1、简谐振动,动力学方程,振幅,相位,初相位,描述简谐振动的特征量是,角频率,偏离开平衡位置的位移,第15章 机械波,引言：波,振动的传播过程称为波动，简称为波。,本章以机械波为例讨论波动过程的特征和规律。,虽然各种波产生的本质有所不同，但它们都具有一些共同的特征和规律，例如具有一定的传播速度，能产生反射、折射、干涉、衍射等。,机械振动的传播过程称为机械波。,电磁振动的传播过程称为电磁波（光波）。,另外任何物体都具有波动性，当研究范围进入微观领域（原子限度）时，粒子的波动性明显显现出来，这种波动性称为物质波。,15.1.1 机械波产生的条件：,15.1 机械波的产生及特性,弹性介质：介质元连续分布
2、，介质元之间有弹性相互作用。,15.1.2 波的分类,1、按振动的物理量,可分为机械波、电磁波等。,2、按传播方向和振动方向的关系,可分为横波和纵波等,(1)横波:振动方向与传播方向垂直。,(1) 要有振动(波源)；,(2) 要有能传播振动的弹性介质。,(2)纵波:振动方向与传播方向平行。,例：绳上波；电磁波（光波） 。,例：空气中声波。,另外地震波既有横波又有纵波，是横波和纵波的叠加。,15.1.3 波的特征量,1、波的传播速度u：单位时间内波（振动状态或相位)传播的距离，称为波的传播速度，简称波速或相速 ，用u表示。,t = 0,t = T/4,所以说波动是振动状态的传播，是相位的传播，是
3、能量的传播，而不是质点的传播。,波的传播速度与介质有关，不同的介质内波的传播速度不同。,例： 室温下，频率=200Hz的声波,在空气中u=340m/s, =1.7m;,在水中u=1450m/s, =7.25m。,2、波长:完成一个全振动所传播的距离。或者说波传播过程中,沿波传播方向上两个相邻的同相位（相位差为2）的两介质元间的距离。反映了波在空间上的周期性。,就是在相同的介质内由于介质的特性，横波和纵波的传播速度也不相同。,3、波的周期T：波传播一个波长所需要的时间。反映了波在时间上的周期性，当波源与观察着相对静止时，波的周期与波源的振动周期相同。,4、频率：周期的倒数；单位时间传播完整波的数
4、目。,波速u与波长、周期T(频率)的关系,机械波的波速u,1、固体中的波速,横波:,纵波:,式中:,G 切变弹性模量Y 杨氏弹性模量 质量密度,因为波的传播速度u与介质的性质有关，不同的介质内，波的传播速度不同，所以 u 的大小决定于介质的性质。,横波:只能在固体中传播。,纵波:在固体、液体、气体中都能传播。,(1)切变弹性模量G,f,S,切应变：,切应力：,实验表明：切应力与切应变成正比,即,左端固定,切向力或剪切力,写成等式：,（2）杨氏模量Y,应变,应力,实验表明：应力与应变成正比,由于固体的杨氏模量Y总是大于切变弹性模量G，所以纵波波速总是大于横波波速。,2、液体、气体中的波速(仅有纵
5、波),B液体或气体的容变弹性模量 媒质的密度,写成等式：,结论：波速取决于介质的性质。,3、张紧的弦上传播的横波的波速,T弦中张力 单位长度上的质量,1、波阵面（波面）:某时刻相位相同的点组成的空间曲面；,15.1.4 波的几何描述波面、波线、波前,波面,波线,波线,波面,2、波前:某时刻在最前面的波阵面；,3、波射线（波线）:沿波的传播方向作的射线；,在各向同性均匀介质中，波线与波阵面垂直。,为了形象地描述波的传播过程中，各振动质点之间在相位上的关系，引入波阵面和波射线等概念。,例 球面波,平面波,15.2 平面简谐波的波函数,描述波在传播过程中，不同位置x处的质点偏移平衡位置的位移y与时
