1、 满分晋级知识切片【教师备案】在初中的时候，我们就学过解直角三角形，解直角三角形是怎么回事呢？在直角三角形中，除了告诉我们直角外，还有 5 个要素，我们发现，如果解这个三角形，把要素都求第 1 讲 我会解三角形你会么？性质及简单运用三角函数 3 级三角函数的图象性质及简单应用三角函数 4 级我会解三角形你会么三角函数 5 级三角函数公式强化2 第 1 讲目标班教师版出来，必须要知道至少 2 个要素，当然不能为 2 个角，换言之，解直角三角形就是知二求三的过程.当然，在我们学习了任意角的三角函数之后，我们的视野不能这么小，如果给我们一个一般的三角形，那我们应该如何解这个三角形呢？我们应该至少要知
2、道几个量？我们先来回顾一下初中边和角相关的东西，我们在初中学过尺规作图，而且学过三角形全等的证明（ ） ，只要给出上述条件我们就能把三角形确定，SAS， ， ，也就是全等. 那么，为什么我们知道 2 条边 1 个夹角就能求出其他要素呢？而知道两条边和一边的对角就无法证明三角形全等呢？三角形的边和角之间存在什么关系呢？尺规作图毕竟是定性的感受，在高中阶段，我们可以给出一个严格的证明，就是今天我们要讲的正余弦定理.正余弦定理的本质就是构造边与角之间的关系，由角就可以求出边，由边就可以求出角.下面我们就先来介绍正弦定理.1.1 正弦定理与其在解三角形中的应用知识点睛在 中的三个内角 ， ， 的对边分
3、别用 表示：ABC ABCabc， ，1正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等，即 sinisinabcABC【教师备案】 正弦定理的推导由三角形中的线段关系或者由三角形的外接圆可以直接得到，且，其中 为 的外接圆的半径建议老师用三角形的2sinisinabcRABCABC外接圆给学生证明，因为板块 1.4 中讲三角形面积的时候还会用到三角形的外接圆，所以不如这时给学生讲了.利用三角形中的线段关系证明正弦定理：在 中（如图） ，有 ，RtABCsinsiabABc，因此 ，又因为 ，所以siniabci1CiinsiabcC在锐角 中（如图） ，作 于点 ，有 D，即 ； ，
4、即 ，iDAbsinCbAsinBasiaB因此 ，即 ，同理可证iibA，因此siniacsinisncC在钝角 中（如图） ，作 ，交 的延长线于AB DBcb aDCBAcbaDCBACBAcba点 ，则 ，即 ； ，即 ，DsinCAbsinDbAsin180sinCBa sinCDaB因此 ，即 ，同理可证 ，因此iBiibiicAsinisinacABC利用平面几何知识证明正弦定理：如图所示，设 为 的外接圆的圆心，连 并延OA O长交 于 ，连 ，则 或 ，A，即 ，同理可证sini2aABR 2sinR，故有2isibcRBCibcBC当 是钝角三角形时，类似地得出上述结论.利
5、用向量知识证明正弦定理：当 是锐角三角形时，过 点作单位向量 垂直于 ，A AiAB如图， , B， iCiiiCiB，得 ， cos90cos90basniba得 iniaAB当 为钝角三角形时，类似地得出上述结论2利用正弦定理解三角形解三角形：三角形的三个内角和它们的对边分别叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形利用正弦定理可解下列两类型的三角形：已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；【教师备案】有了正弦定理之后，我们可以简单的看出，任意的两个角与一边相当于 AAS 和 ASA 的条件，可以确定所有的角，然后可以确定所有的边，因此，三角形也随之确定.已
6、知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角【教师备案】1.已知三角形的两边和一边的对角，由正弦定理可以求得另一边的对角的正弦值，但是解三角形时，因为在 内，互补的角的正弦值相等，所以求得另一边所对的角的(0,)正弦值之后，可能对应有一个角或两个角，因此无法确定三角形的形状，这就是为什么 SSA 无法证明三角形全等的原因.2.利用正弦定理证明三角形中“大边对大角” 的结论：当 为锐角三角形时，若 ，则 ，又 ，正弦函ABC absiniAB02，数在此区间内单调递增，故 ；AB当 为钝角三角形时，若 为钝角，则由 得， ， A又 ，故由正弦函数的单调性知： ，从而由
