1、专题二 函数与导数2.1 函数概念、性质、图象专项练-3-1.函数 :非空数集 A 非空数集 B的映射 .(1)求函数定义域的主要依据是使函数表达式有意义 .(2)求函数值域要优先考虑定义域 ,常用方法有 :单调性法 ;图象法 ;基本不等式法 ;导数法 .2.函数的奇偶性 :若函数的定义域关于原点对称 ,则 f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 f(-x)=-f(x).3.函数的周期性 :(1)若 f(x)=f(a+x)(a0),则 T=a;(2)若 f(x)满足 f(a+x)=-f(x),则 T=2a;(3)若 f(x+a)= (a0),则 T=2a;(4)若
2、 f(x+a)=f(x-b),则 T=a+b.4.判断函数单调性的方法 :(1)定义法 ;(2)导数法 ;(3)复合函数根据同增异减的判定法则 .-4-5.函数图象的几种常见变换(1)平移变换 :左右平移 “ 左加右减 ”;上下平移 “ 上加下减”.(2)翻折变换 : 将 y=f(x)在 x轴下方的图象翻折到上方 ,与 y=f(x)在x轴上方的图象合起来得到 y=|f(x)|的图象 ; 将 y=f(x)在 y轴左侧部分去掉 ,再作右侧关于 y轴的对称图象合起来得到 y=f(|x|)的图象 .(3)对称变换 : 若 y=f(x)的图象关于直线 x=a对称 ,则有 f(a+x)=f(a-x)或 f
3、(2a-x)=f(x)或 f(x+2a)=f(-x). y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于 y轴对称 ;y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于x轴对称 . y=f(x)与 y=-f(-x)的图象关于原点对称 .-5-(4)函数的周期性与对称性的关系 : 若 f(x)的图象有两条对称轴x=a和 x=b(ab),则 f(x)必为周期函数 ,且它的一个周期是 2|b-a|; 若 f(x)的图象有两个对称中心 (a,0)和 (b,0)(ab),则 f(x)必为周期函数 ,且它的一个周期是 2|b-a|; 若 f(x)的图象有一条对称轴 x=a和一个对称中心 (b,0)(ab),则f(x)必为周
4、期函数 ,且它的一个周期是 4|b-a|.6.两个函数图象的对称关系-6-一、选择题 (共 12小题 ,满分 60分 )1.函数 f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是 ( )A.(-,-2) B.(-,1) C.(1,+) D.(4,+)D解析 由题意可知 x2-2x-80,解得 x4.故定义域为 (-,-2) (4,+),易知 t=x2-2x-8在 (-,-2)内单调递减 ,在 (4,+)内单调递增 .因为 y=ln t在 t (0,+)内单调递增 ,依据复合函数单调性的同增异减原则 ,可得函数 f(x)的单调递增区间为 (4,+).故选 D.-7-A.b0,且 10时 11,a
5、1,又 bxb0,0cbB故 A不正确 .由以上解析可知 ,B正确 .对于 C, 0b0, acbc,故 C不正确 .对于 D, 0b0, ca2,故排除 A,C;当 x +时 ,y +,故排除 B,满足条件的只有 D,故选 D.-14-B-15-11.(2018全国 ,文 12)设函数 则满足 f(x+1)0且 2x2x,解得 x1.故 x -1.综上所述 ,x的取值范围为 (-,0).-16-12.(2018全国 ,文 12)已知 f(x)是定义域为 (-,+)的奇函数 ,满足 f(1-x)=f(1+x),若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+ +f(50)=( )A.-50
6、 B.0 C.2 D.50C解析 f(-x)=f(2+x)=-f(x), f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x). f(x)的周期为 4. f(x)为奇函数 , f(0)=0. f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0), f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. f(1)+f(2)+ +f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.-17-二、填空题 (共 4小题 ,满分 20分 )13.(2018全国 ,文 13)已知函数 f(x)=log2(x2+a),若 f(3)=1,则 a= .解
