1、,二元一次不等式（组）与平面区域,二元一次不等式(组) 的定义,（1）二元一次不等式：,（2）二元一次不等式组：,（3）二元一次不等式（组）的解集：,含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式；,由几个二元一次不等式组成的不等式组；,满足二元一次不等式（组）的有序实数对（x，y）构成的集合；,注: 二元一次不等式（组）的解集可以看成是直角坐标 系内的点构成的集合。,(1)平面直角坐标系中, 二元一次方程x-y-6=0的解组成的点（x,y）的集合表示什么图形？,探讨,过(,0)和(0,-)的一条直线,（）那么x-y-60的解组成的集合呢？x-y-60呢？,在直线 的左上方 的平面区域内；,在平
2、面直角坐标系中，所有的点被直线 分成三类：,在直线 的右下方 的平面区域内。,探讨：在平面内画一条 直线，这条直线将平面分为几个部分？这几个部分可以用怎样的式子来表示？,在直线 上;,直线x- y=6叫做这两个区域的边界,对于平面上的点的坐标(3,-3)（0,0）, (-2,3),(7,0),(1,-6),讨论它们分别在直线的什么方位,x-y-6的值分别为什么?,(7,0),(-2,3),(1,-6),（1）二元一次不等式Ax+By+C0(A,B不全 为0)在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。,（2）由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C
3、，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C0表示哪一侧的区域。,如何判断二元一次不等式的平面区域,小诀窍,如果C0,可取(0,0); 如果C0,可取(1,0)或(0,1).,判断方法： 直线定界,特殊点定域,归纳提升：,例1：画出不等式 2x+y-60表示的平面区域。,3,6,2x+y-60,2x+y-6=0,例题分析,变式：画出不等式 2x+y-60表示的平面区域。,注意:不等式表示的区域是否包含边界，若不包含边界，边界应画成虚线，若不便于画成虚线（如坐标轴），应通过文字加以说明。,练习1. 画下列不等式表
4、示的区域： x0 6 （） 2x+y0,基础训练：,左上方,注：若不等式不取，则边界应画成虚线， 否则应画成实线。,2、根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：,X-y+10,考点：能根据平面区域写出二元一次不等式组,分析：不等式组表示的平面区域 是各不等式所表示的平面点集的交集，因而的各个 不等式所表示的平面区域 的公共部分。,解： 不等式表示直线上及右下方的点的集合，,表示直线上及右上方的点的集合，,x+y=0,xy+5=0,上式加上一个条件x3, 平面区域会是什么图形?,变式,考点：能根据二元一次不等式组画出平面区域,画出不等式组表示的平面区域。,x+y=0,x=3,x-y+5=
5、0,注：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示 平面区域的公共部分。,思考运用,3,5,-5,x-y+5=0,x+y=0,x=3,如果让你求围成的三角形的面积，你能求么？,4,-2,练习1 :画出下列不等式组表示的平面区域,2,注：画图应非常准确，否则可能得不到正确结果。,考点：能根据二元一次不等式组画出平面区域,练习2、求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。,考点：能根据平面区域写出二元一次不等式组,简单的线性规划,一、回顾,例3：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。,线性规划,例3： 设z=2x+y，式中变量满足 下列条
6、件：求z的最大值与最小值。,目标函数 （线性目标函数）,线性约 束条件,例题3：求Z=2x+y的最小值，使x,y满足约束条件,解：画出满足x,y的条件所表示的区域，即阴影部分（如图）,其表示斜率为-2的一组平行直线系，截距为z。从图上可知：当直线经过点B时，z有最小值。,由Z=2x+y变形得y=-2x+z,解,得,例4：求z3x5y的最大值，使x、y满足约束条件：,x,y,o,A,B,C,解：作出平面区域,把z=3x+5y变形为得到 斜率为 ，在y轴上的截距为 ，随z变化的一族平行直线。,由图可以看出，当直线 经过可行域上的点A时，截距 最大，则z最大经过点B时，截距最小，则z最小,由题设求得
7、A（1.5，2.5），B（2，1）， 则Zmax=17，Zmin=11。,小结解线性规划问题的步骤：,2、 在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；,3、 通过解方程组求出最优解；,4、 作出答案。,1、 画出线性约束条件所表示的可行域；,画,移,求,答,练习1、求z2xy的最大值和最小值，使x、y满足约束条件：,解：作出平面区域,x,y,A,B,C,o,把z=y+2x变形为y=2xz，得到斜率为-2，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线。,由题设求得C点坐标为（2，1），B点坐标为（-1，-1）则Zmax=2xy3 Zmin=y+2
8、x=-3,由图可以看出，当直线y=2xz经过可行域上的点C时，截距z最大，则z值最大；经过点B时，截距最小，则z值最小,解：画出满足x,y的条件所表示的区域，即五边形OABCD（如图）,z=x+2y,其表示斜率为的一组平行直线系，纵截距为b=z/2。从图上可知：当直线经过c时，b有最大值,即 z有最大值。,目标函数 线性目标函数,最优解,可行域 可行解,线性规划的实际应用,例5、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出
9、满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,分析：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Zx0.5y，,约束条件为：,画出可行域：,x,y,o,M,把Zx0.5y变形为y2x2z，它表示斜率为 2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。,x,y,o,由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时， 截距2z最大，即z最大。,故生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利润， 最大利润为3万元。,M,容易求得M点的坐标为 （2，2
10、），则Zmax3,例题分析,例6 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：,解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,作出可行域（如图）,目标函数为 z=x+y,今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。,X张,y张,例题分析,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,作出一组平行直线z=x+y，,目标函数z= x+y,当直线经过点A时z=x+y=11.4,x+y=12,在可
11、行域内，直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解,调整优值法,2,4,6,18,12,8,27,2,4,6,8,10,15,但它不是最优整数解.,作直线x+y=12,答（略）,例题分析,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.,答:(略),作出一组平行直线t = x+y，,目标函数t = x+y,打网格线法,在可行域内打出网格线，,当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，,将直线x+y=11.4继续向上平移，,1,2,1,2,18,27,15,9,7,8
12、,练习1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？,解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z3x2y，满足的条件是,可行域如图：,Z 3x2y 变形为 它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。,X,Y,O,400,200,250,500,当直线经过点M时，截距最大，Z最大。,M,解方程组,可得M（200，100）,Z 的最大值Z 3x2y800,故生产甲产品
13、200件，乙产品100件，收入最大，为80万元。,2、某公司承担了每天至少搬运 280t水泥的任务，已知该公司有6辆A型卡车和4辆B型卡车，又知A型卡车每天每辆的运输量为30t，成本费为0.9千元；B型卡车每天每辆的运输量为40t，成本费为1千元.怎样安排才能使成本费最少？,假如你是公司的经理,为了使公司支出的费用最少，请你设计出公司每天的派车方案。,解： 设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，公司每天所花成本费z千元。目标函数为Z=0.9x+y.其中x,y满足以下条件：,可行域如右图所示。,把Z=0.9x+y变形为y=-0.9x+Z,得到斜率为-0.9，在y轴上的截距为Z，随Z变化的一族平行直线。,由图可知，当直线y=-0.9x+z经过可行域上的点A时，截距Z最小。,由 得,所以Zmin=0.9x+y=7.6。,答：公司每天应派出A、B型车各4辆，花费最少，为7.6千元。,3、不等式组 表示的平面区域内的 整数点共有 （ ）个,1 2 3 4 x,Y 43210,4x+3y=12,
