1、12.1.1 数轴上的基本公式1.给出下列命题:零向量只有大小没有方向;向量的数量是一个正实数;一个向量的终点坐标就是这个向量的坐标;两个向量相等,它们的坐标也相等,反之数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量也相等.其中正确的有( B )(A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个解析:由向量定义知:不正确;由于向量的数量可以是任一个实数,故不正确;一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标,故不正确;由向量与其数量关系知正确,所以选 B.2.已知数轴上两点 A(x),B(2-x2)且点 A 在点 B 的右侧,则 x 的取值范围是( D )(A)(-1,2) (B)(-,-1)(2,+)
2、(C)(-2,1) (D)(-,-2)(1,+)解析:点 A 在点 B 的右侧,所以 x2-x2,x2+x-20,得 x1.故 选 D.3.当数轴上的三点 A,B,O 互不重合时,它们的位置关系有六种不同的情形,其中使 AB=OB-OA和| |=| |-| |同时成立的情况有( B )(A)1 种 (B)2 种 (C)3 种 (D)4 种解析:AB=OB-OA 恒成立,而| |=| |-| |,只能是 A 在 O,B 的中间,有两种可能性.4.若数轴上 A 点的坐标为-1,B 点的坐标为 4,P 点在线段 AB 上,且 = ,则 P 点的坐标为( A )(A)2 (B)-2 (C)0 (D)1
3、解析:设 P 点的坐标为 x,则 AP=x+1,PB=4-x,由 = ,得 = ,解得 x=2.5.数轴上 A,B 两点的坐标分别为 x1,x2,则下列式子中不一定正确的是( B )(A)|AB|=|x1-x2| (B)|BA|=x2-x1(C)AB=x2-x1 (D)BA=x1-x2解析:B 中|BA|=|x 2-x1|,|BA|不一定等于 x2-x1,因为 x2-x1可能为负值.6.设 M,N,P,Q 是数轴上不同的四点,给出以下关系:MN+NP+PQ+QM=0;MN+PQ-MQ-PN=0;PQ-PN+MN-MQ=0;QM=MN+NP+ PQ.2其中正确的序号是 . 解析:由向量的运算法则
4、知显然正确;MN+PQ-MQ-PN=MN+PQ+QM+NP= MP+PM=0.故正确;PQ-PN+MN-MQ=PQ+NP+MN+QM=NQ+QN=0,故正确; MN+NP+PQ=MQ,与 QM 不相等,故错.答案:7.已知数轴上不同的两点 A(a),B(b),则在数轴上满足条件|PA|=|PB|的点 P 的坐标为( C )(A) (B) (C) (D)b-a解析:设点 P 的坐标为 x.因为|PA|=|PB|,所以|a-x|=|b-x|,即 a-x= (b-x),解得 x= ,故选 C.8.下列各组点:M(a)和 N(2a);A(b)和 B(2+b);C(x)和 D(x-a);E(x)和 F(
5、x2).其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( B )(A) (B) (C) (D)解析:因为 AB=(2+b)-b=20,所以点 B 一定在点 A 的右侧.9.在数轴上求一点,使它到点 A(-9)的距离是它到点 B(-3)的距离 的 2 倍.解:设所求点为 P(x),由题意,得 d(A,P)=2d(B,P),即|x+9|=2|x+3|,解得 x=3 或 x=-5.故 P(3)或P(-5)为所求的点.10.甲、乙两人从 A 点出发背向行进,甲先出发,行进 10 km 后,乙再出发.甲的速度为每小时8 km,乙的速度为每小时 6 km.当甲离开 A 点的距离为乙离开 A 点的距离的 2 倍时,
