1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -第 78 炼 圆锥曲线中的定值问题一、基础知识：所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。1、常见定值问题的处理方法：（1 ）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示（2 ）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量） ，然后进行化简，看能否得到一个常数。2、定值问题的处理技巧：（1 ）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向。（2 ）在运算过程中，
2、尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢（3 ）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算二、典型例题： 例 1：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线方程为 ，右焦点43yx，双曲线的实轴为 ， 为双曲线上一点（不同于 ） ，直线 分别5,0F12AP12,A12,PA于直线 交于 两点9:lx,MN（1 ）求双曲线的方程（2 ）试判断 是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由F解：（1）由 可得 ，且焦点在 轴上5,0cx所以设双曲线方程为： ，则渐近线方程为21xyabbyxa由 解得：43ba225c34a双曲线方程为
3、2196xy高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 -（2 ）由（1 ）可得： ，设123,0,A0,Pxy设 ，联立方程 解得：11:APykx1395ykx1924,5Mk同理：设 ，联立方程 可得：22:3yk1ykx26,Nk12646,55kFMFN12k下面考虑计算 的值120012,3ykx2019ykx在双曲线上 0,P 22200016996x201169ykx540FMN所以 为定值例 2：已知椭圆 的离心率为 ，且过点210xyab322,（1 ）求椭圆方程（2 ）设不过原点 的直线 ，与该椭圆交于 两点，直线 的O:lykxm,PQ,OPQ斜率依次为
4、 ，且满足 ，试问：当 变化时， 是否为定值？若是，求出12,k124k2m此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由解：（1）由 可得：32cea:3abc高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -椭圆方程为 代入 可得：214xyb2,解得： 221ba椭圆方程为214xy（2）设 ，联立方程可得：12,PQ消去 可得： ，整理可得：24ykxmy244xkm2180依题意可知： 1 2122,ykxykxmxx121244km即 12xm由方程 可得：224840kkx12122,mx代入可得：，整理可得：2841km222814km2可知 为定值，与 的取值无关k例
5、 3：已知椭圆 经过点 ， ，动点210xyab61,2P2e,0Mt（1 ）求椭圆标准方程高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -（2 ）设 为椭圆的右焦点，过 作 的垂线与以 为直径的圆交于点 ，求证：FFOMN的长为定值，并求出这个定值ON解：（1）由 可得： 2e:2:1abc椭圆方程可转化为： ，将 代入椭圆方程可得：2xy6,P，解得： 22161b21b椭圆方程为 2xy（2 ）由（1 ）可得： 1,0F:2tOMyx思路一：通过圆的性质可得 ，而 （设垂足为 ） ，由双垂直可想到射NFK影定理，从而 ，即可判定 为定值2KN，设 与 相交于:1FNyxtK
6、则 解得： 2:1Kyxt24,tt2244tOt t24OMt为圆的直径 MONK由射影定理可得：22NKO思路二：本题也可从坐标入手，设 ，则只需证明 为定值即可，通0,Nxy220ONxy过条件寻找 关系，一方面： ，可得 ；另一0,xyFM0t方面由 点在圆上，可求出圆的方程 ，从而N22114txy高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -，展开后即可得到 为定值2200114txy20xy解：设 ，则 0,N0,FxyOMt21FOMxt0xyt的中点坐标为 ， 1,2t24Ot24tr以 为直径的圆方程为： OM2211txy代入 ，可得：0,Nxy22004
7、t22000114t200xyt即 2ON例 4：已知椭圆 的离心率为 ，半焦距为 ，且 ，2:10xyCab230c1ac经过椭圆的左焦点 ，斜率为 的直线与椭圆交于 两点， 为坐标原点F1k,ABO（1 ）求椭圆 的方程（2 ）设 ，延长 分别与椭圆交于 两点，直线 的斜率为 ，求证：,0R,ABR,CD2k为定值12k解：（1） ，设 23cea,3ka由 可得： 1,c高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -225bac:19xyC（2 ）由（1 ）可得 ，设 2,0F1234,AxyBCxyD可得： 11:yARx联立方程 1212 15409yxyx22111
