1、第二套线性代数综合测试练习题一、填空题(每小题 4 分，共 24 分)1、 为 3阶方阵,且 是 的伴随矩阵,则 = 。A2,*A1*4A2、 为 53矩阵,秩( )=3, ,则秩 = 。B3021()B3、 均为 4维列向量， ， ，123,123(,)A213(,)， ，则 = 。A4、 ， ，且 ，则 = 。213tT4t5、如果 元非齐次线性方程组 有解， ，则当 时有唯一解；nAXB()RrA当 时有无穷多解。6、设四元方程组 的 3个解是 。其中 ，如123,123,45，则方程组 的通解是 。()3RAAXB二、单项选择题(每小题 4 分，共 24 分)7、对行列式做 种变换不改
2、变行列式的值。A.互换两行 B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零数乘某一行加到另外一行8、 阶方阵 满足 ，其中 为单位矩阵，则必有 。n,ACEA. B. C. D.EBAEBCAE9、矩阵 的秩为 2，则 = 1203ttA. 3 B. 4 C.5 D.610、若方阵 不可逆，则 的列向量中 。nAA. 必有一个向量为零向量 B. 必有二个向量对应分量成比例 C. 必有一个向量是其余向量的线性组合 D. 任一列向量是其余列向量的线性组合11、若 r维向量组 线性相关， 为任一 r维向量，则 。12,mA. 线性相关 B. 线性无关 12,m 12,m C. 线性相关性不定 D.
3、中一定有零向量, 12、若矩阵 有一个 3阶子式为 0，则 。45A.秩( )2 B. 秩( )3 C. 秩( )4 D. 秩( )5AAA三、计算题(每小题 7 分，共 42 分)13、计算行列式 。10abcd14、设 ， ， ， ，求矩阵 。102A1230C123BAYBCY15、已知三阶方阵 ，且 ，计算矩阵 。12E16、求矩阵 的秩，并找出一个最高阶非零子式。3237051817、写出方程组 的通解。2341xx18、已知 R3中的向量组 线性无关，向量组 ，123,1223,kbb线性相关，求 k 值。31kb四、证明题(每小题 5分，共 10分)19、设 为 阶方阵，若 ，则
4、秩 秩 。,ABnAB0()nB20、如果 线性相关，但其中任意 3 个向量都线性无关，证明必存在一组全1234,不为零的数 ，使得k124kk0第二套线性代数测试题解答一、填空题(每小题 4 分，共 24 分)1、 为 3阶方阵,且 是 的伴随矩阵,则 = -4 。A2,A* 1*4A因为： 。11 14284 2、 为 53矩阵,秩( )=3, ,则秩( )= 3 。B30B因为 可逆， 相当于对 作列初等变换，不改变 的秩。BAA3、 均为 4维列向量， ， ，123,123(,)A213(,)， ，则 = 40 。B。1212312123123(,)(,)88, 8(40AB4、 ，
5、，且 ，则 = -4 。12t4Tt。13624Tt t5、如果 元非齐次线性方程组 有解， ，则当 n 时有唯一解；nAXB()RAr当 n 时有无穷多解。非齐次线性方程组有解的定义。 6、设四元方程组 的 3个解是 。其中 ，如AXB123,123,45，则方程组 的通解是 。()3R0213k因为 ，所以 的基础解系含 4-3=1 个解向量；又()A0X都是 的解，相加也是 的解，从而可得2131,A0AX的一个解为：0X，213123121453于是 的通解为： 。AXB1023Xk二、单项选择题(每小题 4 分，共 24 分)7、对行列式做 D 种变换不改变行列式的值。A.互换两行
6、B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零数乘某一行加到另外一行8、 阶方阵 满足 ，其中 为单位矩阵，则必有 D 。n,ACEA. B. C. D.EBAEBCAE矩阵乘法不满足变换律，而 D中 。119、矩阵 的秩为 2，则 = D 1203ttA. 3 B. 4 C.5 D.6通过初等变换，由秩为 2可得： 。101203736tt:10、若方阵 不可逆，则 的列向量中 C 。nAA. 必有一个向量为零向量 B. 必有二个向量对应分量成比例 C. 必有一个向量是其余向量的线性组合 D. 任一列向量是其余列向量的线性组合方阵 不可逆，则 的列向量线性相关， ，由定义可得。nA11、若
7、r维向量组 线性相关， 为任一 r维向量，则 A 。m21,A. 线性相关 B. 线性无关 ,21m ,21mC. 线性相关性不定 D. 中一定有零向量, 由相关知识可知，个数少的向量组相关，则个数多的向量组一定相关。12、若矩阵 有一个 3阶子式为 0，则 C 。54A.秩( )2 B. 秩( )3 C. 秩( )4 D. 秩( )5 AAA由矩阵秩的性质可知： ，而有一个 3阶子式为 0，不排除45min,R4阶子式不为 0。三、计算题(每小题 7 分，共 42 分)13、计算行列式 。100abcd解：10101010() 11aabababdb ccccddd14、设 ， ， ， ，求
8、矩阵 。021A230C123BAYBCY解： 。1011253YB15、已知三阶方阵 ，且 ，计算矩阵 。A012ABEB解：21|, 201 001BBA可 逆 ，16、求矩阵 的秩，并找出一个最高阶非零子式。32317058解：42134213422321307907970 1:， 最高阶非零子式是 。()RA125,17、写出方程组 的通解。1234xx解：2112310341032102356:321320()1xXccR1=-18、已知 R3中的向量组 线性无关，向量组 ，321,1223,bkb线性相关，求 k 值。31bk解： ，2312233131230b kk由 线性无关，
9、得 ，321, 112 23 30因为 相关，所以 有非零解，故系数行列式=0，得 。123,b12, 1k四、证明题(每小题 5分，共 10分)19、设 为 阶方阵，若 ，则秩 秩 。,ABn0AB()Bn证明：因为线性方程组 ，当秩 时，基础解系为 个，由xrr0),(),(2121 nnAbb则有 ，即 B 的列均为 的解，这些列的极大线性无,0jAbj x关组的向量个数 即秩( ，从而秩 。,rnrn) nB)(秩20、如果 线性相关，但其中任意 3 个向量都线性无关，证明必存在一组全不1234,为零的数 ，使得 。,k1240kk证明：因为 线性相关，所以存在一组“ 不全为零”的数 ，1234, 1234,k使得 ， 如果 ，则340kk1k，且由于 不全为零，所以2340kk234,k234,线性无关，与题设矛盾，所以 ；1同理，可证明 。234,kk