7、析 因为 f(3)=log2(9+a)=1,所以 9+a=2,即 a=-7.-7 14.已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数 ,当 x (-,0)时 ,f(x)=2x3+x2,则 f(2)= . 12 解析 因为 f(x)是奇函数 ,所以 f(-x)=-f(x).又因为当 x (-,0)时 ,f(x)=2x3+x2,所以 f(2)=-f(-2)=-2(-8)+4=12.-18-19-16.设 f(x)=ex,f(x)=g(x)-h(x),且 g(x)为偶函数 ,h(x)为奇函数 ,若存在整数 m,当 x -1,1时 ,不等式 mg(x)+h(x) 0成立 ,则 m的最小值为 .1 解析 由
8、 f(x)=g(x)-h(x),即 ex=g(x)-h(x),得 e-x=g(-x)-h(-x),又 g(x),h(x)分别为偶函数、奇函数 ,所以 e-x=g(x)+h(x),2.2 函数的零点与方程专项练-2-1.零点的定义 :对于函数 y=f(x),使 f(x)=0的实数 x叫做函数 y=f(x)的零点 .2.零点存在性定理 :如果函数 y=f(x)在区间 a,b上的图象是一条连续曲线 ,且有 f(a)f(b)-4C.x|x5 D.x|x5 4D-6-4.已知函数 f(x)=2ax-a+3,若 x0 (-1,1),f(x0)=0,则实数 a的取值范围是 ( )A.(-,-3) (1,+)
9、 B.(-,-3)C.(-3,1) D.(1,+)A解析 函数 f(x)=2ax-a+3,由 x0 (-1,1),f(x0)=0,可得 (-3a+3)(a+3)0,所以函数 f(x)=ax+x-b在 (-1,0)内有一个零点 ,故 n=-1.-8-A.4n B.2n C.n D.0 B-9-g(x)的图象也关于点 (2,0)对称 ,即有 f(x)与 g(x)的交点关于点 (2,0)对称 ,-10-8.已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点 ,则 a=( )C解析 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1), f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+ae2-
10、x-1+e-(2-x)+1=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1), f(2-x)=f(x),即直线 x=1为 f(x)图象的对称轴 . f(x)有唯一零点 , f(x)的零点只能为 1,即 f(1)=12-21+a(e1-1+e-1+1)=0,解得 a= .-11-9.设函数 f(x)的定义域为 R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),当 x 0,1时 ,f(x)=x3,则函数 g(x)=|cos(x)|-f(x)在区间 上的所有零点的和是 ( )A.2 B.3C.-2 D.4B解析 因为 f(-x)=f(x),f(x)=f(2-
11、x),所以 f(-x)=f(2-x),所以 f(x)的周期为 2.画出 y=f(x)和 y=|cos(x)|的图象 ,由图可知 ,g(x)共有 5个零点 ,其中 x1+x2=0,x4=1,x3+x5=2.所以所有零点的和为 3.-12-D解析 对任意 x R,都有 f(x-2)=f(x+2), f(x+4)=f(x+2+2)=f(x+2-2)=f(x), f(x)是定义在 R上的周期为 4的函数 ;作函数 f(x)与 y=loga(x+2)的图象如下 ,-13-11.已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x0),若方程 g(x)-f(x)=0有两个相异实根 ,则 m的取