7、02， sinisini CBAOA CBA4 第 1 讲目标班教师版正弦定理知： ba对直角三角形，此结论显然成立，故综上知，在任意三角形中，均有大边对大角3.此时，到底取一个角还是取两个角，关键保持一个原则“大边对大角” .具体讨论如下：已知 和角 ，,aA若 为钝角或直角，则 至多有一个解；BC若 为锐角，得分情况讨论，如图：无解的情况例如： ，求 3460bcB， ， C由 ，sinibcBCsini23i 1 无解，从而满足此条件的三角形不存在这就是 的情况sincBb【教师备案】在讲利用正弦定理解三角形时，对于边角互化和利用边角互化判断三角形形状的题型建议放到同步去讲，本板块只讲利
8、用正弦定理解两种类型三角形，在讲完“已知两角和任一边解三角形” 后就可以让学生做例 1；在讲“已知两边和其中一边的对角解三角形” 时一定要注意三角形的多解问题，具体的多解见考点 2 的【教师备案】 ，讲完多解问题后就可以让学生做例 2 的铺垫以及例 2.经典精讲考点 1：已知两角和任一边解三角形【例 1】 已知两角和任一边解三角形 已知 中， 分别是 的对边， ， ， ，ABC abc， ， ABC、 、 3c60A45C则 _.a在 中， ， ， ，则 _；三角形的外接圆半径 30451b_.R在 中，已知 ， ， ，则 _. 8a607【解析】 32bsinAb , 一一a 余弦定理的推导
9、可以由三角形的向量运算直接得到，比如：2 222()()aBCABCBC2coscosbbAb也可以通过坐标法及两点距离公式得到建立合适的坐标系，如图，得 ，cosin0AbCBaC，从而有 ，22(cos)(sin)bb整理得： .22也可以通过三角形中的线段关系证明：在 中，已知边 及 （为了方便起见，假设 为最大的角） ，求边 的长ABC a， CCc证明：当 时，那么9022cb当 时，如图，无论 为锐角还是为钝角，都过 点做边 的高，交 ABC（或延长线）于点 ，这时高 把 分成两个直角三角形 和 ，DAB DA则 ， ，在 中，运用勾股定理，得sinAbCcosBabCRtD222
10、2sic2cosab2余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题：已知两边和任意一个内角解三角形；已知三角形的三边解三角形【教师备案】老师在讲完余弦定理后，可以就 SSS 和 SAS 型的全等证明做个简单讲解，这样子整个讲义的主线就串在一起.然后，可以让学生做【铺垫】 ， 【铺垫】是直接套公式的，做完【铺垫】就可以做例 3，例 3 是灵活的运用余弦定理解三角形，在解题过程中需要转化的；学生在能够灵活运用余弦定理后，就可以讲考点 4，用余弦定理判断三角形形状，在三角形中，因为每个角都在 内，所以一个角的正弦不能判断这个角是锐角还是0，钝角，但是余弦就能很快的判定是锐角还是钝角，在三角形中，
11、当 时， 为锐cos0角；当 时， 为钝角；当 时， 为直角；考点 4 的【铺垫】是直接根cos0cos据三角形的三条边判断三角形形状的，老师可以让学生先体会一下怎么样用余弦判定三角形形状，例 4 是已知三角形形状，求边的取值范围的，在解题过程中要注意用余弦定理和构成三角形的条件.经典精讲考点 3：用余弦定理解三角形【铺垫】在 中， ， ， ，则 _ABC 5a8b60Cc在 中， ，则 等于（ ） 22cAA B C D 604 12030【解析】 7bxyBCA(bcosC , bsinC)abcABCD Dc baCB A8 第 1 讲目标班教师版由余弦定理 ， 22cos256409c
12、abC7c C222()1os bcA ， 0180【例 3】 余弦定理解三角形在 中， ， ， ，则 _BC 5a8b7csinC在 中，已知 ， ， ， ，则 _.A3sinAio0A35abc在 中，若 ，则最大角的余弦是( ) 137cs4， ，A B C D 156718【解析】 32由余弦定理 ， ， 22coscab123sin2 ，且 ， ，又 ， ， sino0A3in5A45A 35ab， ，即 ，解得22csab22c280c或 （舍），c1 C由 ， ，则 ，22osaC3bac最大角为 ，B221c7ca考点 4：用余弦定理判断三角形形状【教师备案】最大角定三角形的形
13、状，由余弦定理易得，较小两边的平方和与最大边的平方的差可以定最大角是锐角、直角或钝角注意:三角形三边关系应满足的为: 较小两边的和大于第三边【铺垫】在 中，已知 ， ， ，则此三角形是一个 三角形ABC 5a6b7c【解析】 锐角三角形, 角 为最大角， ， 角 为锐角， 三角形为锐cb 221os05abcC C角三角形【例 4】 判断三角形形状 若以 为三边组成一个直角三角形，则 的值为 34x， ， x 若以 为三边组成一个锐角三角形，则 的取值范围为 ， ， 若以 为三边组成一个钝角三角形，则 的取值范围为 ， ，【追问】我们还可以考虑，当我们知道三角形两边的情况下，求某一个角的取值范
