1、第五讲 等腰直角三角形与一次函数【知识要点】1专题研究：等腰直角三角形（45角）在坐标系中的运用（45角的存在性问题）原理：45 等腰直角三角形 必有全等 已知两点坐标，求第三点的坐标 构 造 构 造 线 段 转 化 （ 平 移 ）两点求解析式 求与其它直线（x 轴、y 轴）交点坐标 2研究与等腰直角有关的定值、定点、定角问题【新知讲授】【例 1】在直角坐标系中，等腰 RtABC 中，ACB90，ACBC（1）如图，A 点的坐标为（4，2） ，C 点的坐标为（2，2） ，求 OD 的长； y xBACO（2）如图，A 点的坐标为（5，8） ，B 点的坐标为（2，5） ，AC、BC 分别交 y
2、轴于 D、E 两点，求CDE 的面积 y xEDABCO【例 2】如图，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，以 AB 为边在第12y二象限内作正方形 ABCD（1）直接写出点 C 的坐标为 ，点 D 的坐标为 ；（2）你能否在 x 轴上找一点 M，在 y 轴上找一点 N，使得四边形 CDMN 的最长最小？若能，请求出 M 点、N 点的坐标；若不能，说明理由OxyDCBA【例 3】如图，直线 yx 8 与两坐标轴交于 A、B 两点，将直线 AB 沿 y 轴翻折得到直线 AC（1）直接写出直线 AC 的解析式为 ；（2）P 为线段 AB 上的一个动点，Q 为线段 A
3、C 上一点，且POQ 45若 P 点的坐标为（2，6） ，求 Q 点的坐标x yPQABOC设 P 点的横坐标为 a，Q 点的横坐标为 b，请求 b 与 a 的函数关系式x yPQABOC【例 4】在直角坐标系中，O 是坐标原点，直线 OA、OB 都经过第一象限，且满足AOB45 ，设直线OA 的解析式为 ykx，直线 OB 的解析式为 ymx（1）如图 1，当BOx30时，求直线 OB 的解析式；(1)ABx yO（2）如图 2，当 k2 时，请求出直线 OB 的解析式；(2)ABx yO（3）试求 m 与 k 之间的函数关系式(3)ABx yO【例 5】如图，直线 交两轴于 A、B 两点，
4、点 P 在 x 轴上，且 ABP45，求点 P 的坐标13yxA BOxy【例 6】如图，直线 与 x、y 轴交于 A、B 两点， P 为线段 OB 上一点，以 P 为直角顶点 AB 为腰+6y作等腰 RtPAC，连接 CP 并延长交 x 轴于点 D，当 P 点在 y 轴上运动时（不包括 O 点） ，点 D的位置是否发生变化？若不变，求出 D 的坐标；若改变，请说明理由DB AxyCOP【例 7】如图，直线 yx 6 与 x、y 轴交于 A、B 两点， P 为线段 OA 上的一点，以 B 为直角顶点，BP为腰的 RtBPC，连接 AC 交 OB 于点 D当 P 点在线段 OA 上运动时（不包括
5、 A 点） ，探索：的值是否发生变化？ODAPDPOC y xAB【例 8】如图，直线 ykx2（k0）与两轴交于 A、B 两点，沿 x 轴翻折直线 AB 得到直线 AC（1）当 k 时，请直接写出：A、B、C 三点的坐标及直线 AC 的解析式；1A： ；B ： ；C： ；直线 AC： （2）在（1）的条件下，若 D 为直线 AC 上一点，且ABD 45 ，求 D 点的坐标； yxCOBA（3）如图，将线段 AB 绕 A 点逆时针旋转 90到线段 AE，连接 CE 交 OA 于点 F，当 k 的值发生变化时，点 F 的位置是否发生变化？若不变，请求 F 点的坐标；若改变，请说明理由A BOCx yFE【例 9】如图，A 点的坐标为（0，3） ，B 点的坐标为（3，0） ，D 为 x 轴上的一个动点，AE AD，且AEAD，连接 BE 交 y 轴于点 M（1）若 D 点的坐标为（5 ，0） ，求 E 点的坐标； AExDOyBM（2）求证：M 为 BE 的中点； AExDOyBM（3）当 D 点在 x 轴上运动时，探索： OMBD为定值AExDOyBM