6、间 t 的函数关系。,波函数:,简谐波（余弦波）：,15.2.1 平面简谐波的波函数,1、平面简谐波：简谐波的波阵面为平面的波。,分析：根据波面的定义任一时刻波面上各质点的振动状态相同，相位相同，离开各自平衡位置的位移也相同，所以只要研究波线上各点的波动规律即可知整个平面波的波动规律。,是简谐振动所形成的波，是简谐振动的传播过程。,o点处质点的振动方程为,y为t时刻,o点(x=0点处)振动质点离开平衡位置的位移,在波线上任意取一点p，坐标为x。,o点的振动传播到p点所用时间为 。,那么p点在t时刻的振动状态与o点在 时刻的振动状态相同。,平面简谐波的波函数,（t -）,设：一平面余弦波沿x轴正
7、方向传播，波速为u。,记,上式又可表示成,若平面余弦波沿x轴负方向传播时，p点的振动将与o点在 时刻的振动状态相同。,平面简谐波的波函数,（t +）,记, 沿x轴负向传播的平面简谐波的波函数为,比较振动方程和平面简谐波的波函数各代表的物理含义：,描述波源或者x=0处质点的位移随时间t的变化规律,描述波线上所有质点在 t 时刻离开平衡位置的位移,描述 x 处质点的位移随时间t的变化规律； 即x处质点的振动方程。,记,(2)当 t=t0给定, 则有:,说明y=y(x),表示t0时刻各点离开平衡位置的距离。,注意: 波形图(y-x)与振动曲线(y-t)的区别。,15.2.2 波函数的物理意义,(1)
8、当 x=x0给定时,则有:,表示x0处质点的振动规律(振动方程)。,x0点的振动曲线,t0 时刻的波形曲线,(3)当 x 、 t 都变化时,y=y(x,t) 表示不同时刻,不同位置处各质点位移。,t=t0,波函数全面反映了波在时间上和空间上的周期性。,(4) 由波函数可求得各质点的振动速度、加速度,注意：v 和 u 的不同。,t1时刻的波形图,t1+t时刻的波形图,传播的距离,15.2.3 波动方程（动力学方程）,平面简谐波满足的方程,（2）/（1）得,平面波的波动方程,推广到其它物理量，只要它的运动规律满足该式，就表示它是以u为传播速度的平面简谐波。,例：电磁波在真空中传播满足的波动方程,说
9、明在真空中传播的电磁波是以c为传播速度的平面简谐波.,例15-1 设有一沿x轴正方向传播的波，波长=0.1m, p点处质点的振动方程为 y=0.03cost （m）,试求下列两种情况下的波函数。（1）p点位于坐标原点；（2）p点位于x0=0.2m处。,解:（1）,设简谐振动方程为,则波函数为,根据题意，p点位于坐标原点时，其振动方程为,（2）当p点位于x0 =0.2m时，,所以波函数为,传播到任意点x处所用时间为,要点: 抓住沿波的传播方向上各点相位依次落后。,p点的振动方程为,例 15-2 一平面余弦横波沿水平张紧的绳上自左向右传播。取绳的左端为坐标原点，x轴的正方向水平向右,y轴的正方向竖
10、直向上。t=0时，绳的左端经平衡为止向下运动。振幅A=0.1m,频率=0.5Hz,波速u=1ms-1 。求波函数和距原点1.5m处质点的振动方程。,解：,=0.5Hz , T=2s, = rad s-1,设原点o处的振动方程为,根据题意: t=0 时，y=0。,即,得,又t=0时，质点向下运动，v0.,则波函数为,把x=1.5m代入上式，得1.5m处的振动方程为,例 15- 3 波源的振动曲线如图所示。已知波速u=4cms-1,方向向右，求 t=3s时的波形曲线。,解：,由图可知,A=0.5cm , T=4s ,设波源的振动方程为,t=0时，y=0.5cm,即, 波函数为,波函数,t=0s时的波形图,t=3s时的波形图,当t=3s时，,波向前传播的距离为 x=ut=12cm,将图像向前平移x=12cm的距离得，t=3s时的波形图。,将t=0s代入上式，通过描点画图得t=0时的波形图。,或将t=3s代入上式，通过描点画图得t=3时的波形图。,结束,