12、值范围为 ( )A.(-e2+2e+1,+) B.(-,-e2+2e+1)C.(-e2+1,2e) D.(2e-1,e2+1)A解析 若 g(x)-f(x)=0有两个相异的实根 ,即函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象有两个不同的交点 ,作出 g(x)= (x0)的大致图象 . f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为 x=e,开口向下 ,最大值为 m-1+e2.故当 m-1+e22e,即 m-e2+2e+1时 ,y=g(x)与 y=f(x)的图象有两个交点 ,即 g(x)-f(x)=0有两个相异实根 . m的取值范围是 (-e2+2e+1,+).-
13、14-A-15-二、填空题 (共 4小题 ,满分 20分 )13.(2018江苏 ,11)若函数 f(x)=2x3-ax2+1(a R)在 (0,+)内有且只有一个零点 ,则 f(x)在 -1,1上的最大值与最小值的和为 . -3 -16-14.已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数 ,且当 x (0,+)时 ,f(x)= 2 017x+log2 017x,则 f(x)在 R上的零点的个数为 . 3 -17-15.已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点 ,则实数 m的取值范围是 . (1,2 解析 函数 g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点 , g(x
14、)在 m,+)上有一个零点 ,在 (-,m)上有两个零点 ,-18-16.已知函数 f(x)=ex-e-x,下列命题正确的有 .(写出所有正确命题的编号 ) f(x)是奇函数 ; f(x)在 R上是单调递增函数 ; 方程 f(x)=x2+2x有且仅有 1个实数根 ; 如果对任意 x (0,+),都有 f(x)kx,那么 k的最大值为 2. 2.3 函数与导数的应用专项练-2-1.导数的几何意义函数 y=f(x)在点 x0处的导数的几何意义 :函数 y=f(x)在点 x0处的导数是曲线 y=f(x)在 P(x0,f(x0)处的切线的斜率 f(x0),相应的切线方程是 y-y0=f(x0)(x-x
15、0).注意 :在某点处的切线只有一条 ,但过某点的切线不一定只有一条 .2.常用的求导方法-3-一、选择题 (共 12小题 ,满分 60分 )1.函数 f(x)=excos x在点 (0,f(0)处的切线斜率为 ( )A.0 B.-1 C.1 D.解析 f(x)=excos x-exsin x, k=f(0)=e0(cos 0-sin 0)=1.2.函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示 ,则下列结论成立的是 ( )A.a0,b0,c0,d0,b0,c0,d0D.a0,b0,c0,d0解析 由函数的图象可知 f(0)=d0,排除选项 A,B;f(x)=3ax2+2bx+c,且由
16、图象知 (-,x1),(x2,+)是函数的减区间 ,可知 a0,b R)的一个极值点 ,则 ln a与b-1的大小关系是 ( )A.ln ab-1 B.ln a0时 ,xf(x)-f(x)0成立的 x的取值范围是 ( )A.(-,-1) (0,1) B.(-1,0) (1,+)C.(-,-1) (-1,0) D.(0,1) (1,+)A f(x)为奇函数 ,且由 f(-1)=0,得 f(1)=0,故 F(1)=0.在区间 (0,1)上 ,F(x)0;在 (1,+)上 ,F(x)0;当x1时 ,f(x)0;当 x (-1,0)时 ,f(x)0的解集为 (-,-1) (0,1).故选 A.-12-
17、B-13-B-14-二、填空题 (共 4小题 ,满分 20分 )13.(2018天津 ,文 10)已知函数 f(x)=exln x,f(x)为 f(x)的导函数 ,则 f(1)的值为 . e -15-15.已知 p:x ,2xm(x2+1),q:函数 f(x)=4x+2x+1+m-1存在零点 ,若“p且 q”为真命题 ,则实数 m的取值范围是 . -16-16.若函数 f(x)=(x2-ax+a+1)ex(a N)在区间 (1,3)只有 1个极值点 ,则曲线 f(x)在点 (0,f(0)处切线的方程为 . x-y+6=0 解析 f(x)=exx2+(2-a)x+1,若 f(x)在 (1,3)只
