1、第一章 集合与函数概念1.1 集合 1.1.1 集合的含义及其表示1集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合 A、集合 B集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如 a、 b、c 、p、q指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。（1）我国的直辖市； （2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数（4）young 中的字母； （5）大于 的数； （6）小于 的正数。002关于集合的元素的特征（1）确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者
2、不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象） ，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。3集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果 是集合 的元素，就说 属于 ，记作 aAaAa（2）如果 不是集合 的元素，就说 不属于 ，记作 （“”的开口方向，A不能把 aA 颠倒过来写 奎 屯王 新 敞新 疆 ）4有限集、无限集和空集的概念：5常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集
3、合 奎 屯王 新 敞新 疆记作N， ,20（2）正整数集：非负整数集内排除 0 的集 奎 屯王 新 敞新 疆记作 N*或 N+ ,321*（3）整数集：全体整数的集合 奎 屯王 新 敞新 疆记作 Z , ， 21（4）有理数集：全体有理数的集合 奎 屯王 新 敞新 疆记作 Q , 整 数 与 分 数Q（5）实数集：全体实数的集合 奎 屯王 新 敞新 疆记作 R 数数 轴 上 所 有 点 所 对 应 的注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 奎 屯王 新 敞新 疆（2）非负整数集内排除 0 的集 奎 屯王 新 敞新 疆记作 N*或 N+。6集合的表示方法：集合的表示方
4、法，常用的有列举法和描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：1，2，3，4，5，x2， 3x+2，5y 3-x，x 2+y2，；各元素之间用逗号分开。（2）描述法：把集合中的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成的形式。|()xp（3）韦恩（Venn ）图示意7两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。数学运用：例 1用列举法和描述法表示方程 的解集。230x例 2下列各式中错误的是 （ ）（1）奇数= （2）|21,xkZ|*,|51,234xN（3） （4）(,)|y(,),3例 3.求不等式 的解集235x例 4.求方程 的所有
5、实数解的集合。10例 5已知 ，且 ，求 的值22,MabNbMN,ab例 6已知集合 ，若集合 A 中至多有一个210,RAxax元素，求实数 的取值范围a2练习：（1）请各举一例有限集、无限集、空集（2）用列举法表示下列集合： 是 15 的正约数 |x(,)|1,2,xyy (,)|2,4yx|(),nN（3）用描述法表示下列集合： ； 1,470,32,46,810课堂练习1 下列说法正确的是 ( )A. , 是两个集合 B. 中有两个元素21(0,2). 是有限集 . 是空集6|xQN2|0xQx且.将集合 用列举法表示正确的是 ( )|3x且. . . .,21,02,10,0,12
6、31,23.给出下列个关系式： 其中正确的个数是( ).3RQN.个 .个 .个 .个.方程组 的解集用列举法表示为.25xy.已知集合 则 在实数范围内不能取哪些值.20,1x.(创新题)已知集合 中的三个元素是 的三边长,那么 一定不,SabcABCABC是 ( ).锐角三角形 .直角三角形 .钝角三角形 .等腰三角形课外作业：一、选择题1.下列元素与集合的关系中正确的是( )A. B.2xR|x C.|-3|N* D.-N233.2Q2.给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合 y|y=x2-1与集合( x,y)|y=x2-1是同一个集合；(3)1, , , ,0.5
7、这些数字组成的集合有 5 个元素；3461(4)集合( x,y)|xy0, x,yR是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.33.下列集合中表示同一集合的是( )A.M=(3,2),N=(2,3)B.M=3,2,N=(2,3)C.M=(x,y)|x+y=1,N=y|x+y=1D.M=1,2,N=2,14.已知 xN,则方程 的解集为( )20A.x|x=-2 B. x|x=1 或 x=-2 C. x|x=1 D.5.已知集合 M=mN|8-mN,则集合 M 中元素个数是( )A.6 B.7 C.8 D.9二、填空题6.用符号“”或“”填
