1、学优中考网 第七章 一元一次方程方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用.从数学科学本身看，方程又是代数学的核心内容；从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础.为了能让同学们熟练地掌握一元一次方程的解法及应用，搞好期末复习，现从以下几个方面帮助大家对本章重点内容加以回顾，希望同学们喜欢.一、复习目标1，经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步.2，通过观察、归纳得出等式的性质，了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为 x a的形式）
2、，熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想.3，通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力.能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系” ，体会建立数学模型的思想，从而会找出简单应用题中的已知数、未知数和表示应用题全部含义的一个相等关系，列出需要的代数式、方程，从而求得应用题的解.会根据应用题的实际意义，检验求得的结果是否正确.二、要点梳理通过复习完成下列填空：1，表示式子叫做等式.在等式中，等号左、右两边的式子，
3、分别叫做这个等式的和.等式的左，右两边分别可以是数或等.2，叫做方程.只含有未知数，并且含未知数的式子都是，未知数的次数是，系数不是 0 的方程叫做一元一次方程中.其标准形式是 .这个值就是方程的解.3，等式有两个重要性质：（1），用字母表示为：；（2），用字母表示为.4，将方程中的某些项改变符号后，从的变形叫做移项.5，解一元一次方程一般有五个步骤，具体的做法、依据、注意点如下：（1）去分母 即在方程两边都乘以各分母的，依据是等式性质，去分母时不要漏乘的项；分子是多项式时应.（2）去括号 即一般是先去，再去，最后去.依据是分配律和法则，学优中考网 注意任何项不能漏乘括号内的每一项；若括号前面
4、是“”号，记住去括号时括号内各项都要符号.（3）移项 即把含有的项都移到方程的一边，其它项移到另一边.依据是移项的法则.从方程的一边移到另一边应注意；在同一边改变项的位置不叫移项.（4）合并同类项 即把方程化为 的形式，依据是法则，即系数相加，字母及字母的指数.（5）化系数为 1 即在方程两边都.依据是等式性质，系数是分数应注意分子与分母的区别.6，列一元一次方程解应用题简单地分为：设、找、答等五个步骤.三、方法解读复习一元一次方程的知识除了要掌握基础知识外，还要能熟练地掌握一些解一元一次方程和列一元一次方程的技巧，深刻领会解题过程中的数学思想方法.具体地说：1，注意掌握解一元一次方程的常见技
5、巧.一般地解一元一次方程的技巧有：巧去分母.如，解方程 220.5.x，注意到 0.2541，0.521，则可采用对左边第一项分子、分母同乘以 4，第二项分子、分母同乘以 2，这样可以使化系数为整数与去分母同时完成；巧去括号.如，解方程 34783xx，考虑括号及数字特点可考虑先去中括号.等等.2，在列一元一次方程解应用题时，当题设条件中含有“比”的形式时，可考虑间接的设其中的每一份；当知道每一个分量与整体的量有着内在的联系时，可考虑间接的整体设未知数；若要求的结论是一个整体问题时，可考虑间接设其中的某部分为未知数；在解决较为复杂的应用题时，若直接设元布列方程感到困难时，应及时变换思考的角度，
6、调整和转变原有的思想和方法，合理地设置间接未知数设法进行转化，以寻求新的解决问题的途径和方法.3，复习一元一次方程要结合教材内容，注重数学思想方法的运用.常见的思想方法有：化未知为已知；把工程的总工作量看成 1.等等.四、考点分析考点 1 等式的性质例 1 如图 1，天秤中的物体 a、 b、 c 使天秤处于平衡状态，则质量最大的物体是 . a学优中考网 分析 当两个天平都平衡时，即可得到两个关于 a、 b、 c 的等式，从而利用等式的性质就可以求解了.解 根据题意，得 2a3 b，2 b3 c，由等式的性质，得 4a6 b，6 b9 c，即4a6 b9 c，由此使天秤处于平衡状态，则质量最大的
7、物体是 a.说明 等式的性质有两个：一是等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是式；二是等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为 0） ，所得结果仍是等式.考点 2 一元一次方程的解法例 2 如果 2 005200.5 x20.05，那么 x 等于（ ）A.1 814.55 B.1 824.55 C.1 774.45 D.1 784.45分析 灵活运用解一元一次方程的一般步骤求解.本题只需通过移项和合并同类项即可.解 移项，得 2 005200.5+20.05 x，所以 x1 824.55，故应选 B.说明 解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知