6、甲、乙两人的距离是多少?解:以 A 为原点,以甲行进方向为正方向建立数轴,设乙出发后 t h,甲到 A 点的距离是乙到A 点的距离的 2 倍,则甲的坐标为 8t+10,乙的坐标为-6t.由两点间的距离公式得 8t+10=26t,解得 t= .d(甲,乙)=|-6t-(8t+10)|=10+14t=45(km).故甲、乙两人相距 45 km.11.(1)如果不等式|x+1|+|x-3|a 恒成立,求 a 的范围;(2)如果不等式|x+1|+|x-3|a 恒成立,需 aa 恒成立,只需 a 小于|x+1|+|x-3|的最小值,而|x+1|+|x-3|表示数轴上的点到 A(-1)与 B(3)的距离之
7、和,则|x+1|+|x-3|的最小值为|3-(-1)|=4,所以 a4.(2)由(1)知|x+1|+|x-3|的最小值为 4,则要使|x+1|+|x-3|a 无解,只需满足 a4 即可.12.1.2 平面直角坐标系中的基本公式1.点 M(4,m)关于点 N(n,-3)的对称点为 P(6,-9),则 m,n 的值分别为( D )(A)-3,10 (B)3,10 (C)-3,5 (D)3,5解析:由中点坐标公式得 =n, =-3,所以 m=3,n=5,故选 D.2.设点 A 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,AB 的中点是 P(2,-1),则|AB|等于( C )(A)5 (B)4 (C)2 (
8、D)2解析:设 A(x0,0),B(0,y0),因为 AB 的中点是 P(2,-1),所以 =2, =-1,所以 x0=4,y0=-2,即A(4,0),B(0,-2),所以|AB|= =2 .3.在 y 轴上存在一点 P 到 A(1,2)和 B(3,7)的距离相等,则该点的纵坐标为( C )(A)4.5 (B)2 (C)5.3 (D)2.5解析:设 P(0,y),则由 12+(2-y)2=32+(7-y)2,得 y=5.3,故选 C.4.ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-4,-4),B(2,2),C(4,-2),则三角形 AB 边上的中线长为( A )(A) (B) (C) (D)解析:A
9、B 的中点 D 的坐标为(-1,-1),所以|CD|= = .5.已知点 A(-1,3),B(3,1),点 C 在坐标轴上,ACB=90,则满足条件的点 C 的个数是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:若点 C 在 x 轴上,设 C(x,0),由ACB=90,得|AB| 2=|AC|2+|BC|2,所以3-(-1) 2+(1-3)2=(x+1)2+32+(x-3)2+12,解得 x=0 或 x=2.若点 C 在 y 轴上,设 C(0,y),同理可求得 y=0 或y=4.综上,满足条件的点 C 有 3 个.故选 C.26.已知正三角形 ABC 的边长为 a,在平面上求点 P,使
10、|PA| 2+|PB|2+|PC|2最小,并求出最小值.解:以正三角形的一边所在的直线为 x 轴,此边的中线所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示.则 A(- ,0),B( ,0),C(0, ).设 P(x,y),则|PA| 2+|PB|2+|PC|2=(x+ )2+y2+(x- )2+y2+x2+(y- a)2=3x2+3y2- ay+ a2=3x2+3(y- a)2+a2.所以当 P(0, a)时,|PA| 2+|PB|2+|PC|2有最小值 a2.7.光线从点 A(-3,5)射到 x 轴上,经 x 轴反射后经过点 B(2,10),则光线从 A 到 B 的距离为( C )(A)
11、5 (B)2 (C)5 (D)10解析:点 B(2,10)关于 x 轴的对称点为 B(2,-10),由对称性可得光线从 A 到 B 的距离为|AB|= =5 .选 C.8.若 a,b,c,dR,M=| - |,N= ,则( C )(A)MN(B)M=N(C)MN(D)不能确定,与 a,b,c,d 有关解析:因为 M=| - |表示点(a,b),(c,d)到原点距离差的绝对值,N=3表示两点(a,b),(c,d)之间的距离,根据三角形两边之差小于第三边(三点共线时相等),可得 MN,故选 C.9.已知 A(1,2),B(-1,1),C(0,-1),D(2,0),则四边形 ABCD 的形状为 .
