1、第四章线段 角复习指导本章主要研究最基本的几何图形线段和角的有关知识，是学习平面几何的基础，内容包括点和线，线段的长短比较，角和角的度量、角的大小比较、及角的特殊关系等。下面我们就对这一章的主要内容加以回顾，供同学们参考。一、复习目标1在现实情景中，认识并会表示点、线段、射线、直线、角等简单的平面图形，了解有关图形的性质，发展空间观念。2掌握有关直线、线段公理，了解直线、射线、线段的区别及线段中点、两点间距离的定义。3会比较线段的长短和角的大小。4认识解角的度量单位，会进行角的换算，理解互余、互补的定义与性质。5会计算线段和角的和与差，会使用直尺和圆规作线段和角。6了解简单的几何事实，并会简单
2、说理，发展思维能力。二、重难点提示本章的重点是线段、角的比较与和差计算，难点是对两点间距离的定义以及互余、互补的定义与性质的理解。三、知识归纳1点是最基本的几何图形，点没有大小之分，常用它表示物体的位置。2直线、射线、线段的区别名称 直线 射线 线段图形表示方法及读法1.用一个小写字母表示，如直线 l。2.用表示直线上的任意两点的大写字母表示，如直线 AB 或直线 BA用表示端点的大写字母和射线上的任意一点的大写字母表示，表示端点的字母写在前面，如射线 OA1.用小写字母表示，如线段 a。2.用表示两端点的大写字母表示，如线段 AB 或线段BA端点个数0 1 2延伸性向两个方向无限延伸 向一个
3、方向无限延伸 不能延伸延长性不存在延长问题 只能向一方延长（反向延长）能向两方延长作法 过 A、 B 两点作直线 AB 以 O 为端点作射线 连结 AB基本结论经过两点有一条直线，并且只有一条直线无 两点之间的连线中，线段最短度量、比较大小不能度量，不能比较大小（长短）不能度量，不能比较大小（长短）能度量，能比较大小（长短）3两点之间，线段最短。两点之间线段的长度叫做这两点的距离。 4角有三种表示方法：（1）可用大写英文字母表示；（2）可用阿拉伯数字表示；（3）用小写希腊字母表示。当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能只用表示顶点的一个字母表示其中的一个角，否则会产生混乱。5角的度量单位是度
4、、分、秒，在角的换算中，切记度、分、秒的换算是 60 进率。6估测、度量和叠合，都是比较线段长短和角的大小的重要方法，应根据实际情况和需要来选用。7角可以进行运算，角的运算包括两种情况：一种是对两个（或几个）角的度数进行加、减运算；另一种是从位置上将某一个角表示为另外两个角的和或差。8如果两个角的和等于 90，我们就称这两个角互为余角；如果两个角的和等于180，我们就称这两个角互为补角。同角(或等角)的余角相等，同角(或等角)的补角相等。互为余角和互为补角反映的是两个角的特殊数量关系，不是位置关系。四、思想方法总结1比较思维的方法所谓比较，就是“在人脑中把各种事物或现象加以对比，来确定他们之间
5、异同点和关系的思维过程” 。恰当的运用比较，可以深刻理解抽象的几何概念，弄清它们的联系与区别。例如在学习直线、线段、射线这三个概念时，通过列出表格形式，我们可轻而易举的弄懂三者之间的联系与区别，掌握了概念本质，通过渗透比较思想，可培养观察事物和辨别事物的能力。2分类讨论思想方法分类是解答数学问题常用的思想方法，分类必须按同一标准进行，而且要做到不重复，不遗漏。如本章中，线段、角的比较，结果分为相等、大于和小于三种情况。还有在解题过程中也常用分类思想讨论。如“已知线段 8ABcm，在线段 AB上画线段 C，使它等于3cm，求 AC的长” ，要分点 C在线段 上和点 C在线段 的延长线上两种情况讨
6、论等。3归纳思想由简单事物的性质，总结规律，推出复杂事物的性质，这种思维方法称为归纳法。在解决数线段和角的个数问题时，常常用到这种思想方法。4方程思想方程思想是解决数学问题的一种重要思想方法，解决一个问题，往往是由未知向已知转化，由陌生向熟悉转化，由复杂向简单转化。如在求线段的长度或角的度数以及涉及余角、补角问题时，常常运用代数方法求解，就用到了方程思想。五、复习要点提示1学习中注意密切联系生活中的实例，注意观察分析几何图形，结合图形理解和掌握几何知识，同时要注意学习如何画出整洁、美观的图形。2初学几何，要特别注意几何语句的读法和用法；能根据几何语句正确画出图形；能根据已知的几何图形用几何语言
7、叙述出一些事实。3注意我们画出的射线、直线都是有限的部分，但必须想象它们是向一方或两方无限延伸的。如下图中的直线 a与射线 b，它们实际上是相交的。4在复习过程中要再次体会“抽象”思维方法、 “比较” 思维方法，分类思想的形成和应用。六、典型例题析解例 1例 1下列结论中，错误的是（ ）A.互补的两个角若相等，则这两个角都是直角；B.直线是平角；C.射线 AB 和射线 BA 是同一条射线； D.一个角的余角一定比这个角小。析解：选项（B）混淆了直线与平角的概念，所以（B）错误；对于（C） ，显然忽视了在表示射线时，端点的字母一定要写在最前面，所以射线 AB 和射线 BA 的端点不同，不是一条射