18、有 1个极值点 ,则 f(1)f(3)0,即 (a-4)(3a-16)0,解得 4a ,a N,故 a=5.故 f(x)=ex(x2-5x+6),f(x)=ex(x2-3x+1),故 f(0)=6,f(0)=1,故切线方程是 y-6=x,故答案为 x-y+6=0.2.4.1 导数与函数的单调性、极值、最值-2-解题策略一 解题策略二讨论、判断、证明单调性或求单调区间解题策略一 分类讨论法 例 1已知函数 f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论 f(x)的单调性 ;(2)若 f(x) 0,求 a的取值范围 .难点突破 (1)讨论 f(x)的单调性 求函数的定义域 求导函数判断导函数的符号
19、 确定单调区间 ;(2)讨论 a的取值范围 求 f(x)导函数 确定 f(x)的单调区间 求 f(x)取最小值 解不等式 f(x)max 0得 a的范围 合并 a的范围 .-3-解题策略一 解题策略二解 (1)函数 f(x)的定义域为 (-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). 若 a=0,则 f(x)=e2x,在 (-,+)单调递增 . 若 a0,则由 f(x)=0得 x=ln a.当 x (-,ln a)时 ,f(x)0.故 f(x)在 (-,ln a)单调递减 ,在 (ln a,+)单调递增 .-4-解题策略一 解题策略二解题心得 利用导数研究函数的单调性
20、的关键在于准确判定导数的符号 ,当 f(x)含参数时 ,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 .-5-解题策略一 解题策略二对点训练 1(2018山东济南一模 )设函数 f(x)= ,a R.(1)讨论 f(x)的单调性 ;(2)当 a0时 ,记 f(x)的最小值为 g(a),证明 g(a)0,f(x)在 (0,+)上单调递增 ;当 a0时 ,当 x (0,a),f(x)0,f(x)单调递增 ;综上 ,当 a 0时 ,f(x)在 (0,+)上单调递增 ;当 a0时 ,f(x)在 (0,a)上单调递减 ,在 (a,+)上单调递增 .-6-解题策略一 解题策略二-7-解题策略一 解题策略二
21、解题策略二 构造函数法 例 2已知函数 (k为常数 ,e是自然对数的底数 ),曲线y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线与 x轴平行 .(1)求 k的值 ;(2)求 f(x)的单调区间 .-8-解题策略一 解题策略二即 h(x)在 (0,+)上是减函数 .由 h(1)=0知 ,当 00,从而 f(x)0;当 x1时 ,h(x)0知 ,f(x)与 1-x+ex-1同号 .令 g(x)=1-x+ex-1,则 g(x)=-1+ex-1.所以 ,当 x (-,1)时 ,g(x)0,g(x)在区间 (1,+)上单调递增 .故 g(1)=1是 g(x)在区间 (-,+)上的最小值 ,从而 g(x)0,x
22、 (-,+).综上可知 ,f(x)0,x (-,+).故 f(x)的单调递增区间为 (-,+).-11-解题策略一 解题策略二 解题策略三求函数的极值、最值解题策略一 利用单调性求 例 3已知函数 f(x)=ln x- ,g(x)=ax+b.(1)若 a=2,F(x)=f(x)-g(x),求 F(x)的单调区间 ;(2)若函数 g(x)=ax+b是函数 f(x)=ln x- 图象的切线 ,求 a+b的最小值 .难点突破 (1)求出 F(x)的导数 ,解关于导函数的不等式 ,即得函数的单调区间 ;-12-解题策略一 解题策略二 解题策略三当 t (0,1)时 ,(t)0,(t)在 (1,+)上单
23、调递增 .即有 t=1时 ,(t)取得极小值 ,也为最小值 .则 a+b=(t) (1)=-1,故 a+b的最小值为 -1.-13-解题策略一 解题策略二 解题策略三解题心得 1.求最值的常用方法是由导数确定单调性 ,由单调性确定极值 ,比较极值与定义域的端点值确定最值 ;2.对 kf(x)恒成立 ,求参数 k的最值问题 ,若求不出 f(x)的极值点 ,可先求极值点所在区间 ,再由极值点范围求极值的范围 ,由此得出参数的最值 .-14-解题策略一 解题策略二 解题策略三对点训练 3已知函数 f(x)=excos x-x.(1)求曲线 y=f(x)在点 (0,f(0)处的切线方程 ;(2)求函数
