酉空间及其重要的线性变换.doc

1、酉 空 间 及 其 重 要 的 线 性 变 换酉 空 间 定 义 1 设 V 是 复 数 域 C 上 的 一 个 向量 空 间 若 V 中 任 意 一 对 向 量 ， ， 有一 个 确 定 的 复 数 与 它 们 对 应 ， 叫 做 与 的 内 积 ， 并 且 对 于， ， V， k C， 以 下 条 件 成 立 ：1), = ， 是 , 的 共 轭 复 数 ；,2)+, =, +,；3)k, =k, ；4), 是 非 负 实 数 ， 并 且 当 时 , 0，则 称 V 对 于 这 个 内 积 是 一 个 酉 空 间 例 1 在 C n 里 ， 对 于 任 意 两 个 向 量= (x1， ，

2、xn)， = (y1， ， yn)， 规 定, = ，nx则 C n 对 于 这 个 内 积 作 成 一 个 酉 空 间 设 V 是 一 个 酉 空 间 由 定 义 可 以 直 接推 出 ，, =, , ； (1),k= , , 是 k 的 共 轭 复 数 ； (2), = , = 0 (3)由 (1)和 (2)， 设 i， j V， ai ， bj C， i =1， ， m ； j =1， ， n， 则 (4)jiinjjnjjmii baba，11因 为 对 于 V， , 是 一 个 非 负实 数 ， 所 以 在 酉 空 间 V 中 ， 可 以 像 Euclid空 间 那 样 ， 定 义

3、向 量 的 长 度 为| = ,这 样 ， V 中 任 意 非 零 向 量 的 长 度 总 是 一 个正 实 数 ， 长 度 是 1 的 向 量 称 为 单 位 向量 显 然 ， k C， V， 都 有 | kk(5)在 一 个 酉 空 间 中 ， Cauchy-Schwarz 不等 式 仍 然 成 立 设 ， V， 则 ， (6)2， ，当 且 仅 当 与 线 性 相 关 时 等 号 成 立 在 一 个 酉 空 间 中 ， 内 积 一 般 是 一 个 复数 ， 因 此 不 能 像 Euclid 空 间 那 样 ， 合 理 地定 义 两 个 非 零 向 量 的 夹 角 ， 但 是 仍 然 可

4、以定 义 两 个 向 量 正 交 的 概 念 酉 空 间 中 两 个 向 量 与 说 是 正 交 的 ，若 , = 0在 一 个 酉 空 间 里 ， 同 样 可 以 定 义 正 交组 和 标 准 正 交 组 的 概 念 酉 空 间 V 的 一 组两 两 正 交 的 非 零 向 量 叫 做 V 的 一 个 正 交组 若 一 个 正 交 组 的 每 一 个 向 量 都 是 单 位向 量 ， 则 称 这 个 正 交 组 是 一 个 标 准 正 交组 定 理 1 在 酉 空 间 里 仍 然 成 立 在 一 个有 限 维 酉 空 间 V中 ， 同 样 可 以 定 义正交基和标准正交基的概念Gram-Sc

5、hmidt 正交化方法对于酉空间的向量仍然适用，并且对于 V的任意一个基，可以通过正交化方法将它化为标准正交基设 W 是 酉 空 间 V 的 一 个 有 限 维 子 空 间 ，令W= V|, =0， W则 W也 是 V 的 子 空 间 ， 叫 做 W 的 正 交补 与 定 理 9.3.2 相 平 行 ， 我 们 有V=WW (7)与 正 交 矩 阵 相 平 行 的 概 念 是 酉 矩阵 设 U=(uij)nnMn(C)， 记 ( 是 uij 的nijuU)ij共 轭 复 数 )， H定 义 2 一 个 n 阶 复 矩 阵 U 叫 做 一 个酉 矩 阵 ， 若 nIUUHH定 理 2 n 维 酉