12、解析:因为 A(1,2),B(-1,1),C(0,-1),D(2,0),所以|AB|= = ,|BC|= = ,|CD|= = ,|DA|= = ,|AC|= = ,|BD|= = .所以|AB|=|BC|=|CD|=|DA|,且|AC|=|BD|.所以四边形 ABCD 是正 方形.答案:正方形10.已知 AO 是ABC 中 BC 边的中线,证明:|AB| 2+|AC|2=2(|AO|2+ |OC|2).证明:以 BC 边所在直线为 x 轴,边 BC 的中点为原点,建立平面直角坐标系,如图所示.设 B(-a,0),C(a,0),A(m,n)(其中 a0).则|AB| 2+|AC|2=(m+a)
13、2+n2+(m-a)2+n2=2(m2+a2+n2),|AO|2+|OC|2=m2+n2+a2,所以|AB| 2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).11.已知 0x1,0y1,求证: + + + 2 ,并求使等号成立的条件.解: 表示点(x,y)到原点 O(0,0)的距离;4= 表示点 C(0,1)到点(x,y)的距离;= 表示点 A(1,0)到点(x,y)的距离;表示点 B(1,1)到点(x,y)的距离.如图,显然四边形 OABC 是正方形,其中 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1).由 0x1,0y1,设 P(x,y)是正方形内部的任意一点,则 d(P,O)= ,
14、d(P,A)= ,d(P,B)= ,d(P,C)= ,d(O,B)= ,d(A,C)= .由平面几何知识可知:|PO|+|PB|OB|,|PA|+|PC|AC|.由以上两个不等式相加得|PO|+|PB|+|PA|+|PC|OB|+|AC|=2 .即 + + + 2 .当且仅当|PO|+|PB|=|OB|,|PA|+|PC|=|AC|时,等号成立,此时点 P 既在 OB 上,又在 AC 上,因此,点 P 是 OB 与 AC 的交点,即点 P 是正方形 OABC 的中心,则有 x=y= 时,所证的不等式取得等号.12.2.1 直线方程的概念与直线的斜率1.经过下列两点的直线,斜率一定存在的是( C
15、 )(A)(a,2),(3,4) (B)(m,3),(-m,4)(C)(b-3,k),(7+b,k-1) (D)(5,x),(y,8)解析:要使经过两点的直线斜率存在,即两点的横坐标不相等,只有(b-3,k),(7+b,k-1)两点的横坐标不可能相等,故选 C.2.(2018山东省烟台市高一上学期期末考试)若直线经过两点 A(m,2),B( m,2m-1),且倾斜角为 45,则 m的值为( A )(A)2 (B)1 (C) (D)解析:直线经过两点 A(m,2),B( m,2m-1),且倾斜角为 45,则 = =1m=2.故选 A.3.(2018江西省高安中学高一上学期期末考试)直线(a 2+
16、1)x-y+1=0 (其中 aR)的倾斜角的取值范围是( B )(A)0, (B) , ) (C)( , (D) ,)解析:直线(a 2+1)x-y+1=0的斜率为 a2+11.所以倾斜角的取值范围是 , ).故选 B.4.若 A(1,2),B(3,t-2),C(7,t)三点共线,则实数 t的值是 . 解析:因为 A(1,2),B(3,t-2),C(7,t)三点共线,所以 kAB=kAC,即 = ,解得 t=5.答案:55.若关于 x的方程|x-1|-kx=0 有且只有一个正实数根,则实数 k的取值范围是 .解析:在同一坐标系内画出函数 y=kx,y=|x-1|的图象如图所示,显然 k1 或
17、k=0时满足题意.2答案:1,+)06.已知 A(-1,1),B(1,1),C(2, +1),(1)求直线 AB和 AC的斜率;(2)若点 D在线段 AB(包括端点)上移动时,求直线 CD的斜率的变化 范围.解:(1)由斜率公式得 kAB= =0,kAC= = .所以直线 AB的斜率为 0,直线 AC的斜率为 .(2)如图所示.由斜率公式可得 kBC= = .设直线 CD的斜率为 k,结合图形可得当直线 CD由 CA的位置按逆时针方向旋转到 CB的位置时,直线 CD与线段 AB恒有交点,此时 k由 kCA增大到 kCB,所以 k .即 k的取值范围为 , .7.若点 P(x,y)在以 A(-3
18、,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的ABC 的内部运动(不包含边界),则的取值范围是( D )(A) ,1 (B)( ,1) (C) ,1 (D)( ,1)解析:根据已知条件,可知点 P(x,y)是点 A,B,C围成的ABC 内部一动点(不包含边界),的几何意义是过动点 P(x,y)与定点 M(1,2)的直线的斜率.由已知得 kAM= ,kBM=1,kCM= .利用图象,可得 的取值范围是( ,1),故选 D.38.若直线 l的斜率为 k,且抛物线 y=x2-2kx+1与 x轴没有交点,则直线 l的倾斜角的取值范围是( C )(A)(0,90) (B)(135,180)(C)0,45
