1、温馨提示：此题库为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word 文档返回原板块。 考点 36 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.（2012浙江高考文科5）设 是直线， ， 是两个不同的平面（ l）A.若 , ，则 B.若 ， ，则 llllC.若 , ,则 D.若 , ,则 l l【解题指南】可由线面平行与线面垂直的判定与性质进行判断.【解析】选 B. 若 , ，则 、 可能相交；若 ，则平面 内必ll l存在一直线 m与 平行，又 ，则 m，又 ，故 故 B 对.若， ，则 或 ，故 C 错；若 ， , 则 与 关系不lllll确定，故 D 错.
2、二、填空题2.（2012辽宁高考理科16）已知正三棱锥 PABC，点 P，A，B，C 都在半径为 3的球面上，若 PA，PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_.【解题指南】利用条件，建立关于正三棱锥底面正三角形边长 a的方程，求 a，然后求三棱锥的高 h，则 R 减去 h 即为所求.【解析】由于 PA,PB,PC 两两垂直，则点 P 在底面 ABC 上的射影就是正三角形ABC 的中心 M，设正三角形 ABC 的边长为 a，则三棱锥的侧棱长为2a，3AMa，三棱锥的高 h，在 RtPAM中，由勾股定理得222236()()Paaha再设球心为 O，则 BC底 面 ，且 3Oh
3、在 RtAM中，由勾股定理得222223()()()AMa又6ha，则解得 2a，故球心到截面 ABC 的距离为63332ha.【答案】3三、解答题3.（2012湖北高考文科19）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱 ABCD-A2B2C2D2.（1） 证明：直线 B1D1平面 ACC2A2；（2） 现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A 1B1=20，AA 2=30，AA 1=13（单位：厘米） ，每平方厘米的加工处理费为 0.20
4、元，需加工处理费多少元？【解题指南】本题主要考查空间中的垂直关系的证明和表面积公式,解答本题的关键是利用空间几何体的特征，结合空间想象能力，利用线线垂直达到线面垂直,再结合题意求出表面积得结果. 【解析】 四棱柱 ABCD-A2B2C2D2侧面是全等的矩形,AA2 AB, AA2 AD.又 AB AD=A. AA2 平面 ABCD.连接 BD, BD 平面 ABCD, AA2 BD.根据棱台的定义知,BD 与 B1D1共面.又已知平面 ABCD/平面 A1B1C1D1,且平面ABCD 平面 BB1D1D=BD, 平面 BB1D1D 平面 A1B1C1D1= B1D1.所以 BD/ B 1D1,
5、于是由 AA2 BD, AC BD, BD/ B1D1,可得 AA2 B1D1, AC B1D1.又 AA2 AC=A,所以直线 B1D1平面 ACC2A2；(2)由于四棱柱 ABCD-A2B2C2D2底面是正方形,侧面是全等的矩形.所以S1= =(A2B2)2+4AB AA2=102+42 2ABCDABS上 上 侧 1031 300(cm2).又四棱台 A1B1C1D1-ABCD 上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以S2= =(A1B1)2+4（AB+ A 1B1）1 1ABCDS上 上 侧h2=202+2(10+20) 1 120(cm2).223(0)所以 S= S1+ S
6、2=2 420(cm2).故需加工处理费 2 4200.2=484（元）.4.（2012陕西高考理科18）（）如图，证明命题“ a是平面 内的一条直线， b是 外的一条直线（ b不垂直于 ） ， c是直线 b在 上的投影，若 a，则 c”为真.（）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）【解析】 （） （证法一） 如图，过直线 b 上任一点作平面 的垂线 n，设直线 ,abcn的方向向量分别是 ,abcn，则 ,c共面，根据平面向量基本定理，存在实数 ,使得 cbn，则 ()()()acbnabn，因为 ab，所以 0a，又因为 ， ，所以 0，:故 0c，从而 c，即 c.（证法二）
