1、用心 爱心 专心浅谈变式练习在教学中的应用摘 要 高中数学学习的内容跨度大、抽象性强,只有促进高中学生对数学知识的深刻理解,才能达到掌握和灵活应用数学知识的目的。变式练习是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式,以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化,使其条件或形式发生变化,而本质特征却不变。通过变式练习有助于培养探索精神和创新意识,让老师的数学教学与学生的数学学习都事半功倍。关键词 数学教学;变式练习;应用举例;高 中 数 学 学 习 的 内 容 跨 度 大 、 抽 象 性 强 , 只 有 促 进 高 中 学 生 对 数 学 知识 的 深 刻 理 解 , 才 能
2、达 到 掌 握 和 灵 活 应 用 数 学 知 识 的 目 的 。 而 人 们 对 知识 的 深 刻 理 解 , 都 具 有 一 定 的 时 空 性 、 阶 段 性 和 渐 进 性 , 都 需 要 在 一 定的 变 化 环 境 下 反 复 理 解 , 才 能 不 断 深 入 。 变 式 练 习 是 陈 述 性 知 识 转 化 为程 序 性 知 识 点 的 关 键 环 节 。 变 式 练 习 是 对 数 学 概 念 和 问 题 进 行 不 同 角 度 、不 同 情 形 的 变 式 , 凸 显 概 念 的 本 质 和 外 延 , 突 出 问 题 的 结 构 特 征 , 揭 示知 识 的 内 在 联
3、 系 。 变 式 练 习 就 是 指 在 其 他 教 学 条 件 不 变 的 情 况 下 , 概 念和 规 则 等 程 序 性 知 识 的 例 证 的 变 化 。 变 式 练 习 可 以 让 学 生 在 练 习 过 程 中 ,通 过 多 角 度 的 分 析 、 比 较 、 联 系 , 掌 握 概 念 的 本 质 和 问 题 的 结 构 及 解 决策 略 。 下 面 就 本 人 的 教 学 实 例 谈 谈 对 数 学 中 的 变 式 练 习 个 人 看 法 。在 数 学 学 习 中 , 教 师 通 过 变 式 练 习 , 可 以 把 一 个 看 似 孤 立 的 问 题 从 不同 角 度 向 外
4、扩 散 , 并 形 成 一 个 有 规 律 可 寻 的 系 列 , 帮 助 学 生 在 问 题 的 解答 过 程 中 去 寻 找 解 类 似 问 题 的 思 路 、 方 法 , 有 意 识 地 展 现 教 学 过 程 中 教师 与 学 生 数 学 思 维 活 动 的 过 程 , 充 分 调 动 学 生 学 习 的 积 极 性 、 主 动 地 参与 教 学 的 全 过 程 , 培 养 学 生 独 立 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力 , 以 及 大 胆 创 新 、勇 于 探 索 的 精 神 , 从 而 真 正 把 学 生 能 力 的 培 养 落 到 实 处 。 同 时 , 通 过 变式 练
5、 习 , 学 生 不 再 需 要 大 量 、 重 复 地 做 同 一 样 类 型 的 题 目 , 从 而 实 现真 正 的 减 负 , 提 高 了 学 习 的 效 率 , 应 用 举 例 如 下 :例 1 如 在 新 授 定 理 “ 2xy ” 其 中 Ryx.,( 当 且 仅 当x=y 时 取 “ ”号 ) 的 定 理 时 , 强 调 定 理 使 用 的 条 件 是 : 一 正 二 定 三 相等 。 通 过 如 下 课 本 习 题 进 行 变 式 练 习 : 原 题 已 知 0, 当 x 取 什 么 值 , x1有 最 小 值 ? 最 小 值 是多 少 ? ( 高 中 数 学 (人 教 版
6、) 新 教 材 必 修 ( 5) P100 练 习 第 1 题 ) )变 式 1 当 , 函 数 xy有 最 小 值 吗 ?为 什 么 ? 变 式 2 已 知 5, 求 9()45f的 最 小 值 ; 用心 爱心 专心变 式 3 当 3, 函 数 xy1的 最 小 值 为 2 吗 ? 评 注 : 均 值 不 等 式 是 高 中 阶 段 的 一 个 重 点 , 但 学 生 在 使 用 时 , 很 容易 忘 记 定 理 使 用 的 条 件 “一 正 二 定 三 相 等 ”。 因 此 在 教 学 中 由 课 后 习题 出 发 , 利 用 条 件 特 殊 化 即 将 原 题 中 一 般 条 件 , 改