19、)(135,180) (D)0,180)解析:由抛物线 y=x2-2kx+1与 x轴没有交点,得(-2k) 2-40,kBC0,kCD0,所以直线 AB,BC,DA的倾斜角为锐角,直线 CD的倾斜角为钝角.412.分析斜率公式 k= (x1x 2)的特征,完成下面题目:已知 A(2,4), B(3,3),点 P(a,b)是线段 AB(包括端点)上的动点,试求 的取值范围.解 :设 k= ,则 k可以看成点 P(a,b)与定点 Q(1,1)连线的斜率.如图所示,当 P在线段 AB上由 B运动到 A点时,PQ 的斜率由 kBQ增大到 kAQ,因为 kBQ= =1,kAQ= =3,所以 1k3,即
20、的取值范围是1,3.12.2.2 直线方程的几种形式1.下列说法中不正确的是( D )(A)点斜式 y-y1=k(x-x1)适用于不垂直于 x轴的任何直线(B)斜截式 y=kx+b适用于不垂直于 x轴的任何直线(C)两点式 = 适用于不垂直于 x轴也不垂直于 y轴的任何直线(D)截距式 + =1适用于不过原点的任何直线解析:A,B 正确,因为方程中含有斜率 k,而垂直于 x轴的直线 k不存在,C 正确,因为y1y 2,x1x 2,所以直线的两点式不能表示与 x轴或 y轴垂直的直线,D 不正确,因为过原点与 x轴垂直或平行的任何直线截距式都不能表示.2.若 AC0,所以直线不通过第三象限.3.直
21、线 - =1与 - =1在同一坐标系中的位置可能是( B )解析:两直线的方程分别化为斜截式:y= x-n,y= x-m,易知两直线的斜率的符号相同,四个选项中只有 B选项的两直线的斜率符号相同.故选 B.4.一条光线从点 A(- ,0)处射到点 B(0,1)后被 y轴反射,则反射光线所在直线的方程为( B )2(A)2x-y-1=0 (B)2x+y-1=0(C)x-2y-1=0 (D)x+2y+1=0解析:由反射定律可得点 A(- ,0)关于 y轴的对称点 M( ,0)在反射光线所在的直线上,再根据点 B(0,1)也在反射光线所在的直线上,用两点式求得反射光线所在的直线方程为 2x+y-1=
22、0.故选 B.5.已知两条不同的直线 a1x+b1y+1=0和 a2x+b2y+1=0都过点 A(2,1),则过 P1(a1,b1),P2(a2,b2)两点的直线方程是 . 解析:因为点 A(2,1)在直线 a1x+b1y+1=0上,所以 2a1+b1+1=0.由此可知点 P1(a1,b1)的坐标满足 2x+y+1=0.因为点 A(2,1)在直线 a2x+b2y+1=0上,所以 2a2+b2+1=0.由此可知点 P2(a2,b2)的坐标也满足 2x+y+1=0.因为两点确定一条直线,所以过 P1(a1,b1),P2(a2,b2)两点的直线方程是 2x+y+1=0.答案:2x+y+1=06.直线
23、 l经过点 P(1,2),且与直线 2x+3y-9=0在 y轴上的截距相等,则直线 l的方程为 .解析:直线 2x+3y-9=0在 y轴上的截距为 3,即直线 l经过点 M(0,3),故直线 l的斜率 k= =-1,故直线 l的方程为 y=-x+3,即 x+y-3=0.答案:x+y-3=07.在同一平面直角坐标系中,直线 y=ax与 y=x+a可能是图中的( C )解析:A 中两个图象 y=ax,要求 a0,y=x+a要求 a0,另一个要求 a0,b0),由AOB 的周长为 12知,a+b+ =12. 又因为直线过点 P( ,2),所以 + =1. 由AOB 的面积为 6知,ab=12. 由,
24、解得 a=4,b=3,所以存在这样的直线,直线方程为 + =1,即 3x+4y-12=0.12.已知直线 l1:(2m+1)x+(m-2)y+3-4m=0,无论 m为何实数,直线 l1恒过一定点 M.(1)求点 M的坐标;(2)若直线 l2过点 M,且与 x轴正半轴、y 轴正半轴围成的三角形面积为 4,求直线 l2的方程.解:(1)将直线 l1:(2m+1)x+(m-2)y+3-4m=0的方程整理为:m(2x+y-4)+(x-2y+3)=0,解方程组得 x=1,y=2.所以定点 M的坐标为(1,2).(2)由题意直线 l2的斜率存在,设为 k(k0),于是 l2:y-2=k(x-1),即 y=
