1、14 第 2 讲尖子班教师版满分晋级新课标剖析当前形势 等差数列在近五年北京卷（理）考查 513 分要求层次内容A B C具体要求等差数列的概念 利用定义计算基本量，并能判断是否为等差数列高考要求等差数列的通项公式与前 项和公式n 熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式，并能利用其知识解决相关问题2009 年 2011 年（新课标） 2012 年（新课标） 2013 年（新课标）北京高考解读 第 20 题 13 分 第 20 题 13 分 第 10 题 5 分 第 20 题 13 分我们在暑期预习时学习了数列的概念，等差数列的基本量：包括 ，以及1nadS， ， ， ，等差数列的简单性质同步时数
2、列分成四讲，这一讲学习等差数列的判定与其它性质建议等差数列的判定讲 1 小时，等差数列的性质讲 2 小时另外，因为寒假讲了一点数列的性质，所以春季会延续寒假先讲数列的性质，再讲数列的判定数列 2 级等比数列初步数列 3 级等差数列深入数列 4 级等比数列深入第 2 讲 等差数列深入知识切片寒假知识回顾本块主要回顾等差数列的基本量通项的主要公式： ； 1nad12nnaS前 项和 的公式： ； nnS2nS d1 已知数列 是一个等差数列，且 ， ，则数列 的通项 _na23a59nan 已知数列 的通项公式为 ，则它的公差为_n 等差数列 的项数是_2140， ， ， ，【解析】 ； ； ；3
3、52等差数列 的前 项和为 ，且 ，则公差 等于_前 项和 =_nanS3164a， dnnS等差数列 的前 项和为 ，且 若 ，则 _5074a等差数列 的前 项和记为 ，已知 ，则通项 _；若 ，则nn1025， n24n_【解析】 ； 225 ；3 ， ；10n3数列 的前 项和 ，则数列 的通项 _a24nSnan在数列 中， ， ， ，其中 为常数，则 n5212ab *Nab， ab【解析】 ； ；42116 第 2 讲尖子班教师版2.1 等差数列的性质几乎所有的数列问题都可以通过最基础的公式解决，比如等差数列中，只利用两个公式：和 ，就可以把整个问题化简为只含有 和 两个变量1(
4、)nad1()2nSad 1ad的问题，然后代入条件求解即可但是，如果每道题都这么做的话，数列就会成为非常耗时间的问题以下我们总结了不同层次数列性质的考察，掌握的越多，解数列题就会越轻松寒假预习时我们学习了其中最常见的四个性质，见考点 1 的等差数列性质的知识回顾，对这四个性质的拓展与综合应用，我们安排了一道例题，见例 1之后我们将数列的其它性质分成几个部分，每部分都配有相应的例题也可以根据需要调整例题的顺序考点 1：等差数列的性质（一）寒假知识回顾本块主要回顾寒假预习讲过的等差数列的简单性质，即性质这些性质非常常用，后面就这些性质进行一些拓展与应用，见例题 1等差数列 的性质（一） （其中
5、的公差为 ，前 项和为 ）：nanadnnS （ ） ；()nmd*N，若 ，则有 ；若 ，则有 （ ， ， ， ） ；pqpqmn2pq2mpqamnN在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ， ， ，为等差数列，n2nm公差为 ；d若 为等差数列， 为前 项和，则 nanS21()nSa性质 可以引申出：21()na对于项数为 （ ）的等差数列，k*N有 ， ，故 ；1321kkSa奇 2421kSaa偶 1kSa奇偶对于项数为 的等差数列，*()有 ， ，故 1321kka奇 242()kka偶 Sk奇偶这些引申的性质不需要记，用性质很容易推导出来，见下面的例题 11已知
6、是等差数列，若 ， ，则公差 _， _， _na10a153d20a30a【解析】 ， ；259，2已知 是等差数列，若 ， ，则数列 前 项的和为（ ）na23a7na8A B C D18806456【解析】 C；3已知 是等差数列， ， ，则该数列前 项和 等于（ ）na124a782a1010SA B C D640102【解析】 B；4设等差数列的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）nnS285aa9SA15 B36 C45 D60【解析】 C；经典精讲【 例 1】 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 nanS122581aa 若一个等差数列前 3 项和为 34，后 3 项和为 146
7、，且所有项的和为 390，则这个数列的项数为_ 项 数 为 奇 数 的 等 差 数 列 ， 奇 数 项 之 和 为 44， 偶 数 项 之 和 为 33， 则 这 个 数 列 的 中 间 项 为_， 项 数 为 _【解析】 7； ；13 ；，【备选】若关于 的方程 和 （ ）的四个根可组成首项为 的等差数列，x20xa20xba14则 的值是_ab【解析】 3172考点 2：等差数列的性质（二）由性质可以直接得到下面的推论从而由等差数列的对应项的比值得到相关的和的对应项的比值知识点睛等差数列 的性质（二） （其中 的公差为 ，前 项和为 ）：nanadnnS18 第 2 讲尖子班教师版若 ，