14、围，例如下面这个问题：已知 中， ，则 的取值范围是_ABC 12BC， （目标班专用）已知三角形的三边长为三个连续自然数, 且最大角是钝角.求这个三角形三边的长.【解析】 或57或 2234x234 ，依题意有: 或 解得 221734x21734x 5x 75， ，解法一：依题意有: 或 解得 或 221743x21743x 57x17解法二：本题也可以由函数的图象来解决，如图，设圆的半径 ，3OA，圆上任取一点与 两点构成三角形，从图形上4OBOB，看出，当圆上的点在点 和点 上时，构成直角三角形；当点DE在 上时，构成锐角三角形；当点在 和 上时，构ADEADEG成钝角三角形.由此可以
15、很快得出答案.【追问】06，设三角形三边的长为： 12nnN， ，最大角为 ， ， 2()()cos 是钝角， ， ， 0 2220(1)n，2(1)n 2(1)n， ， 或 . 3 3N， 2当 时， 不能构成三角形的三边，故舍去 .2， ，当 时， 即为所求三边的长.n4， ， GFEDCBAO10 第 1 讲目标班教师版【拓展】钝角三角形的三边分别是 ，其最大角不超过 ，求 的取值范围.12a， ， 120a在 中，若三条边是三条连续的正整数，且最大角是最小角的 倍，求 的三ABC ABC条边长.【解析】 钝角三角形的三边分别是 ， 显然有 ，设钝角三角形 ， ， a的最大的（内）角为
16、，依题意，得 ，9012由 ，可得 ，222133cosaaa1302a解得3，设最小内角为 ，三边长为 ，根据正弦定理得： ，1n， ， 1sini2， ，根据余弦定理得： ，12cosn s2 221con，解得 ，从而得 的三条边分别为1n 5nABC 456， ，1.3 正 余 弦 定 理 在 解 三 角 形 中 的 灵 活 应 用知识点睛1.正弦定理灵活应用： ， ， (其中 为 的外接圆的半径)；2sinaRA2sinbB2sincRCABC ， ， ； :si:sic2.正余弦定理的综合应用已知条件 应用定理 一般解法一边和两角（如 ）aBC， ，正弦定理 由 ，求角 ；由正弦定
17、理求出 与 ABCAbc两边和夹角（如 ）b， ，余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边 ；由正弦定理求出小边所对的角c(此角一定是锐角)；再由 ，求剩下的角.BC三边（ ）c， ，余弦定理正弦定理 由余弦定理求出最大角，然后正弦计算剩余两角两边和其中一边的对角（如 ）abA， ，正弦定理余弦定理由正弦定理求出角 ；由 ，求出角 ；再A利用正弦定理或余弦定理求 c【教师备案】本板块主要讲正余弦定理在解三角形中的灵活应用，尤其是正弦定理的灵活运用，根据正弦定理可以得到三角形的边与角之间的关系，可以把角全部换成边，也可以把边全部换成角， 【铺垫】就是根据正弦定理把边用角表示，例 5 是先要根据正弦定理
18、把边角化掉再根据余弦定理解三角形，此类题型不属于边角互化题型，是正弦定理的灵活运用，边角互化的题型是比如“ ”类型的，对于这类题我们放到同步去讲；在讲完正2sinabA余弦定理的灵活运用后就可以让学生体会一下正余弦定理在平面几何中的应用，因为在同步的时候不会讲此类题型，所以在预习的时候可以给学生介绍一下，具体见例 6 和目标班学案 2，而对于三角形中 的应用建议放到同步去讲.sisiBC经典精讲【铺垫】在 中，若 ，则 _.ABC :1:23:abc【解析】 由已知得 ，30690C， ， sin:si1:32ABC【例 5】 正余弦定理的综合运用在 中，若 ，则 的值为（ ） sin:si3
19、:24ABcoA B C D14143在 中，若 ，则角 为（ ）C 222siisinA锐角 B钝角 C直角 D不确定 【追问】在 中，若 ，则 是（ ） coscosabABABC.直角三角形 .等边三角形.钝角三角形 .等腰直角三角形CD（2010 天津理 7）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，AB BC， ， abc， ， 23abc，则 （ ） sin23siAA B C D060120150【解析】 根据正弦定理 ，sin2aR， ， ， sin2bBRcCsin:si:3:24ABCabc2341co， 根据正弦定理得 ， ，222sinisinABC 22abc22os0ab