25、kx+2-k,令 y=0,得 x= ;令 x=0,得 y=2-k,于是 S= (2-k)=- =4.解得 k=-2.所以直线 l2的方程为 y=-2x+2-(-2),即 2x+y-4=0.1第一课时 两条直线相交、平行与重合的条件1.下列说法正确的是( C )(A)若两条直线平行,则它们斜率相等(B)若两直线斜率相等,则它们互相平行(C)若两条直线一条直线斜率不存在,另一条斜率存在,则它们一定不平行(D)若两条直线的斜率都不存在,则它们互相平行解析:由两直线位置关系:平行,重合,相交可知,B,D 都不正确.而 A中可能斜率不存在,故 A不正确,故选 C.2.直线 l1,l2在 x轴上的截距都是
26、 m,在 y轴上的截距都是 n,则 l1,l2的位置关系是( D )(A)平行 (B)重合(C)平行或重合 (D)相交或重合解析:当 mn0 时,l 1与 l2重合;当 m=n=0时,l 1与 l2可能相交,也可能重合,故选 D.3.l1经过点 A(m,1)、B(-3,4),l 2经过点 C(1,m),D(-1,m+1),当直线 l1与 l2平行时,则 m的值为( A )(A)3 (B)-1 (C)-3 (D)1解析:显然 m-3,k AB= = ,kCD= =- .又因为 l1l 2,所以 =- ,即 m=3.故选 A.4.与直线 2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是( D )(
27、A)3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0(C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+8=0解析:由中心对称知识可知:所求直线与已知直线 2x+3y-6=0平行,则可设所求直线为2x+3y+c=0.在 2x+3y-6=0上任取一点(3,0),则(3,0)关于点(1,-1)的对称点(-1,-2)必在所求直线上,所以 2(-1)+3 (-2)+c=0,即 c=8,故选 D.5.满足下列条件的直线 l1与 l2,其中 l1l 2的是( D )2l 1的斜率为 2,l2过点 A(1,2),B(4,8);l 1经过点 P(3,3), Q(-5,3), l2平行于 x轴,但不经过 P点;l 1经过
28、点 M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点 R(-4,3),S(0,5).(A) (B) (C) (D)解析:由 l1斜率 k1=2,l2斜率 k2= =2,则 l1l 2;由 k1= =0,k2=0,则l1l 2;k 1= = ,k2= = ,则 l1l 2.故选 D.6.已知两点 A(-2,1),B(4,3),两直线 l1:2x-3y-1=0,l2:x-y-1=0.求:(1)过点 A且与直线 l1平行的直线方程;(2)过线段 AB的中点以及直线 l1与 l2的交点的直线方程.解:(1)设与 l1:2x-3y-1=0平行的直线方程为 2x-3y+c=0,将 A(-2,1)代入,得-4-
29、3+c=0,解得c=7,故所求直线方程是 2x-3y+7=0.(2)因为 A(-2,1),B(4,3),所以线段 AB的中点是 M(1,2),设两直线的交点为 N,联立解得交点 N(2,1),则 kMN= =-1,故所求直线的方程为 y-2=-(x-1),即 x+y-3=0.7.已知集合 A=(x,y)|x+a2y+6=0,集合 B=(x,y)|(a-2)x+3ay+2a=0,若 AB= ,则 a的值是( D )(A)3 (B)0 (C)-1 (D)0或-1解析:AB= ,即直线 l1:x+a2y+6=0与 l2:(a-2)x+3ay+2a=0平行,令 13a=a2(a-2),解得 a=0或
30、a=-1或 a=3.a=0时,l 1:x+6=0,l2:x=0,l1l 2.a=-1时,l 1:x+y+6=0,l2:-3x-3y-2=0.l1l 2.a=3时,l 1:x+9y+6=0,l2:x+9y+6=0,l1与 l2重合,不合题意.所以 a=0或 a=-1.8.如果直线 ax+y-4=0与直线 x-y-2=0相交于第一象限,则实数 a的取值范围是( A )(A)-1-1(C)a2解析:法一 将直线 ax+y-4=0与直线 x-y-2=0的方程联立解得(a+1)x=6,要使交点在第一象3限,则应使 a+10,所以 a-1,再由(a+1)y+2a-4=0,y= 0,解得-1a2,所以-1a
31、2.法二 如图由 y-4=-ax可知:直线 ax+y-4=0表示经过定点(0,4),且斜率 k=-a的直线,当直线 ax+y-4=0与 x-y-2=0在第一象限相交时,即过点(0,4)的直线,从直线 l1的位置(过点(2,0),沿逆时针旋转到直线 l2的位置.(平行于 x-y-2=0)此时直线的斜率 k的取值范围是-2k1,又 k=-a,所以-2-a1,即-1a2,故选 A.9.P1(x1,y1)是直线 l:f(x,y)=0上一点,P 2(x2,y2)是直线 l外一点,则方程 f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0所表示的直线与 l的关系是( B )(A)重合 (B)平行(C)垂