8、线，故（C）错误；对于（D） ，可任意举一个反例，如 40 度的角的余角就大于 40 度，所ba以（D）也错误。综上，应选（A）.例 2如图，能用两种方法表示同一个角的是( )A.1 和C B.2 和C C.3 和A D.4 和B析解：用一个大写字母表示角时，只适用只有一个角的时候，否则不可以用这种方法，1 和2 都不能用C 来表示，因为端点 C 处有两个角，如用C 来表示，不知是指1 还是指2，同样A 也不能表示3。只有4 和B 表示的都是 ABC，故应选 D.评注：表示角时，首先要“明确” ，其次才是“简单” ，如果表示不明确，反而会引起更多的“麻烦” 。例 3 ,都是钝角，甲、乙、丙、丁
9、计算 1()6的结果依次为 50,267,9，其中确有正确的结果，那么算得结果正确者是 （ ）（ A）甲 （ B）乙 （ C）丙 （ D）丁析解：由钝角定义知，如果 是钝角，则 9018，于是有 90,180，所以 90180，即 1836。从而可得出 31()6，又 263,76,90，所以 1()应是 50， 即甲计算正确，故选（ A） 。例 4把下列角化成以度表示的角（1） 5236“； （2） 3659“； （3） 506“ 析解： 要把角化成以度表示的，就需要利用度、分、秒之间的进制关系，按从秒到分、再从分到度的顺序进行。（1） 3624.652436“1()1524.()15.00
10、（2） 9 7.（3） 0“评注：度、分、秒之间是六十进制而不是十进制，也不是一百进制；换算过程中应采取换秒为分，再换分为度的顺序；“以低位化高位” ，用除法。例 5已知线段 12ABcm，直线 AB上有一点 C，且 6Bcm， M是线段 AC的中点，求线段 M的长。析解：题中只是说明 C、 、 三点在同一直线上，无法判断点 是在线段 B上，还是在线段 的延长线上，所以要分两种情况来求 M的长。（1）当点 C在线段 AB上时，如下图：A BCMM是 的中点， 12 又 AC， 12ABcm， 6Cc，1()(6)3(2Bcm（2）当点 C在线段 A的延长线上时，如下图：A B CMM是 的中点
11、， 12C 又 A， 12ABcm， 6Cc， 1()(6)9(2ACBcm的长度为 3cm或 9。评注：当题中给出的条件，不能判断一定是哪种位置关系时，要对所有可能的位置关系都进行考虑。例 6长沙至北京间往返的特别快车，中途要停靠 7 个站（相邻两个站之间的路程不同） ，问最多有几种票价？有多少种不同的车票？析解：长沙和北京连同中途的 7 个车站，可以看做直线上的 9 个点，两个车站之间的票价是一样的，可以看做每两个点确定的一条线段，由于共有线段9(9-1)2=36 条，所以最多有 36 种车票价。由于车站是往返运行，因此车票数是票价数的 2 倍，应有362=72 种不同的车票。例 7如果一
12、个角和它余角的比是 1：3，求这个角的补角等于多少？析解：主要考察余角和补角定义的应用。解题的关键是用代数式表示出这个角的余角和补角，然后根据已知数量关系列出方程，求出这个角的度数，再求出它补角的度数。设这个角为 x，则 903x，得 2.5， 1802.517.，即这个角的补角等于 157.。评注：数学中利用方程转化思想，可将“形”的问题转化为“数”的问题研究，使问题更简捷。例 8你的一位同学打电话向你询问从 A地如何才能到达 F地，你需要在电话中告诉他如何走如图所示的路线，你会怎样将路线说清楚?请用文字写出。析解：本题主要考查方位角的应用，表示方向时，要先在观测点画出方位图，然后测出角度表
13、示出来。一般以正北正南为基准，向东或向西旋转的角度表示方向，注意表示时，要先写是北还是南，再写偏东或偏西，偏多少度。本题中可将路线表示为：先从 A 向东走60 米到 B,接着从 B 向南偏东 60走 30 米到 C，再从 C 向东走 80 米到 D，接着从 D 向南走15 米到 E,最后从 E 向东走 10 米即到 F例 9如图，已知 OB、OC 是 AOD内部的两条射线，ON 平分 COD，OM 平分 B,若 ，MN，求 的大小（用含 ,的式子表示）析解：解答本题的关键是找出 ,AODMNBC的关系，为此可引进未知数，设 Bx，然后利用和角、差角及角平分线的关系解题。因为 O平分 A， 平分 ，所以 11,22AODNC又因 BC，所以 1()2MDNOBCDx又 AAM所以 1()2x ， 解这个关于 x的方程得 2 即 BOC2.A BCDE F15060 米 30 米 80 米15 米10 米北