20、cC角 为钝角 C【追问】由 ，根据正弦定理，得 .所以 ，即 . sin23si23cb2236abc27ab12 第 1 讲目标班教师版由余弦定理得 .所以 .223cosbcaA0A【例 6】 正余弦定理在平面几何中的应用1 在平行四边形 中， ， ， ，求BCD5BC6BD2 在 中，已知 ， ， 边上的中线 ，那么 A 47A72C3 （目标班专用）在 中，已知 , ， 边上的中线 ，43cos6AC5BD求 的值sin【解析】 如图，在 中， ，BC 22BCB即 22653cos在 中， ，AD 2cosADA即 22+得： ，即 2635B42B【点评】由本题可以得出平行四边形
21、定理：平行四边形的对角线平方之和等于四条边长平方之和 解法一：如图：设 ，则 ， ，DxCxD, ，由余弦定 ABcoscosA理，得 ，解得 ，22774xx 92xBC解法二：由平行四边形定理得： ，24781BC9 如图：设 为 的中点，连接 ，则 ，且EBCDEA，设 ，在 中利用余弦定理可得：1263DAx，2 cos6coscscosBEECABC，解得 或 （舍），28653xx 173x故 ，从而 ，即BC22 28cosABAB,213A DCBA72xx 74 x5463EDCB ADCBA又 ，故 ，30sin6ABC 213sin06A70sin14A1.4 三 角 形
22、 的 面 积知识点睛【教师备案】因为三角形的面积和正余弦定理关系不是特别紧密，而且到本讲结束，三角形的面积公式已经全部讲完，所以把三角形的面积单独做一个板块，老师可以把所有的三角形面积公式给学生讲一下.面积公式： 111sinsisin2224a abcShbcraCbcABR其中 为 内切圆半径， 为外接圆半径.rABC R【教师备案】在求三角形的面积时，学生印象最深的就是 ，那这个时候老师就可以根据 推ah12ah导其它公式，并且老师可以在这里把三角形的面积公式全部给学生整理一下，但是本讲重点是介绍 类型的三角形面积公式，如果学生的程度很好，老师可以介绍1sin2Sab一下“海伦公式”和圆
23、内接四边形面积公式.【选讲】海伦公式： ，其中 .ppc2abcp【推导】 2211sinos2 4SabCC 2 222244bcabcabc2211a ba令 ，则pbcSpabpc圆内接四边形面积： ，其中 .abcd2acd【推导】由 ，可得22cososabd2osb2222sin1abcabcdCBAcbaD CB A- dc ba14 第 1 讲目标班教师版=2bcdacdbadcabd11sinisin2Sa=42222bcdacdbadcabda cdpbpcd 【教师备案】老师在讲完三角形的面积后就可以让学生做【铺垫】 ， 【铺垫】是直接利用公式求三角形面积的，例 7 不能
24、够直接利用公式求三角形面积，需要先看在面积公式中缺少哪些变量，然后再根据题中的已知条件利用正余弦定理求出所需要的变量，最后再利用面积公式就可以了.第三题放了一道关于圆内接四边形面积的题目，供老师选择使用；例 8 是已知三角形面积解三角形，在解题过程中会用到正余弦定理，对于求面积的最大值的问题建议放到同步，因为在求最大值的问题时大多数要用到均值定理，学生这时候还没学，所以建议以后再讲.经典精讲【铺垫】 在 中，若 ， , ，求 的面积.ABC 57BC3sin14ABC【解析】 ， , ， 573sin14135i57224ABCS【例 7】 求面积 已知 ，三个内角 的对边分别记为 ， ，求
25、,ABCabc4360cB，ABCS 已知 ，三个内角 的对边分别记为 ，若 ， , ，2求 （目标班专用）已知：四边形 内接于圆 ，四边长依次为 ，求圆直径.ABCDO2,769【解析】 分析:三角形的已知条件为常见的 型根据条件有两种思路求三角形的面积 : S1sinsi2ABCSbcac所以欲求三角形面积需要先求 或先求 a方法一:由正弦定理知 ， ，siniBCsin4i601i 23cBb因为 是三角形的一个内角，故 或 ，3015又 ，故 60B3，从而 1890A82ABCSbc方法二:由余弦定理得 ，即 因为2cosacB430a480a，所以 0a81sin8ACS 要求面积
26、，先求一个角，已知三边，可以用余弦定理求一角：，22469cos1cbB ，235in1os 3i4156ABCSac .85【铺垫】已知 的三边长分别为 ，且面积 ，则 等于（ ） abc， ，2214ABCSbca AA B C D45301205【解析】，又 ， ，2211coscs4CSbcab 1sin2ABCSbc sico45【例 8】 已知三角形面积解三角形中，角 的对边分别为 ， ， ，又 的面AB C， ， abc， ， 2sin3cos7ABC积为 ，32求角 的大小； 的值ab【解析】 由已知得 ， 或 （舍） ，21cos3s1cos2C cs2在 中， ABC 60
