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线性代数课件 第五章 相似矩阵及二次型——第5节.PPT.ppt

线 性 代 数,第五章 相似矩阵及二次型,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,都为二次型;,为二次型的标准形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型, 就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对 称矩阵,也可唯一地确定一个二次型这样,二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例,设,四、化二次型为标准形,对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求 可逆的线性变换,将二次型化为标准形,证明,即 为对称矩阵.,说明,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1写出对应的二次型矩阵,并求其特征值,例2,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化,得正交矩阵,于是所求正交变换为,解,例3,五、小结,1. 实二次型的化简问题,在理论和实际中 经常遇到,通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系,将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵,而这是已经解决了的问题,请 同学们注意这种研究问题的思想方法,2. 实二次型的化简,并不局限于使用正交 矩阵,根据二次型本身的特点,可以找到某种运 算更快的可逆变换下一节,我们将介绍另一种 方法拉格朗日配方法,思考题,思考题解答,

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