1、1第 7 章线性规划初步在日常生活中我们经常会遇到这样的问题：如何合理安排有限的人力、物力、财力等资源，使得这些资源的效能能够充分地发挥，以获取最佳的经济效益。线性规划就是辅助人们寻求解决这些问题的一种数学方法。在本章的学习中，我们将把一些简单的实际问题归结为线性规划的问题，通过学习解决这些问题的思想和方法，对线性规划的建立、应用和求解有个初步的认识。本章学习目标学完本章内容，你将能够 了解建立实际问题的数学模型的方法 会用图解法解二元线性规划问题 会用表格法解线性规划问题 学会用计算机软件 Excel 解线性规划问题本章目录7.1 线性规划问题的概念7.2 二元线性规划问题的图解法7.3 用
2、表格法解线性规划问题7.4 用计算机软件 Excel 解线性规划问题27.1 线性规划问题的概念探究某建筑公司建造居民小区，若建一幢普通的住宅楼需投入资金 300 万元，并占地 200m2，可获利润 100 万元；若建一栋别墅需投入资金 400 万元，并占地 100m2，可获利润 200 万元，该公司现有资金 9000 万元，拍得土地5000m2，问应作怎样的投资组合，才能获利最多？这是一个获取最大利润的问题，正是线性规划问题所要解决的。例 1 某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每 3 份面粉加 2 份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每 4 份面粉加 1 份玉米粉。这个店每天可买进面
3、粉 50 公斤和玉米粉 20 公斤，又做 1 公斤甲种馒头的利润是 5 元，做 1 公斤乙种馒头的利润是 4 元，那么这个点心店每天做甲、乙两种馒头各多少公斤，才能获利最大?解 现将上述有关数据列为下表：甲种馒头 乙种馒头 原料数量面粉 3 4 50玉米粉 2 1 20利润 5 4图 7-1设甲、乙两种馒头计划产量分别为 x，y 公斤，利润为 z 元。生产这两种馒头所用面粉总量为 06x+08y(公斤)，现共有 50 公斤面粉，因此，应有06x +08y50即 3x+4y250类似地，得04x +02y20即 2x+y100由于产品的数量不能为负数，应有x0，y0总利润为z=5x+4y综合起来
4、，可以把这个问题的数学形式表达为：其中，记号“max”表示函数的最大值。在上述式子中，我们称 x，y 为决策变量，式(7.1)为目标函数，式(7.2)(7.5)统称为约束条件。根据问题的不同，目标函数可最大化或最小化。在约束条件下求目标函数的最大值和最小值问题称为线性规划问题。)57(04312)2(54317mayx3线性规划问题主要研究两类问题：1 如何合理利用有限的资源，使其产生最大的效益。2 如何制定最佳方案，以尽可能少的资源完成所要做的事情。这就是最优化的问题。例 2 某运输公司有 8 辆载重 6 吨的 A 型卡车，4 辆载重 10 吨的 B 型卡车，并有 9 名驾驶员。在建造某段高
5、速公路中，公司承包了每天至少运输沥青 180 吨的任务已知每辆卡车每天往返次数为 A 型 4 次， B 型 6 次，派出 每辆卡车每天的成本为 A 型 120 元，B 型 200 元每天应派出 A型和 B 型车各多少辆，能使公司总成本最低？解：这个问题的目标是要求最小的运输费用。设公司每天应派出 型卡车 辆， 型卡车 辆，由条件知：xBy4089102yx即有线性规划问题：min xz20140895y记号“min”表示函数的最小值。从上面的例子中我们看到，为了解决实际问题，往往要将这些问题抽象为数学形式，称其为数学模型。线性规划问题就常对物资调运、产品安排和下料等问题建立数学模型后用数学的方
6、法加以解决。问题解决 将例 1 中的“派出每辆卡车每天的成本为 A 型 120 元，B 型 200 元”改为“派出每辆卡车每天可得利润为 A 型 120 元，B 型 200 元” ，求“每天应派出 A 型、B 型车各多少辆，能使公司利润最大”，你应该怎样解答？思考交流是不是所有求最值的问题都是线性规划问题？练习1某厂计划生产甲、乙两种产品，其主要原材料有钢材 3000kg，铜材 2000kg，每件产品耗材定额(kg)及所获利润(元)如下表，问如何安排生产能使该厂所获利润最大？甲 乙 库存材料钢 8 4 3000铜 4 5 2100利润 60 80图 7-22某饲养场要同时用 A、B 两种饲料喂
7、养动物，要求每头动物每天至少应摄取 700 克蛋白质、30 克矿物质和 0.1 克维生素。两种饲料的每公斤中所含三种成份的数量(克) 及每公斤的单价(元)如下表，现要买两种饲料各多少公斤，才能既满足动物生长的需要，又使费用最省？4A B蛋白质 3 2矿物质 1 0.5维生素 0.5 1单价 0.2 0.7图 7-3习题1家具厂生产桌子和椅子，桌子售价 50 元一个，椅子 30 元一个。生产一个桌子需要木工 4 小时，油漆工 2 小时，生产一个椅子需要木工 3 小时，油漆工 1 小时。该厂每月可用木工工时 120小时油漆工，工时 50 小时。根据以上条件构建使销售收入最大的线性规划模型。2某汽车
8、公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若 A 厂每小时可完成 1 辆甲型车和 2 辆乙型车；B 厂每小时可完成 3 辆甲型车和 1 辆乙型车.今欲制造 40 辆甲型车和 20 辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？3饮料馆配制两种奶茶，甲种奶茶每杯含奶粉 9 克、咖啡 4 克、糖 3 克，乙种奶茶每杯含奶粉4 克、咖啡 5 克、糖 10 克已知每天原料的使用限额为奶粉 3600 克、咖啡 2000 克、糖 3000克如果甲种奶茶每杯能获利 0.7 元，乙种奶茶每杯能获利 1.2 元，每天在原料的使用限额内奶茶能全部售出，每天应配制两种奶茶各多少杯能获利最大？
