1、第四章 静态电磁场的求解,第四讲（二）,主要内容：唯一性定理及应用分离变量方法及应用Green函数方法及应用镜像原理及其应用,1. 静态电磁场的基本特性 静态电磁场数学上满足Poisson方程,4.1 唯一性定理, 静态电磁场（恒定电流源区外部）具有无旋特性，可用标量函数梯度来表示: 在介质分界面上位函数满足:,2.静态电磁场的定解问题,第一类：已知源和介质及 其边界形状，求场的分布,第二类：已知场和介质分 布，求边界形状,第三类：已知场和边界分 布，求介质特性参数,n,设区域 V 内源已知，在区域的边界S上：已知。则在区域V 内存在唯一的解，它在该区域内满足Poisson方程；在区域的边界上
2、满给定的边界条件。,3. 静态电磁场的唯一性定理,【例】同心导体球壳间充满两种介质。内导体带电荷量Q ,外导体球壳接地。求导体球壳内电场分布,C,A,B,4.2 分离变量方法,【例2】长方形盒的长为A、宽为B、高为C，上盖电位为 ，其余接地，求盒内的电位分布。,变量分离将偏微分方程转化为含有待定参数 的常微（本征值）方程;求解本征值方程得到本征值和本征函数;利用本征函数的完备性展开表示待求函数； 把待求函数的问题转化为求展开系数。通过边界条件等确定系数求出待求解。,1.分离变量方法的思想, 提炼出定解问题的数学表达式 选取适合变量分离的正交坐标系 把方程和边界条件进行变量分离 求解本征值方程，
3、确定本征值和本征函数 由本征函数构造定解问题的解 利用边界条件确定展开系数， 验证解,2.分离变量方法的程序,【例3】 无穷长导体圆 筒，半径为 a，厚度可 以忽略不计。圆筒分成 相等的两个半片，相互 绝缘,其电位分别是V 0 和-V 0 ，求筒内电位。,4.3 Green 函数方法,场点,源点,r,区域 V上体电荷在无 界空间产生的电位：,1. Green 函数方法的思想,r,上述分析说明，只要单位点电荷元在空间 的电位求得，任意电荷分布的电位利用叠 加原理求得。此即Green 函数的基本思想,2. 静态场的Green函数,一般静态电磁场问题满足Poisson方程：,两个典型特例,Green
4、函数 的物理模型,r,Green函数其物理意义是：接地导体壳内单位点电荷产生的电位, 第一类边界条件的Green函数,r,Green函数物理模型,r, 第二类边界条件的Green函数,第二类边界条件下Green函数的物理意义： 表示绝热边界条件的封闭系统内单位热源产生 的温度场分布。严格意义上的第二类边界条件 下Green函数的解是不存在的？,r,物理意义：点的源在 r 点产生的场等 于 r 点的源在 点 产生的 场，具有互易性 。,3. Green函数的对称性,Green函数的求解：Green函数本身也是一个数学物理方程，所有关于数学物理方程的求解方法也是Green函数的求解方法，包括：分离
5、变量方法、积分变换方法静电镜像方法、复变函数方法积分公式方法、Fourier级数方法,【例3 】求无穷长矩形金属壳内单位线源的电位，矩形导体壳接地。,b,a,4.4 镜像方法,1. 镜像方法的基本思想,上述表达式中，单位点电荷在空间产生的电位已知道，方程的求解最终归结为求边界感应电荷产生的电位。为了得到感应电荷及其产生的电位，人们试图找出一个或者多个想象的点电荷来等效边界面上感应电荷的贡献，这个想象的一个或者多个点电荷称为像电荷。这一方法称为镜像方法,【例4-4】 无穷大接地 导体板上单位点电荷在 上半空间的电位。,导体平板上方的电位为单位点电荷的贡献和导 体平板面上感应电荷的贡献的叠加。如果
6、能找 到一个与导体平板感应电荷在上半空间产生电 位等效的像电荷Q来代替导体平板上的感应电 荷，那么导体平板上方的电位可以表示为, 像电荷的位置不在上半空间（满足方程） 原电荷感应中心和像电荷在一条连线上（对称） 像电荷与原电荷的符号相反（感应原理） 像电荷与原电荷在平面上的电位为零（接地）,像电荷的确定,像电荷在上半空间产生的电位与导体平面感应电荷 在上半空间产生电位等效，像电荷与上半空间原电 荷在导体平面产生电位抵消,确定像电荷的原则,找一个或几个假想电荷等效感应电荷的贡献 像电荷在区域的外部，与原电荷符号相反 像电荷位置与原电荷的位置互为共轭点对 利用边界条件确定像电荷大小和位置,【例4-5】接地导体球壳外部空间的Green函数,4.5 势函数的多极矩展开,1.无界空间中势函数计算及意义,精确计算困难在于被积函数中 包含了场点变量在内。即使借 助计算机能够给出任意场点的 数值，但数值结果的理解需要 物理图像，以建立物理模型。,由于源所在区域的尺度远小于源到场点的距离， 将Taylor展开公式,2. 电位函数多极矩展开,3. 各项意义电多极矩概念,是小电荷体中电荷分 布的非均匀性所对应 的电偶极矩的电位。,一级展开项的物理意义,二级展开项意义,小电荷体系非均匀性对应的电四极矩所产生的电位,
