1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 48 炼 多变量表达式的范围数形结合一、基础知识：1、数形结合的适用范围：（1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组（2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等）2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩。二、典型例题例 1：三次函数 在区间 上是
2、减函数，那么32,fxbcxdR1,2的取值范围是（ ）bcA. B. C. D. 5,215,25,215,2思路：先由减函数的条件得到 的关系， ，所以 时，,bc3fxbxc,x恒成立，通过二次函数图像可知：0fx，由关于 的不等式组可123041cbf ,bc想到利用线性规划求得 的取值范围，通过作图可得152bc答案：D例 2：设 是定义在 上的增函数，且对于任意的 都有 恒成fxRx10fxf立，如果实数 满足不等式组 ，那么 的取,mn226380fmn 2mn值范围是（ ）A. B. C. D. 3,79,253,499,4高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网-
3、 2 -思路：首先考虑变形 ，若想得到 的关系，那么需要226380fmfn,mn利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小。由 可10fxf得： ，所以 关于 中心对称，即 ，所以：1fxfxfx1, 22222263806388fmfnfmfnfn，利用 单调递增可得： ，所以x 84n满足的条件为 ，所求,n2243可视为点 到原点距离的平方，考虑数形结合。2m,n将作出可行域，为以 为圆心，半径为 的圆的右4C2边部分（内部） ，观察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是 ，所以13,7213,9n答案：C例 3：已知函数 是 上的减函数，函数 的图像关于点 对称，若yfxR1
4、yfx1,0实数 满足不等式 ，且 ，则 的取值范围是_,x22f4y思路：从所求出发可联想到 与 连线的斜率，先分,xy0,析已知条件，由 对称性可知 为奇函数，再结合1ff单调递减的性质可将所解不等式进行变形： 2222fxfyfxfy，即 ，所以有20。再结合 可作出可行域（如图） ，数形结合可知 的范围是0xy14x yx1,2答案： ,高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -例 4：已知 是三次函数 的两个极值点，且,321,fxaxbR，则 的取值范围是（ ）012baA. B. C. D. ,41,1,241,2思路：由极值点可想到方程 的根， ，依题意可得
5、：0fxfxab的两根分别在 中，由二次函20xab,12数图像可知： ，且所求 01422fbaf可视为 与定点 连线的斜率，所以想到线21ba,b,性规划，通过作出可行域，数形结合可知 的范围是1ba,4答案：A例 5：已知实系数方程 的三个根可以作为一椭圆，一双曲线，一抛物线320xabc的离心率，则 的取值范围是_b思路：以抛物线离心率为突破口可得 是方程的根，设1x，则 ，从而32fxaxc0fabc，进而因式分解可知1cb，所以椭圆与双曲线的2 0xxab离心率满足方程 ，设1，则由椭圆与双曲线离心率的范围可知 一根在21gxx 0gx，一根在 ，所以 ，由不等式组想到利用线性规划
6、0,1,0021gab高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -求 的范围，即可行域中的点与原点连线斜率的范围。通过作图即可得到ba 12,ba答案： 12,例 6：已知三个正实数 满足 ，则 的取值范围是_,abc2,2acbcab思路：考虑将条件向与 有关的式子进行变形，从而找到关于 的条件：，可发现不等式组只与212cbacba相关，不妨设 ，则不等式组转化为：,cb,cxyb12xy即 ，所求恰好为 的范围，作出可行域即可021xyx得到 的范围为 3,2答案： ,例 7：设 是不等式组 表示的平面区域内的任意一点，向量 ，P0,13xy 1,m，若 ，则 的最大值
7、为（ ）2,1n,OmnRA4 B3 C5 D6思路：本题的变量较多，首先要确定核心的变量。题目所求为 的表达式。所以可视其为核心变,量，若要求得 的最值，条件需要关于的不等式组。所以考虑利用 与 的关, ,xy,高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -系将原先关于 的不等式组替换为关于 的等式组即可,xy,解：设 P, 2,Oxymn，代入到约束条件中可得： ，作出可行域即可解出 的最2xy0123大值为 4答案：A例 8：若实数 满足条件 ，则 的取值范围是_,xy21xy2yx思路：考虑所求式子中 可变为 ，所以原式变形为：22，可视为关于 的二次函数，设 ，其几何
8、含义为2 1xyyxyxytx与 连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即,0,，则1,t221,fttt答案： 2小炼有话说：本题也可以考虑利用三角换元。设 ，从而原式转1sin,tacoscoxy化为： ，由 可22 2costancos1iniini1,知 的范围为i1,例 9：（2016，天津六校联考）已知实数 满足 ，则 的取值范,abc22,0c2bac围是_思路：由 ，可建立直角坐标系，建立圆模型： ，则圆上的点22,0abc22xy为 ，所求分式可联想到斜率，即 可视为 两点连线的斜率。数, 2bkac,0abc形结合可得：过 的直线 与圆有公共点时斜率
9、 的取值范围，设2,clk，即 ，解得：: 0lykxkyc21Oldc3,k高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -答案： 3,例 10：（2012 江苏）已知正数 满足： ，则,abc534,lnlabcbac的取值范围是_ ba思路：可先将所给不等式进行变形： ，354cccc，从而将所给不等式转化为关于 的关系，为lnllnlbacbc ,ba了视觉效果可设 ，则已知条件为：,axy，而所求为 ，即可行域中的l534yexbycax点 与 连线的斜率。数形结合即可得到斜率的范,y0,围是 ，其中 为 与原点连线的斜率，,7e7x1,2A为过原点且与曲线 相切的切线斜率yxxye答案： ,7e小炼有话说：本题也可以用放缩的方法求得最值，过程如下：因为 ,0abc534a5342ccaa127c另一方面： lnllnbbcc，设 ，则1llaacclxf 2ln1xf可得 在 单调递减，在 单调递增fx0,e,e，即min ，令 ，则有fxfebxc高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -lnbce综上所述： lbcea,7bea
