：,系数矩阵,齐次线性方程组有非零解，于是向量组线性相关,线性相关与无关的有关性质：,性质1： 线性相关的充要条件为 ；而 线性无
3、关的充要条件为 。,性质2：若一个向量组的一个部分组线性相关，那么这个向量组线性相关。,性质2：若一个向量组线性无关，那么它的任意一个非空的部分组也线性无关。,分析：,考虑向量组组 ，为讨论方便不妨假设部 分组 线性相关，则存在不全为零 的常数 使 ，即,显然 不全为零，所以 线性相关,性质3：若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关；反之，若向量组 线性相关， 那么向量组 也线性相关。,分析：,考虑等式 ，变为方程组,(1),再考虑等式 ，有：,(2),(1)只有零解，则(2)只有零解；反之，若(2)有非零解，则(1)也有非零解。,性质4：若 线性无关，而 线性相关，那么 可由向量组 线性表出。,要证明结论，只要证明 ，下面采用反证法。,假设 ，则：,而 线性无关，所以,即：,这与 不全为零矛盾，于是,则：,命题得证,性质7(推论)：n+1个n维向量必线性相关。,性质8(推论)：两个等价的线性无关的向量组必含有相同个数的向量。,问题3.9：判断向量组 的线性相关性。,问题3.10：判断向量组 的线性相关性。,
