1、马知恩 西安交通大学,微积分的基本思想方法 及其应用,任何事物 微观 宏观 运动 速度 位移 物质细棒 线密度 棒的质量 容器中液体 压强 对底或壁的压力 数量关系 变化率 改变量 空间物体 面(体)密度 质量方向导数 空间场 变化率 改变量(流体) 梯度 源的强度 散度 通量 旋转趋势与方向 旋度 环流量l 导数 积分,（I）微积分的基本思想方法及其应用,1o 均匀与非均匀 (质量) 分布 均匀 非均匀 变化 变化率： 常量 变量函数： 线性 非线性 图形： 直线 曲线,2o 微积分方法的本质微 观 宏 观 均匀分布： (除法) (乘法)非均匀分布： 导数 积分“匀” “分”“匀” “精”
2、“合” “精”l 不同类型的问题，解决的基本思想方法是一样的. “局部均匀化求近似”，“利用极限得精确” l 导数与定积分分别是处理均匀量的除法和乘法在处理相应的非均匀量中的发展,回顾已知线密度 求质量 。 关键在于在 上对 以“不变代变” 与 是原函数与导函数的关系 在a,b上通过对导函数 “不变代变”求原函数 增量的近似值 积分和式中 是否都是 的 有无普遍性 原函数的增量的近似值？若是，是怎样的近似值？,3o 积分与微分的关系,若设 或 若确为 的原函数 在 增量的近似值，而且是 在点 关于 的微分。定积分是微分的无限累加。 两种解释,4o 微元法 把量 用积分式表达： 的关键在于求微分
3、(微分) 无限累加：问题： 待求， 未知；怎样的函数 是 的导函数(变化率)？ 已知： 只需找到与 成线性关系的 ，且使即 的线性主部或 的与 成线性关系的等价无穷小。,例1 (1) 求圆锥体积。 V非均匀分布在 上， 截圆半径kx变化。是否 的微分？观察故 是 的微分,求光滑曲线 绕 轴旋转所得 旋转体的体积。故,(2) 求圆锥体的侧面积 若取,(2) 求圆锥体的侧面积 若取 是否是 的微分？ 将圆锥面沿母线剪开展平如图弧长 即,所以若 非高阶无穷小。,似乎而故,事实上,三句 话：,1.导数和积分分别是除法和乘法的发展；2.积分是微分的无限累加，求积分的关键在于求微分；3.求微分就是寻找所求
4、量增量的线性主部，通常可先寻找导致所求量非均匀分布的某一量，由于此量的变化造成非均匀分布。将此量在微小局部以“不变”代“变”，通常便可得到所求微分。,5o 推广至多元情形 面密度 上分布物质 质量 区域函数 均匀分布 (常数) 面密度非均匀分布体密度压强 散 度,区域函数称为区域函数 在 点对区域(面积)的导数.则称 为区域函数F在 点对区域(面积)的微分。积分 非均匀分布在区域 上。 “分” “匀” “合”“精”,告,积分与微分的关系 设 在 上连续中值定理从而 即或故 是区域函数 在点 处对区域 的微分，求积分关键在于求此区域函数的微分，即关于的线性主部，而重积分仍然是 对区域微分的无限累加。,6o 微元法在建立微分方程中的应用微元分析法 (微小增量法)例 问10分钟后，车间内CO2的浓度为多少？ 解： 关键在求10分钟时，车间内CO2 的含量。设 t时刻车间内CO2的含量 考察它在 的变化的输入量 - 的输出量。 （ 内）,输入：浓度恒定0.04% 输入量 输出：车间内 浓度连续变化 输出量连续变化。 微元法：在 对车间内 浓度“不变代变”：输出量于是解浓度下降到,谢谢!,