8、空：0_N, _N, _N.5167.用列举法表示 A=y|y=x2+1,-2x2,xZ 为_.8.用描述法表示集合“方程 x2-2x+3=0 的解集”为 _.9.集合 x|x3与集合 t|t3是否表示同一集合？_10.已知集合 P=x|2xa,xN,已知集合 P 中恰有 3 个元素,则整数a=_.三、解答题11.已知集合 A=0,1,2,集合 B=x|x=ab,aA,bA.(1)用列举法写出集合 B；(2)判断集合 B 的元素和集合 A 的关系.12.已知集合1,a,b 与-1,-b,1是同一集合,求实数 a、b 的值.13.(探究题)下面三个集合： , ,2|xy2|yx2(,|xy(1)
9、它们是不是相同的集合？(2)试用文字语言叙述各集合的含义.1.1 集合 1.1.2 集合间的基本关系1.判断下列集合的关系 1,23,1AB ,AabBc2.判断正误 是空集0 的子集的个数为5对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系则称集合 A 为集合 B 的子集.我们已经知道元素与集合的关系用 表示，那么集合 A 是 B 的子集如何表示呢？（或 ） ，读作：“A 含于 B”（或“B 包含 A”）其中：“A 含于 B”中的于是被的意思，简单地说就是 A 被 B 包含.“”类似于 “ ”开口朝向谁谁就“大”.在数学中，除了用列举法、
10、描述法来表示集合之外，我们还有一种更简洁、直观的方法用平面上的封闭曲线的内部来表示集合 venn（韦恩）图.那么，集合 A 是集合 B 的子集用图形表示如下： BA问题 2 1,35,13AB |D|是 两 条 边 相 等 的 三 角 形，是 等 腰 三 角 形 xxC ,|0 131(,)|,(,)22xyAB上面的各对集合中，有没有包含关系？ 集合相等思考:上述各组集合中，集合 A 是集合 B 的子集吗？集合 B 是集合 A 的子集吗？对于实数 ,如果 且 ，则 与 的大小关系如何？baabba用子集的观点，仿照上面的结论在什么条件下 A=BA BABA问题 3 若 ，则集合 A 与 B
11、一定相等吗？BA若 ，则可能有 A=B，也可能 .当 ，且 时，我们B如何进行数学解释？ 如果 ，但存在元素 且 ，则 称集合 A 是集合 B 的真子集. xA B（或 B A）A = BA B问题 4:（1） （2）2|10xR|20xR上述两个集合有何共同特点？ 集合中没有元素 ，我们就把上述集合称为空集不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，规定：空集是任何集合的子集 空集与集合0 相等吗？ 0空集是任何非空集合的真子集通过前面的学习我们可以知道：1） 任何集合是它本身的 子集2） 对于集合 A，B，C ，如果 ，且 ，那么BACA例题：写出集合a,b,c的所有子集并指出，真子集、非空真子集
12、. 解：集合a,b,c子集：集合a,b,c真子集集合a,b,c的非空真子集【典型例题】：1.写出下列各集合的子集及其个数,abc2.设集合 , ,若 M N,求 的取值范围.|12Mx|0Nxkk且3.已知含有个元素的集合 , ,若，1bAa2,0Bab求 的值.2010ab4.已知集合 , ,且 ，求实数 m 的取值|3Ax|4BxmBA范围.【课堂练习】：.下列各式中错误的个数为( ) 10,210,20,12,0,12,A 1 B 2 C 3 D 4.集合 若 A B,则 的取值范围是.|,|xxaa.已知集合 ,若 B A，则实数 所构2|560,|1Bxmm成的集合 .若集合 为空集
13、,则实数 的取值范围是.2|3Axaa【达标检测】一、选择题.已知 ,给定下列关系： , M |2,MxRa 其中正确的是 （ ） a .若 ,集合 ,则,的关系为( ),xyR(,)|,(,)|1yAxyBx .若 C,且中含有两个元素 , 则满足上,B0,23,0,45C述条件的集合可能为( ). 0,10,3,4,2.满足 的集合共有( )aMbcd个 个 个 个二、填空题.已知 ,则集合,之间的关系ABC菱 形 正 方 形 平 行 四 边 形为.已知集合 若 B A,则实数 的值为.2|30,|10AxBxaa.已知集合 ,则实数 的取|4|2Rp或 且 p值集合为.集合 ,集合 ,则
14、与的关系|21,xkZ|1,xkZ为.已知 , ,集合与集合的关系为ab|BxA三.解答题10.写出满足 的所有集合. ,cd11.已知集合 ,求 的值.22,AxyBxyAB且 xy12.已知 , ,求实数 的取值范|5,|12xxaAa围. 1.1 集合 1.1.3 集合的基本运算【知识点】1. 并集一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A与 B 的 并集（Union）记作：AB 读作：“A 并 B”即： AB=x|xA，或 xBVenn 图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）
15、 。2. 交集一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与 B的交集（intersection ） 。记作：AB 读作：“A 交 B”ABA B?即： AB=x|A，且 xB交集的 Venn 图表示拓展：求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集3. 补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe） ，通常记作 U。补集：对于全集 U 的一个子集 A，由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全
