1、2018年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题一、填空题(共 8小题每小题 8分,满分 64分)1. 集合 ， ，且 ,则满足条件的实数 组成的集2|560Px|10MxmMPm合为 2.函数 的值域是 ()1f3x3已知函数 在 上的最大值为 ,最小值为 ,|2|0814xfRm则 Mm4.已知四面体 中, , , ,则该四面体的体积ABCD534ADBC41ABD为 5.已知关于 的方程 有两个根分别在 内,x32axb10(0,)则 的取值范围是 21ab6.在直线 上任取一点 ,过点 向圆 作两条切线,其切点分别为 ,则直线3xP22()4xyAB经过一个定点，该定点的坐标为 7.已知
2、为锐角,则 的最小值为 A4sin1A4cos8.甲乙两人打乒乓球,甲每局获胜的概率为 ,当有一人领先两局的时候比赛终止比赛的总局数为23的概率为 ,这里要求 ,则 +()ixNip1()iIxiN1iSxp二、(1)证明对于任意的正实数 都有: ,ab2ab(2)已知正数 满足: ，求 的最小值.,xy14xy三、设锐角 边 上的垂足分别为 ,直线 与 的外接圆的一个交点为 ,直线ABC, DEFABCP与 交于点 .证明: .PDFQAP四、已知实数 满足:,xy，求 的最小值.21cos(1)2(1)yxyx五、设 是两个非空集合若存在一个从 到 的函数 满足:,STST()yfx(i)
3、 ；()|fxS(ii) ,当 时,恒有 .12,12x12()fxf那么称这两个集合“保序同构”.证明: (1) 是保序同构的；(0,)ABR(2)判断 是不是保序同构的，若是，请给出一个函数的表达式；若不是，请说明理由.ZQ2018年全国高中数学联赛河南省预赛高一参考答案一、填空题1. . 1,0232. .,3. .4. .205. .(,)6. .437. .108. .85二、(1)由 ，故2ab2()0ab2ab(2) 14()xyxy4529yx等号在 处取到，故最小值为 .1,39三、如上图所示,由于 是垂足,则 ,DEF90BCE故 四点共圆，从而,CBFA而 =QAPF故 四点共圆,FAQPEACBPQ四、 21cos(1)xy2(1)yxy2()2()1xyx2xy由于 ，故 ，从而201cos(1)2xy1012xy2xy2cos(1),xykZ，12xy21(),4kZ故 .min()4xy五、(1)令 ，()ta(fx1)()2A则 单调增,且其值域为 ,因此 和 是保序同构的；xRB(2)集合 不是保序同构的.,AZBQ事实上上若集合 是保序同构的.则存在函数 ,使得 ,其中 .()yfx(1),(2)fafb,aQb考察数 ，则 ,由于 和 是保序同构的,则存在 使 ，2abcQcABxZ()fc结合 单调递增,则 ,矛盾.()yfxx