8、数系数化为 1.考点 3 构造方程解题例 3 已知一个正方体的每一表面都填有唯一一个数字，且各相对表面上所填的数互为倒数.若这个正方体的表面展开图如图 1 所示，则 A、 B 的值分别是（ ）A.1， 2B.3，1 C. 2， 3 D.1， 13分析 要求 A 和 B 的值，根据题意和图形的性质，若能从中分别找到一个等量关系，构造出方程，即可求解.图 1图 131A21B学优中考网 解 根据题意，得 A31，或 B21，所以分别解得 A 13，或 B 2.故应选 A.评析 求解本题时应充分发挥想象，必要时可以通过动手操作，以降低求解的难度.考点 4 一元一次方程的概念例 4 一个一元一次方程的
9、解为 2，请你写出这个方程：.分析 要写出一个一元一次方程，使它的解为 2，由此，此题的答案不惟一，只要满足题意.解 本题是一道开放型问题，答案不唯一.如 x20， 1x1，等等.说明 处理这类开放探索应用题型，求解时应在符合题意的情形下大胆猜想，验证.考点 5 一元一次方程的实际应用例 5 中国人民银行宣布，从 2007 年 6 月 5 日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到 3.06%.某人于 2007 年 6 月 5 日存入定期为 1 年的人民币 5000 元（到期后银行将扣除 20%的利息税）.设到期后银行应向储户支付现金 x 元，则所列方程正确的是（ C ）A.x50005
10、0003.06B.x+5000205000(1+3.06)C.x+50003.06205000(1+3.06)D.x+50003.062050003.06分析 到期后银行应向储户支付的现金应该是本金与利息和，所以某人存入定期为 1 年的人民币 5000 元，到期后应得现金为 5000(1+3.06) 50003.0620.解 根据题意，得 x5000(1+3.06) 50003.0620，即x+50003.06205000(1+3.06).故应选 C.说明 这里应注意到期后银行将扣除 20%的利息税.例 6.2001 年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为 269 亿元，五次药品降
11、价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了 2003 年、2007 年相关数据.已知2007 年药品降价金额是 2003 年药品降价金额的 6 倍，结合表中信息，求 2003 年和 2007 年的药品降价金额.年份 2001 2003 2004 2005 2007降价金额（亿元）54 35 40分析 由于 2007 年药品降价金额是 2003 年药品降价金额的 6 倍，所以若设 2003 年的学优中考网 药品降价金额为 x 亿元，则 2007 年的药品降价金额为 6x 亿元，这样由等量关系式“五次累次降价总金额为 269 亿元”可列出方程求解.解 设 2003 年的药品降价金额为 x 亿元，
12、则 2007 年的药品降价金额为 6x 亿元. 则根据题意，得 54+x+35+40+6x269.解方程，得 x20，所以 6x120. 答：2003 年和 2007 年的药品降价金额分别为 20 亿元和 120 亿元.说明 求解本题除了要抓住等量关系，还要及时从表中捕捉有用的信息，都能顺利地列出方程求解.考点 6 综合创新 例.陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共 105 本，单价分别为 8 元和 12 元，买书前我领了 1500 元，现在还余 418 元. ” 王老师算了一下，说：“你肯定搞错了. ”（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予
13、解释；（2） 陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本.但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于 10 元的整数，笔记本的单价可能为多少元？分析（1）要说明陈老师是否搞错，只要通过适当的方程计算即可判断.（2）要求记本的单价，若设单价为 8.00 元的课外书为 y 本，笔记本的单价为 a 元，则有等量关系：105 本两种书的总价15004181 个笔记本的价格，同时要注意到笔记本的价格是小于 10 元的整数，即可求解.解（1）设单价为 8.00 元的课外书为 x 本，所以单价为 12.00 元的课外书则为(105 x)本.则根据题意，得 8x+12(105 x)150