32、直 (D)位置关系不定解析:因为 P1点在直线 l上,所以 f(x1,y1)=0,又因为 P2点不在直线 l上,所以 f(x2,y2)0,所以 f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0,即 f(x,y)+f(x2,y2)=0,所以直线 l与方程表示的直线平行.10.已知两直线 a1x+b1y+3=0和 a2x+b2y+3=0的交点是(2,3),则过两点 P(a1,b1),Q(a2,b2)的直线方程是 . 解析:因为直线 a1x+b1y+3=0和 a2x+b2y+3=0的交点是(2,3),所以故过 P(a1,b1),Q(a2,b2)的直线方程为 2x+3y+3=0.答案:2x+3y+
33、3=011.若三条直线 l1:4x+y+4=0,l2:mx+y+1=0,l3:x-y+1=0不能构成三角形,求 m的值.4解:显然 l1与 l3不平行,当 l1l 2或 l2l 3时不能构成三角形,此时对应 m的值分别为m=4,m=-1;当直线 l1,l2,l3经过同一点时,也不能构成三角形.由 得代入 l2的方程得-m+1=0,即 m=1.综上可知,m=4 或 m=-1或 m=1.12.已知直线 l1:(m-2)x+2y+m-2=0,l2:2x+(m-2)y+3=0,当 m为何值时,满足下列条件(1)l1与 l2相交;(2)l1l 2;(3)l1与 l2重合.解:(1)A 1B2-A2B1=
34、(m-2)(m-2)-22=(m-2)2-40,得 m4 且 m0,所以当 m4 且 m0 时 l1与 l2相交.(2)由 A1B2-A2B1=0得 m=0或 m=4,当 m=0时,两直线方程分别为-2x+2y-2=0,2x-2y+3=0,此时 l1l 2;当 m=4时,两直线方程为 2x+2y+2=0,2x+2y+3=0,此时 l1l 2,故 m=0或 m=4,两直线 l1l 2.(3)由(2)知:直线 l1与 l2不可能重合.1第二课时 两条直线垂直的条件1.若点 A(3,-4)与点 B(5,8)关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为( D )(A)x+6y+16=0 (B)6x-y-2
35、2=0(C)6x+y+16=0 (D)x+6y-16=0解析:依题意:AB 的中点 M(4,2),kAB= =6,所以所求直线方程为 y-2=- (x-4),即 x+6y-16=0,故选 D.2.过点 P(1,1)和 Q(a,2)的直线与直线 ax-y+3=0 互相垂直,则 a 等于( C )(A)1 (B)2 (C) (D)-解析:因为 kPQ= = ,直线 ax-y+3=0 的斜率为 a,所以 a=-1,a= .3.设直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:mx+y+3=0 的交点为 A;P,Q 分别为 l1,l2上任意两点,点 M为 P,Q 的中点,若|AM|= |PQ|,则 m 的
36、值为( A )(A)2 (B)-2 (C)3 (D)-3解析:根据题意画出图形,如图所示;直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:mx+y+3=0 的交点为 A;M 为 PQ 的中点,若|AM|= |PQ|,则 PAQA,即l1l 2,所以 1m+(-2)1=0,解得 m=2.故选 A.4.点(-2,3)关于直线 y=x+1 的对称点的坐标为( A )(A)(2,-1) (B)(3,0) (C)(3,-1) (D)(2,0)2解析:设对称点坐标为(a,b),则有 得 .5.(2017西安高一检测)已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0,存在直线 l,使 l与 l 垂直,且 l与坐标轴
37、围成的三角形的面积为 6,则 l的方程为 . 解析:设直线 l的方程为 4x-3y+m=0.令 x=0,得 y= ;令 y=0,得 x=- .由题意,得 |- | |=6,即 m2=144.得 m=12.所以,所求直线 l的方程为 4x-3y12=0.答案:4x-3y12=06.直线 y= x 关于直线 x=1 对称的直线方程是 . 解析:由 得两直线的交点为M(1, ),在 y= x 上取一点 O(0,0),则 O(0,0)关于 x=1 的对称点 O1为(2,0),所以所求直线的斜率为 = =- .所以所求直线的方程为 y=- (x-2),即 x+2y-2=0.答案:x+2y-2=037.已
