1、1.1 离散时间信号与系统,数字信号处理基础,1.2 数字滤波器,离散信号(序列)的表示,x(n)=1, 1, 2, -1, 1; n= -1, 0, 1, 2, 3,常用序列,1. 单位脉冲序列,2. 单位阶跃序列,3. 矩形序列,4. 指数序列,anu(n)：右边指数序列,|a| 1序列有界,anu(-n)：左边指数序列,|a| 1序列有界,5. 虚指数序列(单频序列),6余弦型序列,数字域频率,数字频率与模拟频率的关系,模拟角频率,序列的基本运算,2) 翻转(time reversal) x(n)x(-n),1) 位移 x(n) x(n-N),3) 卷积,卷积的计算,4) 抽取(deci
2、mation) x(Dn),5) 插值(interpolation) x(n/I),D为正整数,序列 是 的抽取序列,每D个样值抽取一个,序列 是 的插值序列,每两个样值之间插入（I -1）个零值,I为正整数,时域抽取，造成在数字频率域上频谱展宽,时域插值，造成在数字频率域上频谱压缩,选择合适的I和D，就能够任意地改变采样频率fs,一般是先做I倍插值，再做D倍抽取,加防混叠滤波器的抽取器系统,将待抽取序列的频谱限制在 范围内,无论是抽取还是插值，其输入到输出的变换都相当于经过一个线性时变系统!,离散系统,前置预 滤波器,A/D 变换器,数字信号 处理器,D/A 变换器,模拟 滤波器,模拟,xa
3、(t),PrF,ADC,DSP,DAC,PoF,模拟,ya(t),1. 线性,系统分类,2. 时不变,定义：如Tx(n)=y(n)，则Tx (n-m)=y(n-m),线性时不变系统简称为：LTI,LSI (linear shift invariant),3. 因果性（Causality）,定义:系统n时刻的输出只与n时刻及以前的输入有关,因果的LTI：h(n)=0, n0.,4. 稳定性,LTI系统稳定的充分必要条件,有界输入产生有界的输出,离散系统的频率响应,magnitude response,phase response,理想数字滤波器,离散系统z域分析,z变换定义及收敛域,收敛域(RO
4、C): R- |z| R+,有限长序列的z变换的收敛域至少是有限z平面,1) 有限长序列 z 变换的收敛域,2) 因果序列z变换及其收敛域,因果序列仅当 |z|a| 时其ZT存在，其收敛域是半径为|a| 的圆外区域。,3) 反因果序列z变换及其收敛域,反因果序列仅当 |z|a| 时其ZT存在， 其收敛域为半径为|a|的圆内区域。,4）双边序列的z变换及其收敛域,双边序列当|a|b|时其z变换存在，收敛域为|a|z|b|的环状区域,当|a|b|时没有公共收敛域，即其z变换不存在！,系统函数H(z) (transfer function, system function),对LTI系统: y(n)
5、 = x(n)*h(n),由z变换的性质：Y(z)=X(z) H(z),H(z)称为LTI离散系统的系统函数,当H(z) ROC包含单位圆时,差分方程和系统函数,ak =0 (k=1N)时，系统称FIR(finite impulse response),ak不全为零时，系统称为IIR(infinite impulse response),系统的稳定性和H(z),LTI系统稳定的充要条件：,H(z)的收敛域包含单位圆,稳定因果系统,非稳定非因果系统,稳定非因果系统,利用DFT分析信号的频谱,一、四种信号频谱之间的关系 二、利用DFT分析连续非周期信号频谱 三、混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 四、D
6、FT参数选取,1.连续时间非周期信号x(t),图1 连续非周期信号及其频谱,2.连续时间周期信号xT(t),图2 连续周期信号及其频谱,时域的周期化,频域离散化,3.离散时间非周期信号x(n),图3 离散非周期信号及其频谱,时域的离散化,频域周期化,4.离散时间周期信号,图4 离散周期信号及其频谱,问题：,如何利用数字方法分析信号的频谱？,利用DFT分析连续非周期信号的频谱,出现三种现象：混叠、泄漏、栅栏,时域加窗(数据截断)造成频谱泄漏现象,混叠失真,频 谱 泄 漏,栅 栏 效 应,混叠现象、泄漏现象、栅栏现象,1) 混叠现象的解决办法: 增大采样频率fs，加抗混滤波器,2）泄漏现象（时域加
7、窗对频谱的影响）,加窗,泄漏现象减轻的方法:截取更长的数据、不要突然截断，即选择渐变的窗函数,3）栅栏现象：,就像通过栅栏看景象.,解决栅栏现象的方法：序列后补零,频率分辨率,T0信号的实际长度,DFT参数选取,1.,2.,3.,抽样频率:,时间长度:,抽样点数:,END,IIR 数字滤波器,FIR 数字滤波器,IIR数字滤波器设计,这些典型的滤波器各有特点： 巴特沃思滤波器:具有单调下降的幅频特性； 切比雪夫滤波器:幅频特性在通带或者在阻带有波动，可以提高选择性； 椭圆滤波器:选择性相对前两种是最好的,在通带和阻带内均为等波纹幅频特性。根据具体要求可以选用不同类型的滤波器。,常用模拟原型滤波
8、器有巴特沃思(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器等,利用MATLAB实现,N,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs),N,Wn = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs),N,Wn = cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs),N,Wn = ellip(Wp,Ws,Rp,Rs),b,a = cheby1(N,Rp,Wn),b,a = butter(N,Wn),b,a = cheby2(N,Rs,Wn),b,a = ellip(N,Rp,Rs,Wn),一、IIR数字滤波器的直接型结构,直接I型,滤波器需要?个延时单
9、元?,（N+M）,直接II型结构,交换级联子系统,只需?级延迟单元,max(N,M),IIR数字滤波器的直接型结构优缺点,优点：简单直观 缺点：1. 改变某一个ak 将影响所有的极点2. 改变某一个bk 将影响所有的零点3. 对有限字长效应太敏感，容易出现不稳定现象,对于三阶以上的IIR滤波器，几乎都不采用直接型结构，而是采用级联型、并联型等其它形式的结构,二、IIR数字滤波器的级联型结构,将滤波器系统函数H(z)的分子和分母分解为一阶和二阶实系数因子之乘积的形式,画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们级联,二阶基本节,级联型结构信号流图,基于直接II型的级联型结构,sos,G=zp2sos(