6、 空 间 的 一 个 标 准 正 交 基到 另 一 个 标 准 正 交 基 的 过 渡 矩 阵 是 一 个 酉矩 阵 2 酉 变 换 与 对 称 变 换在 酉 空 间 中 ， 与 Euclid 空 间 的 正 交 变换 相 平 行 的 概 念 是 酉 变 换 定 义 3 酉 空 间 V 的 一 个 线 性 变 换 叫 做 一 个 酉 变 换 ， 若 对 于 ， V， 都 有(),()= , 与 定 理 9.4.2 相 平 行 ， 我 们 有定 理 3 设 是 n 维 酉 空 间 的 一 个 线性 变 换 ， 则 下 列 陈 述 彼 此 等 价 ：1) 是 酉 变 换 ；2)若 1， ， n 是

7、 V 的 一 个 标 准 正 交 基 ，则 (1)， ， (n)也 是 V 的 一 个 标 准 正交 基 ；3) 在 V 的 任 一 标 准 正 交 基 下 的 矩 阵是 酉 矩 阵 进 而 介 绍 酉 空 间 的 对 称 变 换 ， 引 入定 义 4 酉 空 间 V 的 一 个 线 性 变 换 叫 做 一 个 对 称 变 换 ， 若 , V， 都 有(), =,() 定 义 5 设 A Mn( C) 若 AH=A， 则称 A 是 一 个 Hermite 矩 阵 显 然 ， 实 对 称 矩 阵 是 Hermite 矩 阵 的特 殊 情 形 与 定 理 9.5.1 和 9.5.2 相 平 行 ，

8、我 们 有定 理 4 设 是 n 维 酉 空 间 V 的 一 个线 性 变 换 ， 则 是 对 称 变 换 ， 当 且 仅 当 在 V 的 任 意 标 准 正 交 基 下 的 矩 阵 是Hermite 矩 阵 对 称 变 换 和 Hermite 矩 阵 还 有 以 下 性质 定 理 5 设 是 n 维 酉 空 间 的 一 个 对称 变 换 ， 那 么1) 的 特 征 值 都 是 实 数 ；2) 的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 彼 此正 交 ；3)存 在 V 的 一 个 标 准 正 交 基 ， 使 得 在 这 个 基 下 的 矩 阵 是 实 对 角 矩 阵 证 我 们 只 证

9、 1)， 其 余 的 证 明 留 给 同学 们 完 成 设 C 是 的 一 个 特 征 值 ， 是 属于 的 一 个 特 征 向 量 则 ,)(,),(, 因 为 , 0， 所 以 必 须 ， 即 是 实数 定 理 6 设 A 是 一 个 n 阶 Hermite 矩 阵 ，则 存 在 一 个 n 阶 酉 矩 阵 U， 使 得UHAU=U 1AU 是 一 个 实 对 角 矩 阵 ， 即 任 意Hermite矩 阵 都 “酉 相 似 ”于 一 个 实 对 角 矩阵 3 Hermite 型在 1 中 ， 我 们 已 经 阐 述 了 n 维 Euclid空 间 的 度 量 矩 阵 类 似 地 ， 我

10、们 来 看 酉 空间 V 中 的 内 积 在 V 中 取 一 个 基 ， 构n,1造 矩 阵， (8)nnn nA, ,21221211 这个矩阵是由酉空间 V中的内积以及基唯一决 定的，叫做 V 的基 的度量矩n,1 n,1阵由于 A 的(i，j) 元素是 ，而 AH 的ji,(i，j)元素是 = ，所以 AH=A这表明，ij,ji,酉空间 V 的内积在 V 的任意一个基下的度量矩阵 A 是 Hermite矩阵设 A=(aij)nn， 则iiyx,， (9)ij ijjijijijji yxayxyx),(, 特 别 地 ， 当 = 时 ， 有ijjixa,定义 6 n 个 复 变 量 x1