14、0418.解之得 x44.5 (不符合题意) . 所以王老师肯定搞错了. （2）设单价为 8.00 元的课外书为 y 本，笔记本的单价为 a 元.则根据题意，得 8y+12(105 y)1500418 a.即 78+a4 y，因为 a、 y 都是整数，且 178+a 应被 4 整除，所以 a 为偶数，又因为 a 为小于 10 元的整数，所以 a 可能为 2、4、6、8.当 a2 时，4 x180， x45，符合题意；当 a4 时，4 x182， x45.5，不符合题意；当 a6 时，4 x184， x46，符合题意；当 a8 时，4 x186， x46.5，不符合题意.学优中考网 所以笔记本的
15、单价可能 2 元或 6 元.说明 抓住 a、 y 都是整数，且 a 为偶数，进行分类讨论是求解本题的关键.五、易错点剖析一元一次方程虽然结构简单，但涉及的概念比较多，求解时还讲究技巧，所以初学方程总免不了会出现各种错误.如，1，混淆等式与代数式.等式中含有等号，代数式中不含有等号，等式可以用来表示两个代数式之间的相等关系，但代数式不是等式.2，混淆方程与等式.判断一个式子是否是方程只需看两点：一是等式；二是含有未知数，两者缺一不可.就是说，方程一定是等式，而等式不一定是方程.3，在解一元一次方程时常见的错误.连用等号.如，解方程 x35 时，误写成x35 x5 +3 x8；移项不变号.如，解方
16、程 4x522 x，错误地移项，得4x2 x25；去括号时漏乘括号中的项或忽视符号.如，解方程3( x+5)11 时，错误地去括号，得3 x+511；去分母时漏乘不含分母的项或忽视分数线的括号作用.如，解方程 141 时，错误地去分母，得 2(2x1) x+21.等等.4，解应用题时，忽视应根据题意灵活设元，不注意检验方程的解是否符合实际意义，忽视设与答时单位的准确性. 五、同步训练1，解方程： 21632xx.2，当 m 为何值时，关于 x 的方程 5m+12x= +x 的解比关于 x 的方程 x(m+1)=m(1+x)的解大 2.3，甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时
17、行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里（1）慢车先开出 1 小时，快车再开.两车相向而行.问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？4，你在一个月的日历上竖列圈出一个竖列 3 个数，它们的和分别是 24、33、63，分别学优中考网 求这 3 个数.这 3 个数的和可以是 20 吗？可以是
18、21 吗？可以是 72 吗？同步训练参考答案：1， x2 4.2， m 3.3， （1）设快车开出 x 小时后两车相遇.由题意，得 140x+90(x+1)480，解这个方程，230x390，所以 x1 .即快车开出 1 小时两车相遇. （2）设 x 小时后两车相距 600 公里.由题意，得(140+90) x+480600 解这个方程，230 x120 ，所以 x 13.即 2小时后两车相距 600 公里.（3）设 x 小时后两车相距 600 公里.由题意，得(14090)x+480600，50 x120，所以 x2.4. 即 2.4 小时后两车相距 600 公里.（4）设 x 小时后快车追
19、上慢车.由题意，得 140x90 x+480，解这个方程，50 x480，所以 x9.6.即 9.6 小时后快车追上慢车.（5）设快车开出 x 小时后追上慢车.由题意，得 140x90( x+1)+480，50 x570，所以 x11.4.即快车开出 11.4 小时后追上慢车.4，设竖列圈出一个竖列 3 个数的中间一个数为 x，则另两个数为 x7， x+7.则根据题意，得 x7+ x+x+724，或 x7+ x+x+733，或 x7+ x+x+763.解这三个方程，得x8，或 x11，或 x21.所以当 x8，或 x11，或 x21 时， x7， x+7 可对应地求得为 1 和 15；4 和
20、18；14 和 28.若这 3 个数的和可以是 20，即有 x7+ x+x+720，解这个方程，得 x 203.而日期不可能是一个分数，即 20 不是 3 的倍数.所以这 3 个数的和不可以是20.若这 3 个数的和可以是 21，即有 x7+ x+x+721，解这个方程，得 x7.所以x70，即最小的数不在日历内.所以这 3 个数的和不可以是 21.若这 3 个数的和可以是72，即有 x7+ x+x+772，解这个方程，得 x24.所以 x+731，即如果是大月，则这 3 个数的和可以是 72，三个数为 17，24，31；如果不是大月，那么不可能三个数的和为 72.答：和为 24 时，三数为 1，8，15；和为 33 时，三数为 4，11，18；和为 63 时，三数为14，21，28.不可能和为 20（因为 20 不是 3 的倍数） ；不可能和为 21（最小的数不在日历内）；如果是大月，那么三个数为 17，24，31；如果不是大月，那么不可能三个数的和为 72.学优中考网