24、 f(x)在区间 上的最大值和最小值 .解 (1)因为 f(x)=excos x-x,所以 f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0.又因为 f(0)=1,所以曲线 y=f(x)在点 (0,f(0)处的切线方程为 y=1.(2)设 h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则 h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.-15-解题策略一 解题策略二 解题策略三解题策略二 构造函数法 -16-解题策略一 解题策略二 解题策略三解 (1)由已知得 f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x.所以 f(1)=f(1)-f(0)+1,即
25、f(0)=1.又 f(0)=f(1)e-1,所以 f(1)=e.从而 f(x)=ex-x+ x2.由于 f(x)=ex-1+x,故当 x (-,0)时 ,f(x)0.从而 ,f(x)在 (-,0)单调递减 ,在 (0,+)单调递增 .-17-解题策略一 解题策略二 解题策略三(2)由已知条件得 ex-(a+1)x b.( )若 a+10,设 g(x)=ex-(a+1)x,则 g(x)=ex-(a+1).当 x (-,ln(a+1)时 ,g(x)0.从而 g(x)在 (-,ln(a+1)单调递减 ,在 (ln(a+1),+)单调递增 .故 g(x)有最小值 g(ln(a+1)=a+1-(a+1)
26、ln(a+1).所以 f(x) x2+ax+b等价于b a+1-(a+1)ln(a+1).因此 (a+1)b (a+1)2-(a+1)2ln(a+1).-18-解题策略一 解题策略二 解题策略三设 h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则 h(a)=(a+1)(1-2ln(a+1).-19-解题策略一 解题策略二 解题策略三解题心得 本例在 (2)中 ,通过作差将条件进行转化 ,通过构造函数求函数的最小值得出关于 a,b的不等式 ,通过乘 (a+1)得 (a+1)b的关系式 ,再通过第二次构造函数求函数最大值得出结果 .-20-解题策略一 解题策略二 解题策略三对点训练 4已知函
27、数 f(x)=ax-ln x,F(x)=ex+ax,其中 x0,a0,即 F(x)在 (0,+)上单调递增 ,不合题意 .当 a0,得 xln(-a),由 F(x)0,因=8a 0,f(x)没有极值点 ,函数单调 ,易求最值 ;当 =8a0,因 f(x)有两个极值点 ,所以第二层次讨论以这两个极值点与所给闭区间的关系进行分类 .-24-解题策略一 解题策略二 解题策略三-25-解题策略一 解题策略二 解题策略三-26-解题策略一 解题策略二 解题策略三解题心得 依据题意 ,对参数分类 ,分类后相当于增加了一个已知条件 ,在增加条件的情况下 ,对参数的各个范围逐个验证是否适合题意 ,最后适合题意
28、的范围即为所求范围 ,这个范围的最大值也就求出 .-27-解题策略一 解题策略二 解题策略三-28-解题策略一 解题策略二 解题策略三-29-解题策略一 解题策略二 解题策略三-30-证明函数有最值并求最值范围解题策略 零点分布法 例 6已知函数 f(x)=xln x- x2,直线 l:y=(k-2)x-k+1,且 k Z.(1)若 x0 e,e2,使得 f(x0)0成立 ,求实数 a的取值范围 ;(2)设 a=0,当 x1时 ,函数 f(x)的图象恒在直线 l的上方 ,求 k的最大值 .2.4.3 导数与函数的零点及参数范围-2-解题策略一 解题策略二判断、证明或讨论函数零点个数解题策略一
29、应用单调性、零点存在性定理、数形结合判断 例 1设函数 f(x)=e2x-aln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f(x)零点的个数 ;(2)证明当 a0时 ,f(x) 2a+aln .难点突破 (1)讨论 f(x)零点的个数要依据 f(x)的单调性 ,应用零点存在性定理进行判断 .-3-解题策略一 解题策略二-4-解题策略一 解题策略二解题心得 研究函数零点或方程根的情况 ,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等 ,并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况 .-5-解题策略一 解题策略二对点训练 1已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线 y=f(x)在点