8、为等差数列， ， 为前 项和，若 ，有 nabnAB0nb21naAB经典精讲【例 2】 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，若 ，则nabnnAB231n_5ab【追问】 _35b 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得nabnnAB7453n为整数的正整数 的个数是（ ）nabA2 B3 C4 D5【解析】 ；16【追问】 ；2 D 考点 3：等差数列的性质（三）两个等差数列的线性运算仍然构成等差数列当其中一个数列是常数列时，得到一个特殊情形，即 （ ， 为常数）为等差数列na知识点睛等差数列 的性质（三） （其中 的公差为 ，前 项和为 ）：nanadnnS
9、若 和 均为等差数列，则 （ ， 为常数）也是等差数列bnb经典精讲【例 3】 设数列 都是等差数列，若 ，则 _nab， 13721ab， 5ab 设数列 都是等差数列，且 ， ，则数列 的， 5100b3n前 项之和 等于_1010S 已知数列 中， ， ， ，则数列 的前 项的和na324a2nana2_20S【解析】 ；35 ；60 ；考点 4：等差数列的性质（四）等差数列的连续 项的和仍然构成等差数列这可以认为是性质与的推论即n； ； 是等差数列，故它们121na， ， ， 22na， ， ， 23nna， ， ，的和数列也是等差数列，即 为等差数列32nSS， ， ，知识点睛等差数
10、列 的性质（四） （其中 的公差为 ，前 项和为 ）：nanadnnS 等差数列的 项和也构成一个等差数列，即 ， 为等差数列，公差232n， ， 为 2d经典精讲【例 4】 设等差数列 的前 项的和为 ，若 ， ，则 _nanS41684S12 设等差数列 的前 项的和为 ，若 ， ，则 _53050S【解析】 ；1 ；80考点 5：等差数列的性质（五）这个性质直接利用前 项和公式就可得到，其中 为等差数列 是等差数列nnanS知识点睛等差数列 的性质（五） （其中 的公差为 ，前 项和为 ）：nanadnnS若 为等差数列，则 是等差数列，公差为 ，且 nS212da经典精讲【例 5】 等
11、差数列 中， ，其前 项的和为 若 ，则na1203nnS207205S_；2013S 设 是等差数列， 为其前 项的和，已知 ， ，则 _，数列nanS5S159020S20 第 2 讲尖子班教师版的前 项和 _nSnT【解析】 ；2013 ， ；75考点 6：等差数列的性质（六）知识点睛等差数列 的性质（六） （其中 的公差为 ，前 项和为 ）：nanadnnS用函数的观点看等差数列的通项公式与前 项和公式：， 时， 是关于 的一次函数；1()nd0d， 时， 是关于 的常数项为零的二次函数，可以考虑二次函数的对称2SnS性与最值同样，若 ，则 一定是等差数列2nSABa第个性质有一些有意
12、思的推论：如：等差数列 中， ，则 ；namn， 0mn等差数列 的前 项和记为 ，若 ， ，则 SpqpqS0pq等差数列 的前 项和记为 ，若 ， ，则 nn， ()pqS从函数观点给出简单证明（当然也都可以直接用公式给出证明）：点 在一条直线上， 在此直线上，故直线的斜率为 ，()na， ()()， ， ， 1即直线方程为 ，故 在此直线上，即 ；xym0， 0mna点 在过原点的一条抛物线上，由 知，此抛物线的对称轴为 ，()nS， pqS2pqx从而 ；0pq考虑数列 ，它的前 项和记为 ，则 ，1nannTpp，qpTST由知， ，故 qpqSpqS经典精讲【例 6】 等差数列 中
13、， ， ，问数列的多少项之和最大，并求此最大值na125917S【追问】如果是 呢？96S 等差数列 中， 为其前 项和，且 ， ，则下列说法正确的是nn67S8_此数列公差 ； 一定小于 ；0d9S6 一定是 中的最大值； 是各项中最大一项7Sn7a【解析】 法一：数列的前 项的和最大，131369【追问】 或 最大，最大值为12S38752正确【点评】 等差数列前 项和的最大值，最小值问题：n对于等差数列 ，a ， 时， 有最大值； ， 时， 有最小值10dnS10adnS求 最值的方法nS ，21 1()()dan将求 的最值转化成二次函数的最值问题，结合图象或通过配方法找到最值，要注意
14、n这里 中的 ；S*N在等差数列 单调时，na若 ，则 有最大值；若 ，则 有最小值10n 10na nS拓展等差数列 中， ， 且 ， 为其前 项和，则（ ）na101a10|anSA 小于 0， 大于 0 B 小于 0， 大于 01S 92C 小于 0， 大于 0 D 小于 0， 大于 056 21【解析】 B2.2 等差数列的判定考点 7：等差数列的判定知识点睛等差数列的常用判定方法： 是等差数列：na公式法：利用通项公式 是常数；前 项和公式 是常数kb，n2nSAB，定义法： ， ，其中 是常数*N1nd等差中项法： ， 22na22 第 2 讲尖子班教师版这三种判定方法的层次是逐渐
