1、1,滤波器基础 模拟滤波器设计 根据模拟滤波器设计IIR滤波器 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换,内容提要,第三章 IIR滤波器设计方法,2,3.1 滤波器基础,什么是滤波器？ 滤波器有什么作用？ 滤波器有哪些种类？ 理想滤波器是非因果系统,不可实现 滤波器的单位脉冲响应,3,滤波器及其功能,滤波器是具有频率选择作用的电路或运算处理系统，具有滤除噪声和分离各种不同信号的功能。,4,滤波器分类,若 中的有用成分 和希望去除的成分各自占有不同的频带, 通过一个线性系 统可将 有效去除.,分类: 低通(LP), 高通(HP),带通(BP),
2、带阻(BS),加法性噪声,经典滤波器,5,每一种又有模拟(AF)、数字(DF)两种滤波器. 对数字滤波器, 从实现方法上, 有IIR滤波器和 FIR滤波器之分, 转移函数分别为:,FIR DF:,IIR DF:,6,现代滤波器,种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预 测、自适应滤波器,乘法性噪声,卷积性噪声,信号的频谱和噪声道频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：从含有噪声的数据记录(又称时间序列)中估计出信号的某些特征或信号本身。,7,模拟系统函数描述模拟滤波器,理想滤波器对信号无失真传输,而完全抑制噪声,8,信号通过线性系统无失真传输的条件,0,x(t),t,td,y(t)=
3、Kx(t-td),对信号的各个频率成分按同一放大倍数放大或者衰减,9,滤波器的理想特性,对有用信号无失真传输，完全抑制无用信号 要求有用信号和无用信号不在一个频带内 有用信号频带内，常数幅频，线性相频 无用信号频带内，幅频为0 特性分为通带和阻带,10,模拟滤波器的四种类型,11,理想滤波器的物理不可实现,讨论K=1的情况,12,帕莱维纳准则:,13,滤波器 特性,滤波器特性可通过它的频域形状来描述： 增益：滤波器对此频率输入的放大因子,低通,高通,带通,带阻,14,低通滤波器技术要求,通带,过渡带,阻带,通带最大衰减 通带上限角频率 阻带最小衰减 阻带下限角频率,通带容限 阻带容限,单位 (
4、dB),15,数字滤波器的表示,16,数字滤波器类型,17,滤波器输出表示为移位脉冲响应和,实际滤波器是线性、时不变及因果,18,滤波器单位脉冲响应,滤波器对单位脉冲的响应，也就是说当滤波器输入为单位脉冲时，滤波器的输出就是单位脉冲响应。,19,有限脉冲响应滤波器(FIR),滤波器的脉冲响应在有限个非零采样值后下降为0，这种响应被称为有限脉冲响应滤波器(Finite Impluse Response, FIR)。 例：,20,无限脉冲响应滤波器(IIR),即使n=0以后没有输入，虽然脉冲响应越来越小，但不会降为0，这种响应被称为无限脉冲响应滤波器(Infinite Impluse Respon
5、se, IIR)。 例：,21,3.2 模拟滤波器设计,输入与输出都是模拟信号 模拟滤波器的应用 模拟滤波器的例子 模拟低通滤波器设计方法 模拟滤波器的频率变换方法,22,模拟滤波器的应用,传感器输出信号混有噪声 机械振动监控系统中,传感器输出包含多种频率成份 数字测控系统抗混叠滤波和平滑滤波,23,简单的RC无源滤波器,1. 带负载能力差。,2. 无放大作用。,3. 特性不理想，边沿不陡。,此电路的缺点：,模拟滤波器的例子,24,模拟滤波器例子 一阶有源低通滤波器,传递函数中出现 的一次项，故称为一阶滤波器。,25,幅频特性：,相频特性：,26,有放大作用,3. 运放输出，带负载能力强。,幅
6、频特性与一阶无源低通滤波器类似,电路的特点：,2. =o 时,1. =0 时,27,由低阶有源滤波器构成高阶有源滤波器,例：两个一阶有源滤波器串接构成二阶有源滤波器。,分析简单,28,如何设计模拟滤波器？,一般模拟滤波器的设计是要找到一个比较简单的连续函数来逼近理想滤波器特性（通常是幅度频率特性），逼近误差满足所要求的指标。 根据设计的技术指标（滤波器的幅频特性），确定滤波器的传递函数Ha(s) 设计实际网络（实际电路）实现传递函数,满足滤波器指标,找到,29,由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数,h(t)是实函数,将左半平面的的极点归,将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 的零点，虚轴