7、如图，记 bA,P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点，过 P 作PO，垂足为 O,则 c.PO， an，直线 PO a，又 ab， 平面 PAO， POb， 平面 PAO，又 ca平面 PAO， ac.（）逆命题为： 是平面 内的一条直线， b 是 外的一条直线（b 不垂直于 ） ，c 是直线 b 在 上的投影，若 ac，则 .逆命题为真命题.5.（2012浙江高考文科20）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB= .AD=2，BC=4,AA 1=2，E 是 DD1的中点，F2是平面 B1C1E 与直线 AA1的交点.（1）证明： EFA 1D
8、1； 1BA1平面 B1C1EF； 2（2）求 BC1与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值.【解题指南】考查线面间的位置关系，同时要注意棱柱性质的运用.【解析】 （1） 由 ADBC， 可得 AD ， 1 1BC1B又 ，AD1BCAD上 AD上所以 1又平面 B1C1E = ,1上EF所以 ,又 A1D1 ，所以 EFA 1D1F1BC在 和 中 2 1tRt112A所以 ，1tRFAB1t: 1190 BAF 1由 ADAB 可得 ，又11CAB11CB 又 ，可得 ，又 ，且1,B上上 1AC1BAF11BCBA 1平面 B1C1EF.(2) 设 ,连结 C1O.由（1）可知 BC1与
9、平面 B1C1EF 所成的角为=AFO 1O在 中， ,即 解得1tR211A2=6BO4=6 114306sin52BCOBC 1与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值为 .30156.（2012北京高考文科16）如图 1，在 RtABC 中，C=90，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将ADE 沿 DE 折起到A 1DE 的位置，使 A1FCD，如图 2.ABCD EFC BEDA1F图 1 图 2（1） 求证：DE平面 A1CB；（2） 求证：A 1FBE；（3） 线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C平面 DEQ？说明理由.【解题指南】折叠问题要注
10、意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化.第（1）问证明线面平行，可以证明 DE/BC；第（2）问证明线线垂直转化为证明线面垂直即证明 A1F平面 BCDE；第（3）问取 1AB中点 Q，再证明 A1C平面DEQ.【解析】 （1） ,DE分别是 AC，AB 的中点， /DEC，又 DE/平面 A1BC.（3）取 1AB中点 Q， 1C中点 P，连结 DP， PQ，QE.则 PQ/BC， /PQDE.由（2）知 1DEAC.又PQA 1C.A 1D=DCA 1DC 是等腰三角形.又点 P 为 A1C 的中点，A 1CPD.即 A1C平面 DEQ.7.（2012江苏高考16）如图，在直三棱柱
11、1BCA中， 11BAC，DE，分别是棱 1BC， 上的点（点 D 不同于点 C） ，且 DEF， 为 的中点求证：（1）平面 ADE平面 1BC；（2）直线 1/F平面 ADE【解题指南】 （1）关键在平面 AE与平面 1BC中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直.（2）关键在平面 ADE内找一条直线与直线 1AF平行.【解析】 （1） ， 分别是棱 1BC， 上的点（点 D 不同于点 C） ，且 ADE，又因三棱柱 1BC为直三棱柱，所以有 1B平面 ，即有 1B又在平面 内 BB1与 DE 必相交，所以 AD平面又 平面 E所以平面 平面 1BC.（2）在直三棱柱 A中， 11ABC，
12、所以有 ABC又由（1）知 D平面 1所以 BC所以 D 为边 BC 上的中点，连接 DF 得 AA1FD 为平行四边形，故 1/AFD又 A平面 E， A1F 平面 ADE,EFDCABC1A1B1所以直线 1/AF平面 ADE8.（2012福建高考文科19）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA 1=2，M 为棱 DD1上的一点（）求三棱锥 A-MCC1的体积；（）当 A1M+MC 取得最小值时，求证：B 1M平面 MAC【解析】 （）连接 1,MCA由长方体 1D知， D平面 1C，点 A 到平面 的距离等于 ，又 11212MCS，（）将侧面 1D绕 1逆时