38、知直线 l1:ax+4y-2=0 与直线 l2:2x-5y+b=0 互相垂直,垂足为(1,c),则 a+b+c 的值为( A )(A)-4 (B)20 (C)0 (D)24解析:由题意,垂足(1,c)是两直线的交点,且 l1l 2,故- =-1a=10.所以 l1:10x+4y-2=0,将(1,c)代入,得 c=-2;将(1,c)代入直线 l2的方程,得 b=-12,所以 a+b+c=-4,故选 A.8.过点 A(0, )与 B(7,0)的直线 l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线 l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数 k 为( B )(A)-3 (B)3 (C)-6 (D)6
39、解析:若 l1和 l2与坐标轴围成的四边形内接于一个圆,又因为两坐标轴垂直,所以 l1l 2,而= =- , = =k,由 =-1,得 k=3,故选 B.9.已知直线 l1:mx+y+4=0 和直线 l2:(m+2)x-ny+1=0(m,n0)互相垂直,则 的取值范围为 .解析:因为直线 l1:mx+y+4=0 与直线 l2:(m+2)x-ny+1=0,(m,n0)互相垂直.所以-m =-1,即 n=m2+2m.所以 = = ,因为 m0,所以 0 ,即 0 .故答案为(0, ).答案(0, )10.在ABC 中,已知 M 为线段 AB 的中点,顶点 A,B 的坐标分别为(4,-1),(2,5
40、).(1)求线段 AB 的垂直平分线方程;(2)若顶点 C 的坐标为(6,2),求ABC 垂心的坐标.4解:(1)因为 AB 的中点是 M(3,2),直线 AB 的斜率是-3,所以线段 AB 中垂线的斜率是 ,故线段 AB 的垂直平分线方程是 y-2= (x-3),即 x-3y+3=0.(2)因为 kAB=-3,所以 AB 边上的高所在直线斜率为 ,因为 C(6,2),所以 AB 边上的高所在直线的方程为 y-2= (x-6),即 x-3y=0.同理,AC 边上的高所在直线的方程为 2x+3y-19=0.联立 x-3y=0 和 2x+3y-19=0,得 x= ,y= .所以ABC 的垂心为(
41、, ).11.如图所示,在ABC 中,BC 边上的高所在直线方程为 x-2y+1=0,A 的平分线所在的直线方程为 y=0,若点 B 的坐标为(1,2),求点 A 和点 C 的坐标.解:由题意知,点 A 是 BC 边上的高所在的直线与A 的平分线所在直线的交点,由 得 A(-1,0).又因为 x 轴是A 的平分线,所以直线 AB 与直线 AC 关于 x 轴对称.因为 kAB= =1,所以 kAC=-1,所以 AC:y-0=(-1)(x+1),即 x+y+1=0.因为 BC 边上的高所在直线为 x-2y+1=0,5所以设 BC 的方程为 2x+y+m=0.将点 B(1,2)的坐标代入,得 m=-
42、4,所以 BC:2x+y-4=0.解方程组 得 C(5,-6).所以点 A,C 的坐标分别为(-1,0),(5,-6).12.2.4 点到直线的距离1.已知点 P(m,n)是直线 2x+y+5=0 上的任意一点,则 的最小值为( D )(A)1 (B)2 (C) (D)解析:因为 是点 P(m,n)到原点的距离,所以根据直线的性质,原点到直线的距离就是 的最小值,根据点到直线的距离公式得 d= = .故选 D.2.在直线 3x-4y-27=0 上到点 P(2,1)距离最近的点的坐标是( A )(A)(5,-3) (B)(9,0) (C)(-3,5) (D)(-5,3)解析:过 P 点与直线 3
43、x-4y-27=0 垂直的直线为 4x+3y-11=0,联立方程组解得 x=5,y=-3.故选 A.3.过点 P(1,2)的直线与两点 A(2,3),B(4,-5)距离相等,则直线的方程为( C )(A)4x+y-6=0(B)x+4y-6=0(C)3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0(D)2x+3y-7=0 或 x+4y-6=0解析:因为过 P 点的直线与 A,B 两点距离相等,所以过 P 点的直线可能与 AB 平行,也可能过线段 AB 中点,由 kAB= =-4,得 y-2=-4(x-1)即 4x+y-6=0,设线段 AB 中点 M(x0,y0),则 x0=3,y0=-1,所以 kPM=
44、 =- ,直线方程为 y-2=- (x-1),即 3x+2y-7=0,综上可知,应选 C.4.经过两直线 x+3y-10=0 和 3x-y=0 的交点,且与原点的距离为 1 的直线的条数为( C )2(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:设所求直线 l 的方程为 x+3y-10+(3x-y)=0,即(1+3)x+(3-)y-10=0,所以原点到直线 l 的距离 d= =1,解得 =3,即直线 l 的方程为 x=1 或 4x-3y+5=0,共 2 条.5.两条平行直线 l1,l2分别过点 P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕 P,Q 旋转,但始终保持平行,则 l1,l2之间的距离的取