7、上的零点一半归,30,由幅度平方函数得象限对称的s平面函数,将 因式分解，得到各零极点,对比 和 ，确定增益常数,由零极点及增益常数，得,31,零点 极点,为了使滤波器稳定，极点必须落在s平面的左半平面 按最小相位条件选择零点，也选择左半平面的零点,由,得K0=1,32,几种不同类型的幅度平方函数,巴特沃思(Butterworth)滤波器,切比雪夫(Chebyshev)I型滤波器,椭圆(Elliptic)滤波器,33,确定Ha(s) 实际设计中，一般把 归一化，选为1rad/s。归一化后的巴特沃思滤波器的极点分布以及相应的系统函数、分母多项式系数都有表格可查。 Matlab工具箱中有滤波器最小
8、阶数选择函数 n,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s),巴特沃思(Butterworth)滤波器设计,巴特沃思(Butterworth)滤波器,根据给定指标,确定N和,34,【表1】：巴特沃思分母多项式系数表,35,【表2】：巴特沃思多项式因式分解,36,幅度函数特点：,3dB不变性（与阶次无关）,通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小,过渡带及阻带内快速单调减小,当 （阻带截止频率）时，衰减 为阻带最小衰减,37,Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：,幅度平方特性的极点分布：,38,极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点,极点
9、间的角度间隔为,极点不落在虚轴上,N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点,39,滤波器的系统函数：,为归一化系统的系统函数,去归一化，得,40,设计步骤,确定技术指标：,求阶数N 和,求归一化的系统函数,去归一化，得到实际滤波器的系统函数,例：设计一模拟低通巴特沃思滤波器，要求通带截止频率为5000Hz，通带最大衰减3dB，阻带起始频率10000Hz，阻带最小衰减30dB,n,Wn = buttord(5000*2*pi,10000*2*pi,3,30,s),z,p,k = buttap(n),b,a = zp2tf(z,p,k),41,设计B型滤波器的Matlab函数,滤波器最小阶数
10、的选择n,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) 模拟低通滤波器原型设计函数z,p,k = buttap(n) 根据零极点转化为传递函数的系数b,a = zp2tf(z,p,k) 巴特沃思滤波器传递函数b,a = butter(n,Wn,ftype,s) 根据传递函数求频率响应h,w = freqs(b,a,f),42,RC有源滤波电路,有源滤波器的设计主要包括以下四个过程： 确定传递函数 选择电路结构 选择有源器件 计算无源元件参数,43,44,实际设计中，一般把 归一化，选为1rad/s。归一化后的切比雪夫滤波器的极点分布以及相应的系统函数、分母多项式系数都有表格可查。,切
11、比雪夫(Chebyshev)I型滤波器设计,45,切比雪夫多项式的特点：,46,切比雪夫多项式的特点：,在-1,1范围内，VN(x)等波纹振荡，极值点（+1)共有N+1个，过零点有N个 大于1时，VN(x)单调增加 通带内，幅频特性等波纹振荡 通带外，单调下降,47,切比雪夫I型滤波器幅频曲线,48,幅度函数特点：,通带外：迅速单调下降趋向0,N为偶数,N为奇数,通带内：在1和 间等波纹起伏,49,Chebyshev I型滤波器的三个参量：,：通带截止频率，给定,：表征通带内波纹大小,N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数,由通带衰减决定,阻带衰减越大所需阶数越高,为阻带截止频率,50,幅
12、度平方特性的极点分布,各阶滤波器传递函数的极点及分母的因式已制成表格，可直接查阅,51,切比雪夫低通滤波器的特点,切比雪夫（滤波器幅度频率特性随参数N和的变化。 N参数主要影响阻带衰耗和通带波动次数；而参数决定了通带波动幅度，同时也对阻带衰耗有影响。,52,设计步骤,确定技术指标：,把实际频率归一化，归一化参考角频率为,求 阶数N,求归一化的系统函数,去归一化，得到实际滤波器的系统函数,例：设计一模拟低通切比雪夫I型滤波器，要求通带最高频率5000Hz，通带最大衰减0.1dB，阻带起始频率10000Hz，阻带最小衰减30dB,n,Wn=cheb1ord(5000*2*pi,10000*2*pi
