1、学优中考网 第四单元第 22 课时 等腰三角形知识点回顾知识点一:等腰三角形的性质等边对等角等腰三角形的两个底角 .例 1：（2009 年贵州黔东南州）如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 AC上，且 BDBCAD，则A 等于（ ）A30 o B40 o C45 o D36 o 分析：根据等边对等角的性质可知： ABC C， BDC C， BAD ABD因此就有 ABC C BDC，因此若设 A x，则有 BAD ABD x， BDC ABC C2 x所以可列方程： x+2x+2x180可以解得x36同步检测一：1.在ABC 中，ABAC，若A70，则B ，C 若B40，则A 2.（08
2、嘉兴）已知等腰三角形的一个内角为 50，则这个等腰三角形的顶角为（ ）50 80 50或 80 40或 65知识点二：等腰三角形的性质三线合一等腰三角形的 、 、 互相重合。例 2：如图，在 ABC 中， AD AE， BD CE，求证： AB AC解：过点 A 作 AF BC AD AE， DF EF， BD CE， BF CF AF 垂直平分 BC AB AC同步检测二：1.在ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，B70，BC10，则 BD ，BAD AB CD EFAB CDE学优中考网 知识点三：等腰三角形的判定等角对等边在ABC 中，如果AB，则有 例 3：如图，已知 BD 是
3、ABC 的角平分线，DEBC 交 AB 于 E，求证：BED 是等腰三角形解：BD 是ABC 的角平分线 ABDCBDDEBC CBDBDE ABDBDEBEDEBED 是等腰三角形同步检测三：1.在ABC 中A50，B80，BC10，则 AB 知识点四：等边三角形的性质与判定等边三角形的三条边都相等，三个角都相等且都等于 都相等的三角形是等边三角形； 都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 的等腰三角形是等边三角形例 4:如图，C 为线段 AB 上一点，ACD，CBE 是等边三角形，AE 与 CD 交于点 M，BD 与 CE 交于点 N，AE 交 BD 于点O求证：AEBD AOB120 C
4、MN 是等边三角形分析：根据等边三角形的性质可用 SAS 证明ACEDCB，则得 AEBD 同时可得CEACBD，因此可由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得AOBAEBEBOAECCEBEBOOBCCEBEBOBECCBE6060120易知DCE60，故只需证MCENCB 即可.同步检测四：1若ABC 是等边三角形，D 为 AC 的中点，则DBC 2下列三角形：有两个角等于 60的三角形；有一个角为 60的等腰三角形；三个外角（每个顶点ONMEDC BA学优中考网 处各取一个外角）均相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中可以确定是等边三角形的是 。知识点五：含
5、 30的直角三角形的性质在 Rt中，30的角所对的直角边等于斜边的 例 5：如图，有一块形状为等边ABC 的空地，DE、EF 为地块中的两条路，且 D 为 AB 的中点，DEAC，EFAB，现已知 AE5m，你能求出地块EFC 的周长吗？分析：易知EFC 为等边三角形，则只需求出其边长即可。而由含30的直角三角形的性质可求出 AD10m，从而得 AB 为 20m，进而得 CE 为 15m。同步检测五：在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，若A30，BC2，则 BD ，AD 随堂检测：1等边三角形 ABC 中，D 为 AC 的中点，延长 BC 到 E，使 CECD，若 AB10，则 B
6、E 2如图，已知 OC 平分AOB，CDOB，若 OD3，则 CD 3等腰三角形的一个外角为 140，则这个三角形的顶角为 4等腰三角形的两边长分别为 9 和 4，它的周长为 5ABC 中，ABC123，AB10，则 BC 6如图，ABC 中，ABAC， B30，EF 垂直平分 AB 如 CF8，则 BF 7 （09 广西河池）如图，在 Rt ABC 中， 90A， AB=AC 6，点 E 为 AC 的中点，点 F 在底边 BC 上，且 FEB，则 CEF的面积是（ ）A 16 B 18 C D 7DCBA图6图图FECBA图2图图图1图图OD CBAEDCBACB FAE图FEDCBA学优中
7、考网 8 （09 重庆）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，腰长为 4 cm，则其腰上的高为 cm.9 （09 重庆）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC,ABADDC,B60.(1)求证：ABAC；(2)若 DC6,求梯形 ABCD 的面积 .10.（09 湖北宜昌）已知：如图， AF 平分 BAC， BC AF， 垂足为 E，点 D 与点 A 关于点E 对称， PB 分别与线段 CF， AF 相交于 P， M(1)求证： AB=CD；(2)若 BAC=2 MPC，请你判断 F 与 MCD 的数量关系，并说明理由DCBAFMPEDCBA第 9 题图学优中考网 参考答案：115；23；
8、340或 100；417 或 22；5.；6：7；8 ；9证明：32(1)ADBC，AB=DC B=60 DCBB60DACACB 又AD=DC DACDCA DCA=ACB062B+ACB90ABAC（2）过点 A 作 AEBC 于 EB60BAE30又AB=DC6BE=3 239EB ACB30，ABACBC=2AB=1211()(6)2732SDC梯 10解：(1)证明： AF 平分 BAC， CAD= DAB= BAC1 D 与 A 关于 E 对称， E 为 AD 中点 BC AD， BC 为 AD 的中垂线， AC=CD 在 Rt ACE 和 Rt ABE 中， （注：证全等也可得到
