1、玩转压轴题，突破 140 分之高三数学选填题高端精品专题 03 立体几何的动态问题一方法综述立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点。究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题
2、的策略造成的。动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位 置，即用特殊法求解范围。对于探究存在问题或动态范围（最值）问题， 用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题。具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。二解题策略类型一 立体几何中动态问题中的角度问题例 1.【2015 高考四川，理 14】如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所
3、在的平面互相垂直，动点M 在线段 PQ 上，E、F 分别为 AB、BC 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ，则 的最大值为.cos【举一反三】1、 【2014 四川，理 8】如图，在正方体 1ABCD中，点 O为线段 BD的中点.设点 P在线段C上，直线 OP与平面 1所成的角为 ，则 sin的取值范围是（）A 3, B 6,3 C 62,3 D 2,32、 【2017 届内蒙古包头市十校高三联考】在正方体 中，点 在线段 上运动，则异面直线与 所成角 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3、 【2017 届江西鹰潭一中高三理上学期月考五】如图，已知平面 ， ， 、 是直线
4、 上lABl的两点， 、 是平面 内的两点，且 ， ， ， ， 是平面CDDAlCBl3AD6BCP上的一动点，且直线 ， 与平面 所成角相等，则二面角 的余弦值的最小值是（ PCP）A B C D来源:学.科.网 Z.X.X.K15231类型二 立体几何中动态问题中的距离问题【例 2】如图所示，在空间直角坐标系中， 是坐标原点，有一棱长为 的正方体 ， 和 分别是体对角线 和棱 上的动点，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【举一反三】1、 【2016 届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考】如图，已知正方体 1ABCD棱长为 4，点 H在棱 1A上，且 1，在侧面 1BC内作边长为
5、 1 的正方形 1EFG， P是侧面 1B内一动点，且点 P到平面 CD距离等于线段 PF的长，则当点 P运动时， 2|H的最小值是（ ）A21 B22 C23 D25 科2、如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1的距离的最小值为_.11BPADCEBAA3、 【2017 届浙江省温州市高三第二次模拟考试】如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，与 均为等腰直角三角形，且 ， 点 是线段 上的动点，若线段 上存在点 ，使得异面直线 与 成 的角，则线段 长的取值范围是（ ）A. B. C. D. 类型三
6、立体几何中动态问题中的面积 、体积问题【例 3】在棱长为 6 的正方体 中， 是 中点，点 是面 所在的平面内的动点，且满足 ，则三棱锥 的体积最大值是（ ）A. 36 B. C. 24 D. 【举一反三】1、 【2017 届山东枣庄市高三理上学期末】 九章九术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 中， ，若 ，当阳马1ABCABC12AB体积最大时，则堑堵 的体积为（ ） 来源:学|科| 网 Z|X|X|K1BACA B C. D832222、 【黑龙江省哈尔滨市
7、第六中学 2017 届高三下学期第一次模拟】已知矩形 中， ABCD， 分别是 上两动点，且 ，把四边形 沿 折起，使平面6,4C,EF,ABCAEFFE平面 ，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ）FDA. B. C. D. 8273264233、 【2015 新课标 2 文 10】已知 ,是球 O的球面上两点, 90OB,C为该球面上的动点.若三棱锥ABCO体积的最大值为 36,则球 的表面积为（）A. 6 B. 4 C.1 D. 256类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题【例 4】如图直三棱柱 中， 为边长为 2 的等边三角形， ，点 、 、 、 、 分别是边、 、
8、、 、 的中点，动点 在四边形 内部运动，并且始终有 平面 ，则动点 的轨迹长度为（ ）A. B. C. D. 【举一反三】1、如图，斜线段 AB与平面 所 成的角为 60， B为斜足，平面 上的动点 P满足30P，则点 P的轨迹是（ ）A直线 B抛物线 C椭圆 D双曲线的一支2、 【2017 届浙江稽阳联谊学校高三月考】在正方体 中，已知点 为平面 中的1ABCDP1AD一个动点，且点 满足：直线 与平面 所成的角的大小等于平面 与平面 所成锐P1C1 BC二面角的大小，则点 的轨迹为（ ）A直线 B椭圆 C圆 D抛物线3、 【2017 届浙江省名校协作体高三下学期考试】已知平面 平面 ，
9、，且. 是正方形，在正方形 内部有一点 ，满足 与平面 所成的角相等，则点 的轨迹长度为 ( )A. B. C. D. 类型五 立体几何中动态问题中的翻折、旋转问题【例 5】如图，已知 ， 是 的中点，沿直线 将 折成 ，所成二面角ABCDCDACD的平面角为 ，则（ ）ACDA. B. C. D.BB【举一反三】1、 【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D、E、F 为圆 O 上的点，DBC， ECA， FAB 分别是以 BC，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA ，AB 为折痕