13、,0.1,30,s),53,设计C I型滤波器的Matlab函数,滤波器最小阶数的选择n,Wn = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) 模拟低通滤波器原型设计函数z,p,k = cheb1ap(n,Rp) 根据零极点转化为传递函数的系数b,a = zp2tf(z,p,k) 切比雪夫I型滤波器传递函数b,a = cheby1(n,Rp,Wn,ftype,s) 根据传递函数求频率响应h,w = freqs(b,a,f),54,例：分别用Buttterworth低通滤波器和Chebyshev低通滤波器，要求在通带边界频率为100Hz，通带衰减小于等于1dB，阻带起始点频率150Hz，阻带
14、衰减大于等于15dB。求取最低阶数。,巴特沃思,切比雪夫,n,Wn=cheb1ord(100*2*pi,150*2*pi,1,15,s) N=4 Wn=628.3185 rad/s,n,Wn = buttord(100*2*pi,150*2*pi,1,15,s) N=6 Wn=708.6537rad/s,55,两类滤波器特性比较：,1、对理想特性的逼近：同样阶次N，C型滤波器优于B型滤波器。特别在通带截止频率附近。,56,2、阻带特性：两类滤波器的阻带特性都是单调下降。同样阶次N和通带波动幅度时，C型滤波器优于B型滤波器。特别在通带截止频率附近,57,3、低频通带特性：B型滤波器在低频具有最佳
15、平直特性。如果用C型滤波器来实现低频的平直特性要求，则会大大破坏阻带特性。在要求低频平直特性的应用中，B型滤波器优于C型滤波器。,58,频率变换,高通、带通、带阻滤波器可以通过对低通滤波器特性的频率变换得到，这种频率变换方法又称原型变换 相应的低通滤波器称为低通原型 频率变换是指其它各型滤波器的传递函数与低通原型的传递函数中频率自变量的变换关系。 频率的映射 系统函数的转换,59,实际模拟滤波器与其归一化的低通原型的指标转换关系,60,频率变换的Matlab函数,低通到低通bt,at = lp2lp(b,a,Wo) 低通到高通bt,at = lp2hp(b,a,Wo) 低通到带通bt,at =
16、 lp2bp(b,a,Wo,Bw) 低通到带阻bt,at = lp2bs(b,a,Wo,Bw),61,模拟滤波器设计的Matlab函数,Butterworth滤波器b,a = butter(n,Wn,ftype,s) Chebyshev I型滤波器b,a = cheby1(n,Rp,Wn,ftype,s) Chebyshev II型滤波器b,a = cheby2(n,Rs,Wn,ftype,s) 椭圆滤波器b,a = ellip(n,Rp,Rs,Wn,ftype,s),62,3.3 根据模拟滤波器设计IIR,脉冲响应不变法 双线性变换法,63,数字滤波器的数学描述,差分方程,系统函数,64,数
17、字滤波器设计步骤,按照实际需要确定滤波器的性能要求 用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个性能要求，即求 H(z)或h(n) 的表达式 用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括： 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等。,65,IIR数字滤波器设计方法,设计模拟滤波器变换成满足预定指标的数字滤波器最优化设计方法： a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 与所要求的理想频率响应 的均方误差最小，此外还有其他多种误差最小准则，b) 在此最佳准则下，求滤波的系数
18、 ai 和bi通过不断地迭代运算，改变ai 、 bi ，直到满足要求为止。,66,典型的IIR滤波器,Y(z)=H(z)X(z),67,68,利用模拟滤波器来设计IIR数字滤波器的方法,根据所给出的数字滤波器性能指标计算出相应的模拟滤波器的设计指标。 根据得出的滤波器性能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数H(s)。 根据得出的模拟滤波器的系统函数H(s)，经某种变换得到对该模拟滤波器相应的数字仿真系统数字滤波器。,69,用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,设计思想：,s 平面 z 平面,模拟系统 数字系统,H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面