9、 AC=CD） CAD+ ACE= DAB+ ABE=90， CAD= DAB ACE= ABE， AC=AB （注：证全等也可得到 AC=AB） AB=CD (2) BAC=2 MPC， 又 BAC=2 CAD， MPC= CAD AC=CD CAD= CDA MPC= CDA MPF= CDM AC=AB， AE BC， CE=BE （ 注：证全等也可得到 CE=BE） AM 为 BC 的中垂线， CM=BM （ 注：证全等也可得到CM=BM） EM BC， EM 平分 CMB，(等腰三角形三线合一) C ME= BME （注：证全等也可得到 CME= BME ） BME= PMF， PM
10、F=C ME， MCD= F(三角形内角和) 注：证三角形相似也可得到 MCD= F学优中考网 同步练习：1如图，已知ABC 是等边三角形，ADBC，CDAD，则ACD ，若 AD2，则ABC 的周长为 2等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）A顶角 B顶角的一半 C顶角的两倍 D底角的一半3如图，在ABC 中 ，C90，ABC60，BD 平分ABC，若 AD6，则 CD 4若等腰三角形的一个内角为 50，则其底角为 5 （09 青海）方程 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周29180x长为（ ）A12 B12 或 15 C15 D不能确定6 （09 包头）如图，在 A 中，
11、1203C， ， 与 B相切于点 ，且交AB、于 MN、 两点，则图中阴影部分的面积是 （保留 ） 7 （09 呼和浩特）在等腰 ABC 中， AB AC，中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12 两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A7 B11 C7 或 11 D7 或 108 （09 湛江）如图，在等边 AB 中， E、 分别是C、的中点， 3DE，则 的周长是（ ）A6 B9 C18 D249 （09 汕头）如图所示， 是等边三角形， 点是C D的中点，延长 到 ，使 ，（1）用尺规作图的方法，过 点作 ，垂足是 （不DMBECA图3图图图1图图DBDCBAACBDE第题
12、图ANCDBMAB CD E学优中考网 AB D C写作法，保留作图痕迹） ；（2）求证： BME10 （09 厦门）已知：在 ABC 中， AB AC(1)设 ABC 的周长为7， BC y， AB x(2 x3)写出 y 关于 x 的函数关系式，并在直角坐标系中画出此函数的图象；(2)如图， D 是线段 BC 上一点，连接 AD若 B BAD，求证： ABC DBA11如图，已知正三角形 ABC 中，BDCE，AD 与 BE 相交于点P，求证APE60如 EFAD，则判断 PF 与 PE 的大小关系，并给出证明。12 （09 湖南常德）如图 9，若 ABC 和 ADE 为等边三角形， M，
13、 N 分别为 EB， CD 的中点，易证： CD=BE， AMN 是等边三角形（1）当把 ADE 绕 A 点旋转到图 10 的位置时， CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4 分）PF EB CAD学优中考网 （2）当 ADE 绕 A 点旋转到图 11 的位置时， AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时， ADE 与 ABC 及 AMN 的面积之比；若不是，请说明理由 （6 分）同步练习参考答案：112；2B；33；450或 65；5C；6 ；7C；818；39 （1）作图见答案图，（2） 是等边三角形， 是 的中AC DA点，平分
14、（三线合一） ，D ，BE又 ，ACD又 ，2ABC， ，DBEE又 ， M10(1)解： y72 x(2 x3) 画图象略 (2)证明： AB AC， B C. B BAD， BAD C. 又 B B， BAC BDA. 11证 ABD BCE (SAS)； BAPEBC, APE ABE+ BAP ABE+ EBC ABC60运用 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 PE 2PF 图 9 图 10 图 11图 8答案图ACBDEMD CBA学优中考网 12 （1） CD=BE理由如下: ABC 和 ADE 为等边三角形 AB=AC， AE=AD， BAC= EAD=60o BAE = B
15、AC EAC =60o EAC， DAC = DAE EAC =60o EAC， BAE= DAC， ABE ACD CD=BE （2） AMN 是等边三角形理由如下： ABE ACD， ABE= ACD M、 N 分别是 BE、 CD 的中点， BM= 12 AB=AC， ABE= ACD， ABM ACN AM=AN， MAB= NAC NAM= NAC+ CAM= MAB+ CAM= BAC=60o AMN 是等边三角形 设 AD=a， 则 AB=2a AD=AE=DE， AB=AC， CE=DE ADE 为等边三角形， DEC=120 o， ADE=60o， EDC= ECD=30o
16、， ADC=90o 在 Rt ADC 中 ， AD=a， ACD=30 o ， CD= 3a N 为 DC 中点， 32， 227()NA ADE， ABC， AMN 为等边三角形， S ADE S ABC S AMN 7:164:)27(:2 aa解法二： AMN 是等边三角形理由如下： ABE ACD， M、 N 分别是 BE、 CN 的中点， AM=AN， NC=MB AB=AC， ABM ACN， MAB= NAC ，图 11CNDA BME图 10CNDA MEB学优中考网 NAM= NAC+ CAM= MAB+ CAM= BAC=60o AMN 是等边三角形设 AD=a， 则 AD=AE=DE= a， AB=BC=AC=2a易证 BE AC， BE= aAEB3)2(22 ， 32Ea M27)2 ADE， ABC， AMN 为等边三角形 S ADE S ABC S AMN 7:164:)27(:2 aa 学优中考网 学优+中-考 ，网