8、345yx135yx113395xy1194,yC同理，直线 与椭圆交点 的坐标为BRD225,x121221342124445595959yyxyxyxk12212121164yxyxyxy设 ，代入可得：1:ABk1122kyx1211121212 5544xxykxy211 1574ykkx2174高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -小 炼 有 话 说 ：本题中注意 的变形：可通过直线方程用 表示 ，代入后121yx12,x12,y即可得到关于 的表达式12,x例 5：已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆2:10yCab1,0F3,2P上， 为坐标原点O（1）求
9、椭圆 的标准方程（2）过椭圆 上异于其顶点的任一点 ，作圆 的切线，21:153xyCabQ24:3Oxy切点分别为 （ 不在坐标轴上） ，若直线 的横纵截距分别为 ，求证：,MN, MN,mn为定值213mn解：（1）依 可知 椭圆方程为 代入 解得：1,0Fc21xya3,2P24a223ba椭圆方程为 1xy（2）思路：由（1）可得： ，可设 ，由题意可知 为过 作213:14xyC0,QxyMNQ圆切线所产生的切点弦，所以 ,从而可得 ，所以04:MN004,3mny，由椭圆方程可得 ，从而 为定202193348xymn203xy21934值解：由（1）可得：221:11543C设
10、可知 是过 作圆切线所产生的切点弦0,QxyMNQ设 ，由 是切点可得： 12, ,OMQN高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -1MQOxky，代入 ： ，100: 1,Mxy1100xy即 ，同理可知对于 ，有2101xyxNQ220因为 在圆 上,MN24:3Oy为直线 上的点21243xy10243xy,MN043xy因为两点唯一确定一条直线，即 04:3MNxy00143xy由截距式可知 004,3mnxy22202199331648xy在椭圆 上QC204xy即 为定值202193384xymn21mn小 炼 有 话 说 ：（1）本题定值是通过整体代入的手段
11、，即抓住最后 的特点整体消去 所得，2034xy0,xy所以在处理定值问题时，涉及的变量个数可以多，但是要有一定的条件保证能够消去。（2）本题求直线 方程的过程即为切点弦公式证明的过程，此时抓住两点所在方程“同MN构”的特点，从而确定直线方程注：切点弦方程：过圆外一点 作圆 的切线，切点为 ，则切点弦 的Q22:xyr,AB方程为： 20xyr高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -例 6：如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 ，设 为椭圆上任意一2:14xyC0,Rxy点。过原点作圆 的两条切线，分别交椭圆于2200: 8Rxy,PQ（1 ）若直线 相互垂直，求 的方程,
12、OPQRA（2 ）若直线 斜率存在，并记为 ，求证： 是一个定值12,k12k（3 ）试问 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由22解：（1）由 可得200: 8RxyAr，即OPQ4r016xy联立方程： 或 或 或2002146xy02y02xy02xy的方程为：RA或 或228xy228xy或（2 ） 思路：可设直线 ，均与圆相切，可得 （其中12:,:OPykxQykx021iikxyd）化简可得： ，可发现 均满足此方程，从而1,i200088ii12,为 的两根。则 ，再利用椭圆方程消元即12,k22000xkxy0128ykx可得到定值解：设 12:,:OPykxQyk
13、x与 相切RA102OPdrk高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -221018kxyk化简可得： 2008xy对于 ，同理可得：2:OQyk22008kxy为 的两根12,0008xxy120yk21422004xy21208y（3）思路：设 ， ，由第（2）问所得12,PxQy2221OPQxy结论，可以考虑通过联立直线与椭圆方程将 坐标分别用 进行表示，再判断,k是否为定值22O解：当 不在坐标轴上时，设,PQ12,PxyQ12221: 44ykxk222111,xykk同理可得：2224,22221221121 44kkkkxy 22 2111213674kk
14、k若 在坐标轴上（不妨设 在 轴）上，则,PQPx6,0,23PQ高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -2236OPQ综上所述， 为定值236例 7：已知椭圆 ，称圆心在原点，半径为 的圆为椭圆2:10xyCab2ab的“准圆” ，若椭圆 的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到 的距离为2,FF3（1 ）求椭圆 的方程及其“ 准圆”方程（2 ）点 是椭圆 的“准圆 ”上的动点，过点 作椭圆的切线 交“准圆”于点PCP12,l,MN 当点 为“准圆”与 轴正半轴的交点时，求直线 的方程并证明y12,l12l 求证：线段 的长为定值MN解：（1）依题意可得： ，2c3a22
