1、第1节 线性方程组,线性代数,一、线性方程组的初等变换,二、矩阵,三、初等行变换,主要内容:,大约在一千五百年前，大数学家孙子在孙子算经中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”,这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？,问题的提出:,解:,则,解得,所以笼中有23只鸡,12只兔.,线性方程组的一般形式:,例:,例:,定义1.1:,例,消元法解线性方程组,求解线性方程组,分析：用消元法解下列方程组的过程,解,用“回代”的方法求出解：,于是解得,线性方程组的初等变换,线性方程组的
2、一般形式,什么是初等变换?,始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：,（1）交换方程次序；,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,线性方程组,的解取决于,系数,常数项,矩阵概念的引入,对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,矩阵的定义,由 个数 排成的 行 列的数表,称为 矩阵.简称 矩阵.,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,主对角线,副对角线,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个
3、 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,例如,是一个3阶方阵.,几种特殊矩阵,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角 矩阵(或对角阵）.,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 .,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,记作,三角矩阵.,(6)方阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,例如,为同型矩阵.,若记,则对方程组的变换完全可以转换为 对矩阵B (方程组的增广矩阵)的变换,在初等变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,定义1：,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”),初等行变换,矩阵的初等变换,通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,逆变换,逆变换,逆变换,用矩阵的初等行变换解方程组（1）：,练习：求下述方程组的解,提示：,