10、z,p,c),z,p,c=tf2zp(b,a),roots(b),IIR数字滤波器的级联型结构优点,优点： 1.硬件实现时，可以用一个二阶节进行时分复用 2.每一个基本节系数变化只影响该子系统的零极点 3.对系数变化的敏感度小，受有限字长的影响比直接型低,问题：最优化问题,三、IIR数字滤波器的并联型结构,将滤波器系统函数H(z)展开成部分分式之和，并将子系统仍采用二阶基本节表示,画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们并联。,IIR并联型结构,IIR数字滤波器的并联型结构优缺点,优点：1.运算速度快2. 各基本节的误差互不影响3. 可以单独调整极点的位置 缺点:不能向级联型那样直接调整零点,I
11、IR滤波器系数量化中的有限精度问题,例.已知IIR滤波器，其系统函数为,假设该滤波器系数以4比特硬件实现：,0.9,0.2,0.4,0.5分别被量化为：0.875,0.125,0.375,0.5,则，直接型实现时，极点位置变为：0.18,0.695 串联型实现时，极点变为：0.375,0.5,级联11，并联10，直接20,IIR滤波器实现,y = filter(b,a,x),for (i=0;iM;i+) yn1 = yn1 + xi*bi; for(j=1;jN;j+) yn2 = yn2 + yj*aj; yn=yn1-yn2;,数组xi移位 x0对应当前时刻输入数据 x1对应上一时刻输入
12、数据 .,数组yj移位 y1对应上一时刻的输出 .,直接型,temp = input; for (k=0;kIIR_section;k+) wk0=temp ak1*wk1-ak2 *wk2; temp=bk0*wk0+bk1*wk1+bk2*wk2 wk2=wk1; wk1=wk0; output = temp;,串联型(直接II型),IIR数字滤波器的优缺点,优点：可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。 在相同的过渡带性能下，阶数远比FIR的低！,缺点：相位的非线性，将引起频率的色散；若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本
13、也高。,在对相位要求不敏感的场合，可以选用IIR。而在图像信号处理，数据传输等以波形携带信息的系统中，要求系统具有严格的线性相位,(1) 很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真。这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要； (2) 极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题； (3) 任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转为因果序列，所以因果性总是满足； (4) 可以使用FFT算法实现过滤信号，从而提高效率。,FIR数字滤波器的特点,缺点：因为没有极点，要获得好的过渡带特性，需要较高的阶数,FIR数字滤波器设计,窗函数设计法 频率抽样设计法 最
14、优化设计法,b = fir1(N,Wn,filtertype,window),b = fir2(N,f,m,window),b = remez(N,f,m) firpm(),N取奇数,一、 FIR数字滤波器的直接型结构,M+1个乘法器，M个延迟器,M阶FIR数字滤波器,二、 FIR数字滤波器的级联型结构,将H(z)分解为若干个实系数一阶二阶因子相乘,优点：便于控制零点，可分别控制每个子系统的零点,缺点：所需系数较多，所需乘法较多,三、线性相位FIR数字滤波器结构,奇数个系数,利用线性相位FIR hn的对称特性： hn= hM-n,相同系数的共用乘法器，省略近一半的乘法器,偶数个系数,相同系数的
15、共用乘法器，省略一半的乘法器,四、FIR数字滤波器的快速卷积结构,有两种分段卷积的办法: 重叠相加法和重叠保留法,分段卷积法：将x(n)分成点数和h(n)相仿的段，分别求出每段的卷积结果，然后用某种方式把它们合在一起，得到总的输出，每段的卷积均采用FFT方法。,FIR滤波器实现,y = filter(b,1,x),type coef_arr is array(0 to 12) of signed(8 downto 0); constant coefs : coef_arr := (“000001100“, - 0C- 12 - 0.0474 -1 “111110111“, - F7- -9 -
16、 -0.0336 -2 “111101101“, - ED- -19 - -0.0762 -3 “111110101“, - F5- -11 - -0.0436 -4 “000011010“, - 1A- 26 - 0.1034 -5 “001001010“, - 4A- 74 - 0.2887 -6 “001100000“ - 60- 96 - 0.3736 7“001001010“, - 4A- 74 - 0.2887 - 8“000011010“, - 1A- 26 - 0.1034 - 9“111110101“, - F5- -11 - -0.0436 - 10“111101101“,
17、 - ED- -19 - -0.0762 - 11“111110111“, - F7- -9 - -0.0336 - 12“000001100“, - 0C- 12 - 0.0474 - 13);,系数的量化,if rst = 0 thenfor i in 0 to 12 loopshift(i) := (others = 0);end loop;result 0); elsif (clkevent and clk = 1) thentmp := sample;acc := tmp * coefs(0);for i in 11 to 0 loopold := shift(i);pro := old * coefs(i+1);acc := acc + pro;shift(i+1):=shift(i); end loop;shift(0) := sample;result = acc(15 downto 8); end if,改进措施：,线性相位结构 并行 流水 非递归-递归 ,END,