27、 ， ， ，sin22Sab 3sin60ab 6ab又 ， ，cosc 227cosC， ，27 2116 第 1 讲目标班教师版225abab实战演练【演练 1】 （2010 北京卷文理 10）在 中，若 ，则ABC213bcC， ， _a【解析】方法一: 由余弦定理 得， ， 22cosac20a1方法二: 由正弦定理 得， ， 或 ，又因为 ，即 ， inibBC1sinB65bcBC所以 ， 6B236Aab【演练 2】 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则角C ， ， c， ， 22tan3acbc的值为（ ） A B C 或 D 或63653【解析】 D由余弦定理 及 得， 22
28、cosacbaB22tancbBc3sin2B所以 或 3B【演练 3】 在 中，已知 ，则角 的大小为（ ）AC 222sinisin3sinCACBA B C D150301060【解析】 A由 及正弦定理可得222sinisisiA223bcac即得 ， coacb150【演练 4】 在 中，角 所对的边分别是 ， ， ，ABC C， ， abc， ，1tan2A310cosB若 最长的边为 ，则最短边的长为（ ） 1A B C D2535455【解析】 D由 知 为锐角，10cos ，故 ，tan3BtanttanCABtant11AB由知 ，故 边最长，即 ，又 ，故 边最短，15c
29、1cb ， ，由正弦定理 ，0si2sisiibcC ，即最短边的长为 ni5cBbC5【演练 5】 （2011 西城一模文 15）设 的内角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且 ， AB BCabc4os5B2b 当 时，求 的值；30a 当 的面积为 时，求 的值 3c【解析】 因为 ，所以 ， 4cos5sin5由正弦定理 ，可得 ，所以 iiabAB10si3a53a 因为 的面积 ， ，C 1n2ScB所以 ， 310ac0由余弦定理 ， 22cosba得 ，即 8416520c所以 ， ， 2()0ac()4所以， 1概念要点回顾1.正弦定理公式 ；余弦定理公式 = .2ab2
30、.三角形面积公式 .S盲人数学家欧拉18 第 1 讲目标班教师版1783 年 9 月 18 日，法国人蒙高尔费兄弟举行了第二次热气球升空试验。当天下午，在俄国圣彼得堡，一位盲老人邀请好友聚餐，庆祝他计算的气球升空公式得到证明。饭后，他躲开众人又去计算天王星运行轨道，突然他手中的烟斗跌落地上，老人合拢了双眼，再也没有醒来。这位为人类科学事业奋斗到最后一息的盲人，就是欧洲著名数学家，瑞士人欧拉(17071783)。欧拉诞生在瑞士名城巴塞尔，从小着迷数学。他 13 岁就进了巴塞尔大学，功课门门优秀。17 岁时，他成为这所大学有史以来最年轻的硕士。18 岁开始发表论文，19 岁时写的论船桅的论文获巴黎
31、科学院奖金。1727 年，欧拉应聘到俄国圣彼得堡科学院工作，1733 年 26 岁时升为副教授和数学部负责人。由于工作繁忙，生活条件不良，他 28 岁时右眼失明。17411766 年，欧拉应柏林科学院的邀请，为普鲁士王国工作了 25 年。1766 年，俄国女皇叶卡捷琳娜二世亲自出面恳请欧拉重返彼得堡。欧拉的工作条件虽然大为改善，但工作强度超出了他的体力，劳累过度使他的左眼也失明了。接着又遭火灾，大部分藏书和手稿化为灰烬。但欧拉并没有屈服，他说：“如果命运是块顽石，我就化作大锤，将它砸得粉碎!”大火过后，欧拉又与衰老和黑暗拼博了 17 年，他通过与助手们的讨论，以及口授等方式，完成了大量科学论文和著作，直至生命的最后一刻。欧拉在数学、物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面都取得了辉煌的成就。在数学的各个领域，常常见到以欧拉名字命名的公式、定理和重要常数。在数学课本上 (求和号)、sin、cos(三角函数符号)等都是他创立并推广的。哥德巴赫猜想也是在他与哥德巴赫的通信中提出来的。欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论，创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的设计计算理论。欧拉一生能取得伟大的成就原因在于：惊人的记忆力；聚精会神，从不受喧闹的干扰，镇静自若，孜孜不倦。