30、(0,2)处的切线与 x轴交点的横坐标为 -2.(1)求 a;(2)证明当 k0.当 x 0时 ,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增 ,g(-1)=k-10时 ,令 h(x)=x3-3x2+4,则 g(x)=h(x)+(1-k)xh(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在 (0,2)单调递减 ,在 (2,+)单调递增 ,所以 g(x)h(x) h(2)=0,所以 g(x)=0在 (0,+)没有实根 .综上 ,g(x)=0在 R有唯一实根 ,即曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2只有一个交点 .-7-解题策略一 解题策略二解题策略二 分类讨论法 例 2已知函数
31、 f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x.(1)当 a为何值时 ,x轴为曲线 y=f(x)的切线 ;(2)用 minm,n表示 m,n中的最小值 ,设函数h(x)=minf(x),g(x)(x0),讨论 h(x)零点的个数 .难点突破 (1)设切点 (x0,0),依题意 f(x0)=0,f(x0)=0,得关于 a,x0的方程组解之 .(2)为确定出 h(x)对自变量 x0分类讨论 ;确定出 h(x)后对参数 a分类讨论 h(x)零点的个数 ,h(x)零点的个数的确定要依据 h(x)的单调性和零点存在性定理 .-8-解题策略一 解题策略二-9-解题策略一 解题策略二-10-解题策略一 解
32、题策略二-11-解题策略一 解题策略二解题心得 1.如果函数中没有参数 ,一阶导数求出函数的极值点 ,判断极值点大于 0小于 0的情况 ,进而判断函数零点的个数 .2.如果函数中含有参数 ,往往一阶导数的正负不好判断 ,这时先对参数进行分类 ,再判断导数的符号 ,如果分类也不好判断 ,那么需要对一阶导函数进行求导 ,在判断二阶导数的正负时 ,也可能需要分类 .-12-解题策略一 解题策略二对点训练 2已知函数 f(x)=aln x+ -(a+1)x,a R.(1)当 a=-1时 ,求函数 f(x)的最小值 ;(2)当 a 1时 ,讨论函数 f(x)的零点个数 .-13-解题策略一 解题策略二-
33、14-解题策略一 解题策略二 当 00,f(x)为增函数 ;x (a,1)时 ,f(x)0,f(x)为增函数 .所以 f(x)在 x=a处取极大值 ,f(x)在 x=1处取极小值 .当 00,a1).(1)当 a1时 ,求证 :函数 f(x)在 (0,+)内单调递增 ;(2)若函数 y=|f(x)-t|-1有三个零点 ,求 t的值 .难点突破 (1)先求 f(x)的导函数 f(x),再证明 f(x)0.(2)由题意当 a0,a1时 ,f(x)=0有唯一解 x=0,y=|f(x)-t|-1有三个零点 f(x)=t1有三个根 ,从而 t-1=(f(x)min=f(0)=1,解得 t即可 .-17-
34、解题策略一 解题策略二(1)证明 f(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a.由于 a1,故当 x (0,+)时 ,ln a0,ax-10,所以 f(x)0,故函数 f(x)在 (0,+)上单调递增 .(2)解 当 a0,a1时 , f(x)=2x+(ax-1)ln a, f(x)=2+ax(ln a)20, f(x)在 R上单调递增 ,因为 f(0)=0,故 f(x)=0有唯一解 x=0.所以 x,f(x),f(x)的变化情况如表所示 :又函数 y=|f(x)-t|-1有三个零点 ,所以方程 f(x)=t1有三个根 ,而 t+1t-1,所以 t-1=f(x)min=f
35、(0)=1,解得 t=2.-18-解题策略一 解题策略二解题心得 在已知函数 y=f(x)有几个零点求 f(x)中参数 t的值或范围问题 ,经常从 f(x)中分离出参数 t=g(x),然后用求导的方法求出 g(x)的最值 ,再根据题意求出参数 t的值或范围 .-19-解题策略一 解题策略二对点训练 3(2018广东珠海质检 )函数 f(x)=axex+ln x+x(a R).(1)若 a 0,试讨论函数 f(x)的单调性 ;(2)若 f(x)有两个零点 ,求 a的取值范围 .-20-解题策略一 解题策略二-21-解题策略一 解题策略二-22-解题策略一 解题策略二解题策略二 分类讨论法 -23