13、针转 90展开，与侧面 1AD共面，当 1A,M,C共线时， AMC取得最小值由 ， 12得 为 1D中点，连接 B1M,在 中， ， 2， 1C，CC 12=MC12+MC2,得CMC 1=90，即 CMMC 1.又由长方体 ACDB知， 1平面 D， 1BCM，又 1， C平面 1BM，得 1CB；同理可证， A，又 A； 1平面 A9.（2012广东高考文科18）如图所示，在四棱锥 PBCD中， PD平 面 , /ABC,PAD,E是 PB的中点， F是 C上的点，且12FA, H为 中 边上的高. （1）证明： PHABCD平 面 ；（2）若 121F， ， ， 求三棱锥 EBCF的体
14、积；（3）证明： E平 面 .【解题指南】 （1）证明线面垂直利用判定定理需证线线垂直，本题易证：,ABPHAD.(2)由 E 是 PB 的中点知，V 三棱锥 E-BCF= V 三棱锥 P-BCF,由（1）知，12PH 为三棱锥 P-BCF 的高，V 三棱锥 P-BCF可求.(3)解决本题的第一个难点是证EF,通过取 AB 的中点 M，证 ABEF平 面 即可.第二个难点是证 EFPB，需证 PB，进一步需证： RttPD即可.【解析】(1) A平 面 PD,H平 面 ,H,又 且 ABPHABCD平 面 .（2）1121223EFBCFV三 棱 锥 三 棱 锥 P.(3)连接 PF，HF，取
15、 AB 的中点 M，连接 FM，EM，因为 E 为 PB 的中点，所以 EM/PA,四边形 DFMA 为平行四边形，所以 FM/AD,又因为 ABPD平 面 ,所以,ABDPA所以 ,FMBEFM且 ,所以 ,EFM平 面 所以 EF.又因为 /C,所以 DPACD平 面 ，所以 RtBtPD,所以 P，又因为 E 为 PB 的中点，所以 ,P又 A，所以 EFAB平 面 .10.（2012山东高考文科19）如图，几何体 EBCD是四棱锥， ABD为正三角形， ,CDEB.()求证： BED；()若 120C，M 为线段 AE 的中点，求证： 平面 .【解题指南】 （1）先取 BD 中点 O，
16、连接 OC，OE；证明 OE 是 BD 的垂直平分线即可.（2）本题考查线面的平行关系，可取 AB 中点 N，连接 利用平面 MND平面 BEC 来证.【解析】(I)设 BD中点为 O，连接 OC，OE，则由 BCD知， OB，又已知 CE，COCE=C,所以 BD平面 OCE.所以 O，即 OE 是 BD 的垂直平分线，所以 BD.(II)取 AB 中点 N，连接M 是 AE 的中点， M BE， ABD是等边三角形， DNA.由BCD120知，CBD30，所以ABC60+3090，即 BCA，所以 NDBC，又MNDN=N,BEBC=B,所以平面 MND平面 BEC，故 DM平面 BEC.
17、11.（2012安徽高考理科18）平面图形 1ABC如图 1 所示，其中 1BC是矩形， 12,4BC，2， 5.现将该平面图形分别沿 和 折叠，使与 1所在平面都与平面 1垂直，再分别连接 A1A,A1B,A1C,得到如图 2 所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.（）证明： 1ABC； （）求 1A的长；（）求二面角 1ABC的余弦值.【解析】 （I）取 ,的中点为点 1,O，连接 11,AO则 BO，面 面 BC面 BC同理： 1A面 1C 得： 11/,A共面又 ,面（）延长 1O到 D，使 得：1O11/DOA，面 面 面 面 ,在BCA1BC1BC1ABCRtAA 1D 中，（
18、） 是二面角 的平面角11,AOBCAO1ABC在 中，Rt22145在 中，1tA11cosAO得：二面角 的余弦值为 .1BC512.（2012安徽高考文科19）如图，在长方体 1DA中，底面 1DCBA是正方形， O是 BD的中点，E是棱 1A上任意一点.（）证明： BD1EC ；（）如果 AB=2， E= 2， 1ECO,，求 1A 的长.【解题指南】 （1）通过线面垂直证明线线垂直；（2） 1OEC:得到对应的线段成比例，进而求得 AA1的长.【解析】 （I）连接 A， 11/,ECA共面长方体 1DB中，底面 DB是正方形,C面 1EC1E.（）连接 A1C1，在矩形 1AC中， OA:得：关闭 Word 文档返回原板块。
