1、第 11 讲 数列求和及综合应用1.(1)2018全国卷 记 Sn 为等差数列 an的前 n 项和, 已知 a1=-7,S3=-15. 求 an的通项公式; 求 Sn,并求 Sn 的最小值 .(2)2016全国卷 已知各项都为正数的数列 an满足 a1=1, -(2an+1-1)an-2an+1=0.2 求 a2,a3; 求 an的通项公式 .试做 _命题角度 解决数列解答题的有关策略(1)解决已知某几个基本量求等差、等比数列的通项公式和前 n 项和问题:关键一:通过列方程(组) 求关键量 a1 和公差 d(公比 q);关键二:利用通项公式和前 n 项和公式求解 .(2)解决数列的递推问题:关
2、键一:利用 an= 得出 an 与 an+1(或 an-1)的递推式;1,=1,1,2关键二:观察递推式的形式,采用不同方法求 an.(3)解决数列求和问题:关键一:利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式;关键二:利用数列求和方法(倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等) .(4)等差、等比数列的判断方法:定义法、中项法、利用通项公式判断、利用前 n 项和判断 .(5)解决关于数列的不等式证明问题常用放缩法,解决最值问题常借助基本不等式 .解答 1 等差、等比数列基本量的计算1 已知公差不为 0 的等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且 S1+1,S3,S4 成等差数列, a1,
3、a2,a5 成等比数列 .(1)求数列 an的通项公式;(2)若 S4,S6,Sn 成等比数列,求 n 及此等比数列的公比 .听课笔记 _【考场点拨】由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要立足两数列的概念, 设出相应的基本量,充分运用通项公式、求和公式、数列的性质,确定基本量 .解综合题的关键在于审清题目, 弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件,形成解题策略 .【自我检测】已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a4=16,Sn=a1(2n-1),nN *.(1)求 a1 及数列 an的通项公式;(2)设 bn= ,求数列 bn的最大项 .2解答 2 数列的证明问题2 已知 Sn
4、为数列 an的前 n 项和,且 a3=7,an=2an-1+a2-2(nN *,n2) .(1)证明:数列 an+1为等比数列;(2)求数列 an的通项公式,并判断 n,an,Sn 是否成等差数列 .听课笔记 _【考场点拨】高考中数列的证明问题的关注点:(1)判断和证明数列 an是等差(等比)数列的方法主要有定义法和等差( 等比)中项法,但有的时候不是直接证明数列 an是等差( 等比)数列,而是一个代数式,这时必须把这个代数式看成一个整体,先换元再证明 .(2)以数列为背景的不等式证明或者恒成立问题,多数与数列的求和有关,常利用放缩法或数列对应的单调性解决 .【自我检测】已知数列 an的前 n
5、 项和为 Sn,a1= ,Sn=n2an-n(n-1),nN *.12(1)证明:数列 Sn 是等差数列;+1(2)设 bn= ,求证: b1+b2+bn0,则 bn+1bn;当 n3 时, -n2+2n+10,由题可得 解得 d=2 或 d=-4 (舍),1=2,1+2=(1+)210,所以 an=2+(n-1)2=2n.(2)因为 bn=3n-1,所以 an-bn=2n-3n-1,所以 Sn=(2-30)+(4-31)+(2n-3n-1)=(2+4+2n)-(1+3+3n-1)= - =n2+n- + .(2+2)2 1313 3212例 4 解:(1)由 a1=10,a2 为整数知等差数
6、列 an的公差 d 为整数 .又 Sn S4,故 a40, a50,于是 10+3d0,10 +4d0,解得 - d - ,因此 d=-3,103 52故数列 an的通项公式为 an=13-3n. (2)bn= = - ,1(133)(103)13 1103 1133于是 Tn=b1+b2+bn= - + - + - = - = .13 17110 1417 1103 1133 13 1103110 10(103)例 5 解:(1) a 1=1,an-1=2anan-1+an, - =2,1 11又 =1, 数列 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, =2n-1,a n= .11 1 1 1
7、21(2)a 1b1+a2b2+anbn=1- ,令 n=1 得 a1b1= .12 12当 n2 时, anbn=1- - 1- = ,又 a1b1= 满足上式, a nbn= (nN *),b n= .12 121 12 12 12 212T n= + + + ,12322523 212Tn= + + + ,12 122323 232 212+1由 - 得 Tn= + + + - = - - ,T n=3- . 12 12222223 22212+132 121212+1 2+32【自我检测】1.解:(1)设等比数列 an的公比为 q(q0).由题意得 即4=81,2+32 =18, 13
8、=81,1(1+)=36,两式相除,整理得 4q2-9q-9=0,解得 q=3 或 q=- , 34又 q 0,q= 3,从而可得 a1=3, a n=a1qn-1=3n.(2)证明: bn=log3an=log33n=n,c n= = = - ,T n= 1- + - +1421 142112 121 12+1 12 13 1315- = 1- = - ,T n = +1 2+12+1+1= =1+ 成立” .2+12 2+1+22+1+1 12+1+1记 bn=1+ ,易得 bn 是递减数列,故 bn b1=1+ = .12+1+1 121+1+165所以,实数 p 的取值范围为 ,+ .
9、65例 2 配例 3 使用 已知数列 an是等差数列, bn是等比数列,且a1=11,b1=1,a2+b2=11,a3+b3=11.(1)求数列 an和 bn的通项公式 ;(2)求数列 |an-bn|的前 n 项和 Sn.解: (1)设等差数列 an的公差为 d,等比数列 bn的公比为 q,则 解得11+=11,11+2+2=11,所以 an=-2n+13,bn=2n-1.=2,=2,(2)由(1)得 |an-bn|=|13-2n-2n-1|.当 0bn,|an-bn|=an-bn=13-2n-2n-1,Sn= - =-2n-n2+12n+1 且 S3=20.(112+13)2 1(12)12当 n3 时, anbn,|an-bn|=bn-an=2n-1-(13-2n),Sn-S3= - =2n+n2-12n+19,8(123)12 (52+13)(3)2S n=2n+n2-12n+39.综上所述, Sn=22+12+1(03),2+212+39(4).