45、值范围是( C )(A)(0,+) (B)0,5(C)(0,5 (D)0, 解析:当两直线 l1,l2与直线 PQ 垂直时,两平行直线 l1,l2间的距离最大,最大距离为|PQ|=5,所以 l1,l2之间的距离的取值范围是(0,5.6.已知ABC 的三个顶点 A(-2,4),B(-3,-1),C(1,3).(1)求 BC 边上高所在直线的方程;(2)求ABC 的面积 S.解:(1)设 BC 边上高所在直线为 l,由于直线 BC 的斜率 kBC= =1,所以直线 l 的斜率 k=- =-1.又直线 l 经过点 A(-2,4),所以直线 l 的方程为 y-4=-1(x+2),即 x+y-2=0.(
46、2)BC 边所在直线方程为 y+1=1(x+3),即 x-y+2=0,点 A(-2,4)到直线 BC 的距离 d=2 ,又|BC|= =4 .SABC = |BC|d= 4 2 =8.7.两直线 l1:3x-2y-6=0,l2:3x-2y+8=0,则直线 l1关于直线 l2对称的直线方程为( A )(A)3x-2y+22=0 (B)3x-2y-10=03(C)3x-2y-20=0 (D)3x-2y+24=0解析:显然 l1l 2,设符合条件的直线方程为 3x-2y+C=0,则有 = ,所以 C=22 或 C=-6(舍去).故所求直线的方程为 3x-2y+22=0.8.已知直线 l1:y=- x
47、+ 与直线 l2:y= x+ 垂直,垂足为 H(1,p),则过点 H,且斜率为的直线方程为( A )(A)y=-4x+2 (B)y=4x-2(C)y=-2x+2 (D)y=-2x-2解析:因为 l1l 2,所以- =-1.解得 m=10,所以直线 l1的方程为 y=- x+ .又因为点 H(1,p)在直线 l1上,所以 p=- 1+ =-2,即 H(1,-2).又因为点 H(1,-2)在直线 l2上,所以-2= 1+ .解得 n=-12,所以所求直线的斜率为 =-4,其方程为 y+2=-4(x-1),即 y=-4x+2,故选 A.9.已知点 A,B 两点分别在两条互相垂直的直线 y=2x 和
48、x+ay=0 上,且线段 AB 的中点为 P(0,),则直线 AB 的方程为( C )(A)y=- x+5 (B)y= x-5(C)y= x+5 (D)y=- x-5解析:依题意,得 a=2,P(0,5).设 A(x0,2x0),B(-2y0,y0),则由中点公式,得 解得 所以 A(4,8),B(-4,2).由直线的两点式方程,得直线 AB 的方程是 = ,即 y= x+5.选 C.10.两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(-3,-1),并且各自绕着 A,B 旋转,如果两条平行直线间的距离为 d,求:(1)d 的变化范围;(2)当 d 取最大值时,两条直线的方程. 4解:(1)如
49、图所示,则有 00),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且 l1与 l2之间的距离是.(1)求 a 的值;(2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件:点 P 在第一象限;点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的 ;点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是 .若能,求点 P 的坐标;若不能,说明理由.解:(1)直线 l2的方程可化为 2x-y- =0,所以 l1与 l2之间的距离 d= = ,5即|a+ |= .又因为 a0,所以 a=3.(2)假设存在点 P,设点 P(x0,y0),若点 P 满足条件,则点 P 在与 l1,l2平行的直线 l:2x-y+c=0 上,且= ,即 c= 或 ,所以 2x0-y0+ =0 或 2x0-y0+ =0.若 P 点满足条件,由点到直线的距离公式,得 = ,即|2x 0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以 x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0.若点 P 满足条件,则 3x0+2=0 不可能.由 解得点 P 不满足条件,舍去.由 解得点 P 满足条件,所以存在点 P( , )同时满足三个条件.