15、1ba1xy2rb2:4OxyA（2 ） 由（1）可得 ，设切线方程为：0,2P2ykx联立方程： 消去 可得：213xyk223x整理可得： 290x21436136kk解得： 所以 :2,:PMyxNyx 设 0, 010:k则 ，消去 可得：1023ykxy221033xkxy高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -整理可得： 222211011010036363kxkyxkyx0643y整理后可得： 221010xky同理，对于设切线 的斜率为 ，则有：PN2200203xky在“准圆”上122020 0413xyx12k所以 为“准圆”的直径PMN为定值，例
16、8：已知点 在椭圆 上，椭圆 的左焦点为31,22:10xyCabC1,0（1）求椭圆 的方程（2）直线 过点 交椭圆 于 两点，l,0Tm,MN是椭圆 经过原点 的弦，且 ，问是否存在ABCOAB正数 ，使得 为定值？若存在，请求出 的值；若不2MNm存在，请说明理由。解：（1）由左焦点 可得 ，由1,0c2221bacba，代入 可得： 解得：2:xyCa3,P221942:143（2）思路：由所求可联想到弦长公式，除了所求变量 ，直线 的另一核心要素为m,MNAB斜率 （假设 存在） ，通过 可联想到弦长公式，所以分别将直线 的方程与k2ABMN,高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所
17、有高考资源网- 13 -椭圆方程联立，进而 为关于 的表达式，若 为常数，则意味着与 的取值无2ABMN,mk2ABMNk关，进而确定 的值m设直线 , ，联立方程：:lykx12,yx222213484104xkmyk22118,343xxk2221169mkMNk设 ，则 34,AxyB22214334xyxkk222348114kx228AB2 2221141 39639kkMN mmk 所以若 是个常数，2AB也为 的形式，即 2139mk21Ak21391此时 ，当直线斜率不存在时，可得 符合题意4MN4ABMN1小 炼 有 话 说 ：本题在判断 的取值也可通过精确的计算得到，通过分
18、式变形化为只有一项m含 的表达式：k高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 14 -TSRNMPy xO，若 的2 222111 2333AB mMNmkmk2ABMN值与 无关，则 k20例 9：如图，已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆 的左顶点2:10xyCab32C为圆心作圆 ，设圆 与椭圆 交于点 源:Z_xx_k.ComT22:rTC,MN（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）求 的最小值，并求此时圆 的方程 来源:学科网 来源:Z|xx|k.ComMN（3 ）设点 是椭圆 上异于 的任意一点，且直线 分别与 轴交于点 ，PC, ,x,RS为坐标原点，求证： 为定值 OORS解
19、（1）圆 的圆心 T2,02a3cea3c221bc椭圆方程为： 24xy（2 ）由圆与椭圆关于 轴对称可得： 关于 轴对称,MNx设 ，则 ，且有0,Mxy0,Nxy2014y由 可得： 2,T000,TTx220014xyx2211558435因为 在椭圆上（非长轴顶点） M02x高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 15 -时， ，将 代入可得 085xmin15TMN08x135y即 ，代入到圆方程可得： 3,23r（3）思路：依图可知所 可翻译为坐标运算即 ，且 分别为直线ORS RSx,与 轴的交点，可设出 ，从而结合 和 计算出,MPNx1,Pxy0,My0Nx
20、y的方程，从而 可用 进行表示，再根据椭圆方程 进行, ,RS01, 20214xy消元即可。解：设 ，由 可得：1,Pxy0,Mxy的方程为：01Mk101yx令 ，可解得： y010Rxy同理可解得 与 轴的交点 的横坐标 NPS010Sxy所以 220101010=RSRS xyOxxyy因为 ， 均在椭圆上1,Py0,My，代入到可得：202200211144xxyy222 20110010 10044yx yORS所以 ，即为定值4例 10：如图所示，在平面直角坐标系 中，设椭圆xOy高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 16 -，其中 ，过椭圆 内一点 的两条直线
21、分别与椭2:10xyEab32aE1,P圆交于 和 ，且满足 ，其中 为常数且 ，当点 恰为,AC,BD,APCBD0C椭圆右顶点时，对应的 57（1）求椭圆 的方程E（2）当 变化时， 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由ABk解：（1）由 可得： 32ba:2:31bc24:103xyEaba若 为右顶点，则 ，设 C,0,PCa,A1,APxy 1由 可得： x代入 可得 ，代入椭圆方程可得：1xay57125,7aA解得 2254193aa3b椭圆方程为： 2xy（2）解：设 1234,ABCxyD由 ，可得： ，因为 在椭圆 上PC13y,A213xy所以有： ，代入 并整理可得：2134xy13xy高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 17 -2122134xyy 整理可得：221134xy211685xy211374234xyxy21954同理可得：对于 ，则有,BD22195434xy12121234xy y，即为定值123ABk