11、， ， xn 的 表 达式， (10)ijjinxaxf),(1其 中 aji = ， 叫 做 一 个 n元 Hermite 型 ； 矩ij阵 A=(aij)nn 称 为 Hermite 型 f (x1， ， xn)的 矩阵 ， 它 是 一 个 Hermite 矩 阵 设 =(x1， ， xn)， 则 Hermite 型 (10)X可 写 成 (11)ijHjiAXxa因 此 ， 酉 空 间 的 内 积 与 Hermite 型 有 着 密切 的 联 系 由 于 Hermite 型 (10)的 矩 阵 是 Hermite矩 阵 ， 因 此AXXAXAHHH )(这 表 明 XHAX 总 是 实

12、数 再 注 意 到 上 述 定 理 ， 知 道 n 阶Hermite 矩 阵 A 酉 相 似 于 一 个 实 对 角 矩 阵D=diagd1， ， dn， 即 存 在 一 个 酉 矩 阵U， 使 得 U 1AU=D 令 X=UY， 其 中 = Y(y1， ， yn)， 则XHAX=YHUHAUY=YHU 1AUY=YHDY= (12)nydydy21这 证 明 了定 理 7 对 于 Hermite 型 f(x1， ， xn)=XH AX， 存 在 酉 线 性 替 换 X UY(即 U 是酉 矩 阵 )， 使 得f (x1， ， xn)= ， nydyd1(13)其 中 d1， ， dn 是 A

13、 的 全 部 特 征 值 ， 它 们都 是 实 数 定 义 7 若 对 于 C n， 且 0， 都有HA 0， (14)则 称 XHAX 是 一 个 正 定 Hermite 型 一 个正 定 Hermite 型 XHAX 的 矩 阵 A称 为 正 定Hermite 矩 阵 正 定 Hermite 矩 阵 与 第 五 章 4 所 说 的实 正 定 矩 阵 有 相 平 行 的 结 果 ， 即定 理 8 设 A 是 一 个 n 阶 Hermite 矩 阵 ，则 下 列 陈 述 彼 此 等 价 ：1)A 是 正 定 Hermite 矩 阵 ；2)对 于 任 意 n阶 复 可 逆 矩 阵 P， PHAP

14、是 正 定 Hermite 矩 阵 ；3)A 的 特 征 值 全 大 于 零 ；4)存 在 n 阶 可 逆 复 矩 阵 P， 使PHAP=In；5)A 可 以 分 解 成 QHQ， 其 中 Q 是 n阶可 逆 复 矩 阵 ；6)A 的 所 有 顺 序 主 子 式 全 大 于 零 证 1)2) 任 取 C n， 且 0， 则 P 0 因 为 A 是 正 定 Hermite 矩 阵 ，所 以H (PHAP)=(P)HA(P) 0因 此 PHAP 是 正 定 Hermite 矩 阵 2) 3) 由 假 设 ， A 是 Hermite 矩阵 于 是 存 在 酉 矩 阵 U， 使U 1AU=diag(

15、) Dn， 1其 中 i 是 实 数 ， i=1， ， n 由 假 设 ，U 1AU 是 正 定 Hermite 矩 阵 ， 由 此 推 出eiHDei0， 即 i 0， i=1， ， n3) 4) 因 为 A 是 Hermite 矩 阵 ， 所以 存 在 酉 矩 阵 U， 使 得U 1AU=diag( )n， 1其 中 i0， i=1， ， n 令Q=diag( )n,1则 U 1AU=QQ， 从 而Q 1U 1AUQ 1=In 令 P=UQ 1， 则PH=(UQ 1)H= Q 1UH = Q 1 U 1 于 是PHAP=In4) 5) 由 假 设 PHAP=In， 于 是A=(PH) 1P 1 令 Q=P 1， 则11111 )()()()( HHP所 以 A=QHQ5) 1) 设 A=QHQ， 其 中 Q 可 逆 任取 Cn 且 0， 有AHH设 ， 则)()1ncQ， 02211 nnccAH 所 以 A 是 正 定 的 Hermite 矩 阵 1) 6)