19、的单位圆,因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| 1,70,3.3.1 脉冲响应不变法-时域仿真方法,71,脉冲响应不变法-变换原理,数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应,T抽样周期,72,73,脉冲响应不变法混迭失真,仅当,数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：,数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为,74,脉冲响应不变法得到的幅度频率特性 （低通，低混叠误差）,75,脉冲响应不变法得到的幅度频率特性 （低通，低混叠误差）,76,实际系统不可
20、能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小,当滤波器的设计指标以数字域频率 给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象,77,模拟滤波器的数字化方法,78,系数相同：,极点：s 平面 z 平面,稳定性不变：s 平面 z 平面,79,例,将一个具有如下传递函数的模拟滤波器数字化。解：,80,81,脉冲响应不变法的Matlab函数,模拟滤波器传递函数的部分分式展开脉冲响应不变法bz,az = impinvar(b,a,fs,tol),82,优缺点,优点：,缺点：,保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器,频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器,h(n)完全模仿模拟滤波器
21、的单位抽样响应时域逼近良好,83,3.3.2 双线性变换法,84,双线性变换法-变换原理,85,双线性变换法不会产生混叠,86,变换常数c的选择,2）某一特定频率严格相对应：,1）低频处有较确切的对应关系：,特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置,87,s平面与z平面的对应关系,1）,2）,88,优缺点,优点：,避免了频率响应的混迭现象,s 平面与 z 平面为单值变换,89,缺点：,除了零频率附近， 与 之间严重非线性,2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变,分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变,90,预畸变,给定数字滤
22、波器的截止频率 ，则,按 设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到 为截止频率的数字滤波器,91,模拟滤波器的数字化方法,92,双线性变换法的Matlab函数,双线性变换法 numd,dend = bilinear(num,den,fs,fp),93,例子：,一阶模拟滤波器的传递函数是Ha(s)=p/(s+ p)，滤波器的-3dB频率是2000rad/s或者(2000/2 =318.31Hz)，求出与此模拟滤波器相对应的数字滤波器的传递函数H(z)，采样频率是1500Hz。 解：模拟滤波器的传递函数是Ha(s) 将变换式代入 ,c=2/T,94,95,3.3 小结,脉冲响应不变法 双线性变换法
23、,96,3.4 从模拟滤波器的低通原型到各种数字滤波器的频率变换,低通变换 高通变换 带通变换 带阻变换,97,设计IIR滤波器的频率变换,buttap,cheb1ap, cheb2ap,ellipap,besselap,bilinear impinvar,lp2lp, lp2hp, lp2bp, lp2bs,Matlab函数,iirlp2lp, iirlp2hp, iirlp2bp, iirlp2bs,98,低通变换,数字低通滤波器指标转换为模拟低通滤波器的指标 模拟低通滤波器设计 模拟滤波器转化为数字滤波器脉冲响应不变法双线性变换法,99,数字低通滤波器设计举例,设采样频率为1500Hz，
