1、4.3.2 微分法则与微分不变性,4.3 局部线性化与微分,4.3.1 微分的概念,4.3.3 微分在近似计算中的应用,内容小结与作业,4.3.1 微分的概念,1引例,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x , 面积为 A(x) ,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当边长从在,取得增量 时，,变到,2“以直代曲”的定量描述,当函数 在 处,可导且 时，,所以当 x 充分接近 x0 时，有,以直代曲：,局部线性化：,4.3.1 微分的概念,比较函数 在 附近比较函数的增量与该点切线纵坐标的增量。,例1,4.3.1 微分的概念,2“以直代曲”的定量描述,当函数 在 处,可导且 时，,所以当
2、 x 充分接近 x0 时，有,以直代曲：,局部线性化：,4.3.1 微分的概念,即,内有定义，,处的增量 可以表示为,3微分的定义,或 ,定义4.3.1,设函数 在的某邻域,记为,在一般点 x 处的微分，简记为,若存在与 无关的常数 ，使函数在点,4.3.1 微分的概念,设函数 在 的某邻域 内有定义，则函数 在 可微的充要条件是 在 处可导，且 在点 处的微分为,或,函数可微的条件,当,，有,定理4.3.1,4.3.1 微分的概念,设 ，证明 在任何点 处可微，且 ,对任何 ，有,例2,证,此时,，所以,，得,，即,一般地,4.3.1 微分的概念,从而微分形式可以写成,由此得到，,或,若 和
3、 互为反函数，则有,对复合函数,4.3.1 微分的概念,和 ，并求 在 处的局部线性化,例3,解,，, 所以,，,在点 处的局部线性化函数为,因为,已知函数 ，求,函数 .,4.3.1 微分的概念,函数的增量是曲线的纵坐标的增量，它的微分是对应的切线的纵坐标的增量，这两者的差是横坐标增量的高阶无穷小。,4微分的几何意义,对应切线的纵坐标的增量。,微分的几何意义,4.3.1 微分的概念,5基本初等函数的微分公式,根据函数微分的表达式,函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分.,由此,可以得到基本初等函数的微分公式。,例如：,4.3.1 微分的概念,4.3.2 微分法则与微分不变性,设函数 在 处
4、可导,定理4.3.2,这里为书写方便将 简记为 ,（3） .,（2） ；,处可微，且,（1） ；,（四则运算）,定理4.3.3 （复合运算）,其中 和 均可微，则函数,设有复合函数 ，,也可微，且,因此，无论是自变量，还是中间变量，微分公式,微分形式的不变性,的形式保持不变，将此性质称为,4.3.2 微分法则与微分不变性,求函数 的微分,例4,解,4.3.2 微分法则与微分不变性,例5,解,（1）,将下面给出的微分形式写成某一函数的微分：,（1） ； （2） ；,（2） ,（3）,（4）,（3） ； （4） .,4.3.2 微分法则与微分不变性,4.3.3 微分在近似计算中的应用,，有近似公式
5、,它说明：用线性函数 来近似,时，所产生的误差,是 的高阶无穷小，即,使用原则:,4.3.3 微分在近似计算中的应用,利用微分计算 的近似值。,例6,函数为,. 设,解,则,利用公式,函数为,则,利用公式得,4.3.3 微分在近似计算中的应用,例7,证,令,，则由近似公式有,证明近似公式 ，由此公式计算,的近似值并通过图形观察，考察当,时， x 应在什么范围取值？,4.3.3 微分在近似计算中的应用,，下面估计使不等式成立的的范围,4.3.3 微分在近似计算中的应用,常见的近似公式有：,这里要求 ,(1),(2),(3),(4),(5),4.3.3 微分在近似计算中的应用,例8,解,将麦克风的
6、插头视为圆柱形，其截面半径，长 ，为了提高它的导电性能，要在插头的侧面镀上一层厚为 的纯铜，试估算一下镀一个这样的插头需要多少克铜？（铜的比重为 ）,用初等方法完全可以解决这个问题，所需要的铜为,不过此时计算量较大用微分的方法来估算,4.3.3 微分在近似计算中的应用,因为当 较小时有 由于,当 ， ， 时，,所以，镀一个这样的插头估计需要纯铜,例8,将麦克风的插头视为圆柱形，其截面半径，长 ，为了提高它的导电性能，要在插头的侧面镀上一层厚为 的纯铜，试估算一下镀一个这样的插头需要多少克铜？（铜的比重为 ）,4.3.3 微分在近似计算中的应用,内容小结与作业,1. 微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2. 微分运算法则,微分形式不变性 :,( u 是自变量或中间变量 ),3. 微分的应用,近似计算,2. 设,由方程,确定,求,思考与练习,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,作业:教材202-203页,3(3)(5)(6)(7)，8(3)(4)，9，13，14,212-213页:,12，14，15,