15、加深的，第种方法是可以求出通项，这个数列就完全确定了，这种方法相对比较多出现在选择和填空中；第种方法是能求出公差，例 7 是这种方法；第种方法是不用或很难求出公差，只知道公差是相等的，即 ，例12nnaa8 是用这种方法解决的一般证明数列是等差数列用的比较多的是后面两种方法经典精讲【铺垫】已知数列 满足 ， ，na12a*11322nnanN， 求证：数列 是等差数列n【解析】 ，因此数列 是首项为 ，公差为 的等差112n1n21a3数列【例 7】 已知数列 满足 ， ，令 求证： 是等差数列；na15168(2)nna 4nbanb【解析】 由已知得： ， ， ，4nb14nb，11na
16、11 1164()48nnnnaa，故 是首项为 ，公差为 的等差数列14bnb【拓展】定义域为 的函数 满足：对于任意 都有 ，1， fx1xy， ， 1xyfxfyf若 ， ，求证： 是等差数列2nna*Nnfa【解析】 111 1213nnnnn naffff f 所以，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列nf1f3f【例 8】 已知 成等差数列，问 是否也是等差数列，如果是，给出证明；1abc， ， bcabc， ，如果不是，给出反例【追问】若已知 成等差数列，问 是否也是等差数列acb， ， 1abc， ，【解析】 是证明如下：由已知得： ，故 12acb2acacb于是 2()(
17、)()b将代入得： ，2 2()0accacacb 即 ，即 也是等差数列2bcab ， ，【追问】由 成等差数列知： 也是等差数列，ac， ， 11bcabc， ，即 是等差数列，当 时，有 为等差数列bac， ， 0ac， ，当 时，没有这个结论，如 即为反例0 2ab，这里用到了数列的一个简单性质，即若 为等差数列，则 （ 为常数）为等nnb，差数列，这是后面性质的一个推论，在 为常数列时，即为此性质（2011 北大夏令营）已知 为递增等差数列求证： 不是等差数列sinsinxyz， ， coscosxyz， ，【解析】 假设 是等差数列，即 coco， ， 2y又由已知得 2iix与两
18、边分别平方后相加得： ，224cosin(cs)(sin)xzxz即 ，即 4cssin()zzxzo1故 ，从而 ，与 为递增等差数列矛盾xzkZ， ixiiy， ，故 不是等差数列ooy， ，实战演练【演练 1】记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）nanS12a40S6A B C D624368【解析】 D；【演练 2】等差数列 的前 项和记为 ，若 ，则 nanS2415a13S【解析】 1324 第 2 讲尖子班教师版【演练 3】一个只有有限项的等差数列，它的前五项和为 ，最后五项的和为 ，所有项的和为34146，则它的第七项等于_24【解析】 ；18【演练 4】设等差数列
19、 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）nanS396S789aA63 B45 C36 D27【解析】 B；【演练 5】已知数列 满足 ，且对任意 ，都有 na125nN142na求证：数列 为等差数列，并写出 的通项公式nna【解析】 ，即 ，所以 ，11242n naa1123n132na所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列n5故 ，故 532(1)2na23na【演练 6】已知数列 的前 项和 ， ，证明：数列 是等差数n2nS242nnaab nb列【解析】 ， 2nS1a当 时， ， 满足上式即 221(1)()3nnS n1a23na ，1()3na数列 是首项为 ，公差为 2
20、 的等差数列 ，2242)nna (43)(21)n即 (1)nb 1 1又 ， 是以 为首项， 为公差的等差数列2anb2大千世界（2010 江西理 22）证明以下命题：对任一正整数 ，都存在整数 ， ，使得 成等差数列ab()c22abc， ，存在无穷多个互不相似的三角形 ，其边长 为正整数且 成等差数n nn， ， 22nnabc， ，列【解析】 考虑到结果要证 ；类似勾股数进行拼凑22acb考虑到结果特征，取特殊值 满足等差数列，只需取 ， ，对一切正2157， ， 5ba7c整数 均能成立 结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷证明：当 成等差数列，则 ，22nnabc， ， 22nnbacb分解得： ()()na选取关于 的一个多项式， 作两种途径的分解24122 241)()4(1) 对比目标式，构造 ，由第一问结论得，等差数列成立，21nnbnc考察三角形边长关系，可构成三角形的三边下面证明互不相似任取正整数 ， ，若 ， 相似：则三边对应成比例mm n， 22211nn由比例的性质得： ，与约定不同的值矛盾，故互不相似