16、集 U 的补集（complementary set ）,简称为集合 A 的补集，记作：C UA 即：C UA=x|xU 且 xA补集的 Venn 图表示4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或” ，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5. 集合基本运算的一些结论：AB A，A B B，AA=A ，A = ,AB=BAA AB ，B AB，AA=A ，A =A,AB=BA（C UA）A=U， （C UA）A= 若 AB=A，则 A B
17、，反之也成立若 AB=B，则 A B，反之也成立A BA(B) A B BAB A若 x（AB） ，则 xA 且 xB若 x（AB） ，则 xA，或 xB例题精讲：【例 1】设集合 .,|15,|39,()UURxAB求 【例 2】设 ， ，求：|6xZ2,456C（1） ； （2） .()ABC()AB【例 3】已知集合 ， ，且 ，求实数 m|4x|xm的取值范围.【例 4】已知全集 ， ， ，求*|10,UN且 2,4581,358B， ， ， ，并比较它们的关系. ()UCAB()()UCAB()UCA【自主尝试】1.设全集 ,集合 ,求 ,|10,xxN且 3,568,4,578BA
18、B, .AB()UC2.设全集 ,求 ,|25,|12,|13xAxBx集 合 AB, .AB()UC3.设全集 ,求2 2|26,|450,|1xxZxx且, , .()UAB【典型例题】1.已知全集 ,A,B 是 U 的两个子集,且满足|x是 不 大 于 30的 素 数, ,求集合 A,B.()5,12,()1,92UUACBCA()()37UCAB.设集合 ,若 ,求实数2 2|30,|0xBxaA的取值集合.a. 已知 |24,|AxxA B-1 3 5 9 x 若 ,求实数 的取值范围；ABa 若 ,求实数 的取值范围； 若 ,求实数 的取值范围.A且4.已知全集 若 ,求实数 的值
19、.2,3,Ua,25UbCAab和【课堂练习】.已知全集 ,则 ( )0,1246,82,461B(UB ,808.集合 ,则满足条件的实数 的值为 ( )2,AxBA且 x 或 ,或 ,或 或3.若 ( )0,1,3,4C则 (B)C 222,31,244.设集合 ( )|91,|AxBxA则 |3| |9x|1x【达标检测】一、选择题1.设集合 则 是 ( )|2,|21,MxnZNxnNMA B M C Z D 0.下列关系中完全正确的是 ( ) ,ab,abca 0.已知集合 ,则 是 ( )1,2,|,MNyxMN M 41.若集合,满足 ,则与之间的关系一定是 ( ),ABC A
20、C C A CA.设全集 ,若 ,则这样的集合共有( )|4,213UxZSuCPS 个 个 个 个二、填空题.满足条件 的所有集合的个数是.1,231,5A.若集合 ,满足 则实数 .|xBxa2ABa.集合 ,则集合.0,46,310UUCC.已知 ,则 .12351A10.对于集合,定义 ,= , 设集合|Bx且 ()()AB,则.,46,7890MN三、解答题11.已知全集 ,集合|16Ux2|680,Ax3,456(1)求 ,(2)写出集合 的所有子集.,AB()UCB12.已知全集,集合 ,且 ,求实数|,|12xax()UACBR的取值范围a13.设集合 ,且 求2 2|350,
21、|30AxpBq13. B1.1.3 集合的基本运算(加强训练)【典型例题】1.已知集合 ,若 ,求 的值.2|150,|10AxBxaABa2.已知集合 ,若 ,求 的|3|5a或 取值范围.3.已知集合 若 ,求2 2|40,|0xxa的取值集合.a4.有名学生,其中会打篮球的有人,会打排球的人数比会打篮球的多人,另外这两种球都不会的人数是都会的人数的四分之一还少,问两种球都会打的有多少人.【课堂练习】.设集合 ,则 ( )|32,|13MxZNnZMN 0,11,00,121,02.设为全集,集合 则 ( )MUNM且 UCNUCUNCUMCN.已知集合 ,则集合 是 ( )3|0,|3
22、1xx|1x M()U )U4.设 ,则 .,AB菱 形 矩 形 AB5.已知全集 .241,27UUaaCAa则【达标检测】一、选择题1.满足 的所有集合的个数 ( )1,3,5A 2.已知集合 ,则 ( )|23,|14xBx或 ABA B C D |34或 |-|3x1|-2x3.设集合 ,则 的取值范围是( )|,|8,SxTxaSTRaA B C D 1a11或 3或4.第二十届奥运会于年月日在北京举行,若集合, 参 加 北 京 奥 运 会 比 赛 的 运 动 员 参 加 北 京 奥 运 会 比 赛 的 男 运 动 员,则下列关系正确的是 ( )C参 加 北 京 奥 运 会 比 赛
23、的 女 运 动 员 ABBCABCBCA5.对于非空集合和,定义与的差 ,那么|MNxN且()总等于 ( ) M二.填空题6.设集合 ,则 .,(,)|1ABxy(x,y)|+2=7AB7.设 ,则 .2|0UAxN|是 不 大 于 10的 正 整 数 UC8.全集,集合 ,则 的包含关系是.|,|XxTyUTX与9.设全集 , ,|UAxx|是 三 角 形 是 锐 角 三 角 形 |Bx是 钝 角 三 角 形则 .CAB（ ） =10.已知集合 ,则 .|2,MNyxRy|-2+1， RMN三.解答题11.已知 , 222190,|560AxaBx|8C|.若 ,求 的值. B.若 ,求 的值.a12.设 U=R,M= ,N= ,求 .1|x50|xUCMN13.设集合 ,求 ,2|(2)0,|560AxmRBxAB.B