36、-解题策略一 解题策略二-24-解题策略一 解题策略二-25-解题策略一 解题策略二-26-解题策略一 解题策略二解题心得 在已知函数零点个数的情况下 ,求参数的范围问题 ,通常采用分类讨论法 ,依据题目中的函数解析式的构成 ,将参数分类 ,在参数的小范围内研究函数零点的个数是否符合题意 ,将满足题意的参数的各个小范围并在一起 ,即为所求参数范围 .-27-解题策略一 解题策略二对点训练 4已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论 f(x)的单调性 ;(2)若 f(x)有两个零点 ,求 a的取值范围 .解 (1)f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+
37、2a).( )设 a 0,则当 x (-,1)时 ,f(x)0.所以 f(x)在 (-,1)单调递减 ,在 (1,+)单调递增 .-28-解题策略一 解题策略二( )设 a- ,则 ln(-2a)0;当 x (ln(-2a),1)时 ,f(x)1,故当 x (-,1) (ln(-2a),+)时 ,f(x)0;当 x (1,ln(-2a)时 ,f(x)0,所以 f(x)在 (-,1),(ln(-2a),+)单调递增 ,在 (1,ln(-2a)单调递减 .-29-解题策略一 解题策略二-30-与函数零点有关的证明问题解题策略 等价转换后构造函数证明 例 5设函数 f(x)=x2-aln x,g(x
38、)=(a-2)x.(1)求函数 f(x)的单调区间 .(2)若函数 F(x)=f(x)-g(x)有两个零点 x1,x2, 求满足条件的最小正整数 a的值 ;2.4 压轴大题 1函数、导数、方程、不等式-2-3-4-5-6-1.导数的几何意义(1)函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率 ,即 k=f(x0).(2)函数切线问题的求解策略 :用好切点 “三重性 ”: 切点在函数图象上 ,满足函数解析式 ; 切点在切线上 ,满足切线方程 ; 切点处的导数等于切线的斜率 .2.函数的导数与单调性的关系函数 y=f(x)在 (a,b)内可导 ,(1)若 f
39、(x)0在 (a,b)内恒成立 ,则 f(x)在 (a,b)内单调递增 ;(2)若 f(x)0,右侧 f(x)0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值 .(2)设函数 y=f(x)在 a,b上连续 ,在 (a,b)内可导 ,则 f(x)在 a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 .(3)若函数 f(x)在 a,b上单调递增 ,则 f(a)为函数的最小值 ,f(b)为函数的最大值 ;若函数 f(x)在 a,b上单调递减 ,则 f(a)为函数的最大值 ,f(b)为函数的最小值 .-8-5.常见恒成立不等式(1)ln x x-1;(2)ex x+1.6.构造辅助函数的四种方法(1)移项法
40、 :证明不等式 f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)g(x2)f(x)在 a,b上的最小值 g(x)在 c,d上的最大值 .(2)x1 a,b,x2 c,d,f(x1)g(x2)f(x)在 a,b上的最大值 g(x)在 c,d上的最小值 .(3)x1 a,b,x2 c,d,f(x1)g(x2)f(x)在 a,b上的最小值 g(x)在 c,d上的最小值 .(4)x1 a,b,x2 c,d,f(x1)g(x2)f(x)在 a,b上的最大值 g(x)在 c,d上的最大值 .(5)x1 a,b,当 x2 c,d时 ,f(x1)=g(x2)f(x)在 a,b上的值域与g(x)在 c,d上的值域交集非空 .(6)x1 a,b,x2 c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在 a,b上的值域 g(x)在c,d上的值域 .(7)x2 c,d,x1 a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在 a,b上的值域 g(x)在c,d上的值域 .