24、一阶巴特沃思模拟低通滤波器 的-3dB频率为2000rad/s(或2000/2=318.31Hz),求出与此模拟滤波器对应的数字滤波器的传递函数。,100,数字滤波器与模拟滤波器的幅频对比,101,高通、带通、带阻数字滤波器设计,模拟原型 模拟高通、带通、带阻数字高通、带通、带阻滤波器模拟原型 数字高通、带通、带阻滤波器,102,高通数字滤波器设计-双线性变换法,103,高通数字滤波器设计,所谓高通DF，并不是高到 ，由于数字频域存在 折叠频 率=，对于实数响应的数字滤波器， 在,2部分只是0, 的镜象部分，因此有效的数字域仅是0,，高通也仅指这一段的高端，即到=为止的部分。高通变换的计算步骤
25、和低通变换一样。但在确定模拟原型预畸的临界频率时，应采用 不必加负号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。,104,数字高通滤波器设计举例,设采样频率为1500Hz，设计一阶巴特沃思数字高通滤波器 的-3dB频率为2000rad/s(或2000/2=318.31Hz),求出数字滤波器的传递函数。,105,例,设采样频率为1500Hz，设计一阶巴特沃思数字滤波器的-3dB频率为2000rad/s(或2000/2 =318.31Hz),求出数字滤波器的传递函数。 ,解：双线性变换法 1、求出低通原型的传递函数直接代入关系式： 预畸的模拟边界频率c 低通原型的传递函数代入变换式2、先设计模拟高通
26、滤波器，再用双线性变换法数字化,106,模拟低通到高通的变换,107,带通数字滤波器设计,108,带通变换的频率变换,109,带通滤波器的设计,实际设计时，给定1 2 求0和c,110,带通滤波器的举例,例：采样 fs=400kHz，设计一巴特沃思带通滤波器，其3dB边界频率分别为f2=90kHz, f1=110kHz,在阻带f3=120kHz处最小衰减大于10dB。,111,带阻滤波器的设计,112,例：采样频率为1500Hz，用一阶巴特沃思低通滤波器原型设计-3dB频率318.3Hz和636.6Hz的带通滤波器和带阻滤波器。 解：已知f1=636.6Hz f2=318.3Hz,带通,带阻,
27、高通,低通,113,3.4 小结,低通变换 高通变换 带通变换 带阻变换,114,3.5 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换,要求：,115,全通函数,116,1、数字低通 数字低通,117,由,得：,118,2、数字低通 数字高通,低通频率响应在单位圆上旋转180o，即得高通频率响应,119,由,得：,采用全通函数的分析方法：,变换关系 相同,120,3、数字低通 数字带通,121,3、数字低通 数字带通,122,其中,123,124,4、数字低通 数字带阻,125,126,127,数字域频率变换的Matlab函数,num,den = iirlp2lp(b,a,wc,wd) num,
28、den = iirlp2hp(b,a,wc,wd) Num,Den,AllpassNum,AllpassDen = iirlp2bp(B,A,Wo,Wt) Num,Den,AllpassNum,AllpassDen = iirlp2bs(B,A,Wo,Wt),128,例：已知采样频率为1500Hz，-3dB频率为318.3Hz的一阶巴特沃思低通数字滤波器的传递函数是用数字滤波器到数字滤波器的频率变化方法求-3dB频率为318.3Hz的高通数字滤波器的传递函数。,129,实际IIR数字滤波器的设计方法总结,实际数字滤波器与原型低通滤波器之间的频率坐标关系用于设计指标的变换。最终是要把实际数字滤波
29、器设计指标变换到原型模拟低通滤波器的相应设计指标。如果采用双线性变换法来进行数字滤波器与模拟滤波器的变换，可以用予畸方法来解决非线性失真。模拟变换方法计算比较简单；而使用数字变换方法通过参数选择，可以采用脉冲响应不变法或双线性变换法，具有更加灵活的特性。在设计中都没有考虑滤波器的相位特性。因为，在IIR数字滤波器的设计中都不能实现线性相位特性。,130,3 小结,滤波器基础 模拟滤波器设计 根据模拟滤波器设计数字滤波器的方法 从模拟低通原型到各种数字滤波器设计的频率变换 根据数字低通设计数字滤波器,131,第三章 作业,P130 3.1 P131 3.4 P131 3.7 P131 3.8 P132 3.15 P132 试验三 上机内容2+思考题,LabVIEW中的滤波器设计函数,滤波器设计工具包 演示滤波器的反应时间 演示低通滤波器 演示IIR滤波器 演示单极点滤波器,132,