10、折起 DBC，ECA，FAB ，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_.2、 【浙江省 2017 届高三 3 月联考】矩形 中， ， ，将 与 沿ABCD31BCADC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线 与直线 成的角范围（包含初始状态）为（ ACADBC）A. B. C. D. 0,60,30,220,33、如 图，等边三角形 ABC的中线 F与中位线 DE相交于 G，已知 EDA是 绕 E旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A动点 在平面 ABC上的射影在线段 AF上 B恒有平面 GFA平面 BCDEC三棱
11、 锥 EFD的体积有最大值 D异面直线 与 不可能垂直三强化训练1、 【2017 课标 3，理 16】a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 来源:Z#xx#k.Com当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最小值 为 60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）2、 【2015 高考山东，理 7】在梯形 中， ， .将
12、梯ABCD2/,22ADBCAB形 绕 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）ABCD（A） （B） （C） （D）345323、 【2017 届河北定州市月考卷】设动点 在棱长为 1 的正方体 的对角线 上，记P1ABC1BD，当 为钝角时， 的取值范围是 1PD4、【江西师范大学附属中学 2017 届高三 3 月月考】如右图所示，在棱长为 2 的正方体中， 为棱 的中点，点 分别为面 和线段 上的动点，则1ABCDE1C,PQ1ABCD1周长的最小值为_ PEQ5、如图所示，在棱长为 2 的正四面体 ABCD中， E是棱 A的中点，若 P是棱 AC上一动点，则BPE的最小
13、值为 A 3 B 7 C 13 D 56、在直三棱柱 1A中，底面为直角三角形， 09ACB ， 2AC， 1CB，P是 1C上一动点，则 P的最小值是（ ）A 2 B 5 C 3 D 2 7、在长方体 1D中， B， 1，点 P为对角线 1上的动点，点 Q为底面 上的动点（点 ， Q可以重合） ，则 1PQ的最小值为（ ）A 2 B 3 C 32 D 28、已知直角梯形 AD， ， A， 2BC，沿 A折叠成三棱锥 ， 当三棱锥体积最大时， ， 两点间的距离是 .9、如图，矩形 BC中， 1， Ba， P平面 ，若在 上只有两个点 Q满足 PD，则 a的取值范围是 .PABQCD10、 【2
14、015 高考山东，文 9】已知 等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面 所围成的几何体的体积为 ( )（A） 23（B） 423（ ） 2（ ） 411、 【2017 届江西鹰潭一中高三理上学期月考五】如图，在棱长为 的正方体 中， 为a1ABCDP的中点， 为 上任意一点， ， 为 上任意两点，且 的长为定值，则下面的四个值中1DQ1AEFCDEF不为定值的是（ ）A点 到平面 的距离 B三棱锥 的体积PQEFPQEFC直线 与平面 所成的角 D二面角 的大小12、长方体 1AC中，已知 2AD， 13A，棱 D在平面 内，则长方体在平面内的射影所
15、构成的图形面积的取值范围是 13、如图所示，正方体 DCBA的棱长为 1, FE分别是棱 A， C的中点，过直线 FE,的平面分别与棱 B、 交于 NM,，设 0x，给出以下四个命题：（1）平面 MENF平面 BD；（2）当且仅当 21x时，四边形 ENF的面积最小；（3）四边形 周长 1,0xfL，则 21xfy是偶函数；（4）四棱锥 C的体积 hV为常函数；以上命题中真命题的序号为_.14、 【2014 高考北京理第 8 题】如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，动点 E，F 在棱 A1B1 上，动点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上若 EF1，A 1Ex，DQy ，DPz
16、(x，y，z 大于零) ，则四面体 PEFQ的体积( )A与 x，y，z 都有关B与 x 有关，与 y，z 无关C与 y 有关，与 x，z 无关D与 z 有关，与 x，y 无关来源:Z,xx,k.Com15、 【2017 届广西陆川 县中学高三 9 月月考】正四棱锥 的底面边长为 2，高为 2， 是边SABCDE的中点，动点 在棱锥表面上运动，并且总保持 ，则动点 的轨迹的周长为BPPEP_16、如图，矩形 ABCD中， 2A， 为边 的中点，将 沿直线 翻折成 1AD，若M为线段 1的中点，则在 E翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）A |BM是定值 B点 M在某个球面上运动C存在某个
17、位置， 使 1DEAC D存在某位置，使 /MB平面 1ADE17、在平行四边形 B中， 0， 240C，若将其沿 C折成直二面角DA，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A 16 B 8 C D 218、直角梯形 C，满足 A， A， B，现将其沿 A折叠成三棱锥 ，当三棱锥 D体积取最大值时其外接球的体积为（ ）A 32 B 43 C 3 D 419、 【江西省 2017 届高三 4 月新课程教学质量监测】如图所示，正方体 的棱长为 1， ABCD， 分别是棱 ， 的中点，过直线 的平面分别与棱 ， 交于 ， ，设EFA EFMN， ，给出以下命题：BMx0,1四边形 为平行四边形； 来源:
18、学+科+网N若四边形 面积 ， ，则 有最小值；来源:学#科#网 Z#X#X#Ksfx0,1fx若四棱锥 的体积 ， ，则 为常函数；AEFVPP若多面体 的体积 ， ， 则 为单调函数.BCDhx,2hx当 时，四边形 为正方形.12xMN其中假命题的个数为（ ）A. 0 B. 3 C. 2 D. 1来源:学&科&网 Z&X&X&K20、 【2017 届浙江省台州市高三上学期期末质量评估考试】如图，在矩形 中， 四边形为边长为 的正方形，现将矩形 沿过点 的动直线 翻折，使翻折后的点 在平面 上的射影落在直线 上,若点 在折痕 上射影为 ，则 的最小值为（ ）来源:学科网A. B. C. D. 来源:学科网 ZXXK