7、 为 具 有 特 定 性 的 条 件 ,使 题 目 具 有 特 殊 性 。 设 计 三 个 变 式 练 习 的 解 答 , 使 学 生 加 深 了 对 定 理 成立 的 三 个 条 件 “一 正 、 二 定 、 三 相 等 ”的 理 解 与 掌 握 , 为 定 理 的 正 确使 用 打 下 了 较 坚 实 的 基 础 例 2 原 题 : 画 出 函 数 y=f(x)的 图 象 , 并 根 据 图 象 说 出 函 数y=f(x)单 调 区 间 , 以 及 在 各 单 调 区 间 上 函 数 y=f(x)是 增 函 数 是 减 函数 。 ( 高 中 数 学 (人 教 版 ) 新 教 材 必 修 (
8、 1) 习 题 1.3A 组 第 1 题 )变 式 1: 画 出 函 数 32xf的 图 象 , 并 根 据 图 象 说 出 函数 的 单 调 区 间 , 以 及 在 各 单 调 区 间 上 函 数 2)(xf是 增 函数 是 减 函 数 。评 注 : 函 数 的 图 像 、 单 调 性 是 高 中 教 学 很 重 要 的 一 部 分 内 容 , 也 是学 生 较 难 掌 握 的 。 因 此 本 题 将 课 本 习 题 中 函 数 解 析 式 特 殊 化 , 引 导 学 生挖 掘 条 件 ,考 察 特 定 概 念 。 这 不 仅 考 察 了 绝 对 值 的 概 念 ,也 考 察 了 解 一元
9、二 次 方 程 , 这 符 合 由 一 般 到 特 殊 的 认 识 规 律 , 学 生 容 易 接 受 。例 3、 已 知 x、 y 0 且 x+y=1, 求 x2+y2 的 取 值 范 围 。解 答 此 题 的 方 法 较 多 , 下 面 给 出 一 种 常 见 的 思 想 方 法 , 以 作 示 例 。解 法 一 : ( 函 数 思 想 ) 由 x+y=1 得 y=1-x, 则21)()(2222 xy由 于 x 0, 1, 根 据 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质 知当 x= 时 , x2+y2 取 最 小 值 1; 当 x=0 或 1 时 , x2+y2 取 最 大 值1。变 式
10、 1: 已 知 a、 b 为 非 负 数 , M=a4+b4, a+b=1, 求 M 的 最 值 。( 函 数 思 想 ) 由 a+b=1 得 b=1 a, 0 a 1M= a4+b4= a4+( 1 a) 4=2a4 4a3+6a2 4a+1从 而 , M/=8a3 12a2+12a 4=4( 2a3 3a2+3a 1)=4( 2a 1) ( a2 a+1) 令 M/=0, 得 a=当 0 a 时 M/ 0, 则 M( a) 单 调 递 减 ;当 a 1 时 M/ 0, 则 M( a) 单 调 递 增 ;用心 爱心 专心于 是 , M 在 a= 21处 取 极 小 值 M( 21) =8;
11、而 M( 0) = M( 1)=1所 以 , 8 M 1评 注 : 函 数 思 想 是 中 学 阶 段 基 本 的 数 学 思 想 之 一 , 揭 示 了 一 种 变 量之 间 的 联 系 , 往 往 用 函 数 观 点 来 探 求 变 量 的 最 值 。 对 于 二 元 或 多 元 函 数的 最 值 问 题 , 往 往 是 通 过 变 量 替 换 转 化 为 一 元 函 数 来 解 决 。 同 时 解 决 函数 的 最 值 问 题 , 我 们 已 经 有 比 较 深 的 函 数 理 论 , 如 单 调 性 的 运 用 、 导 数的 运 用 等 都 可 以 求 函 数 的 最 值 。 原 题
12、中 利 用 函 数 知 识 , 代 入 法 来 解 决 ,变 试 中 利 用 导 数 可 以 求 函 数 的 最 值 , 不 但 复 习 了 运 用 函 数 思 想 求 变 量 的最 值 是 常 见 方 法 。 同 时 有 助 与 在 教 学 中 引 导 学 生 对 函 数 思 想 的 形 成 , 加强 学 生 对 函 数 概 念 及 其 性 质 的 理 解 。在 教 学 实 践 中 也 发 现 , 有 些 教 师 对 变 式 练 习 的 “度 ”把 握 不 准 确 ,不 能 因 材 施 教 , 单 纯 地 为 了 练 习 而 练 习 , 给 学 生 造 成 了 过 重 的 学 习 和 心理
13、负 担 , 使 学 生 产 生 了 逆 反 心 理 , “高 投 入 、 低 产 出 ”, 事 倍 而 功 半 。同 时 , 有 的 教 师 不 注 意 练 习 要 有 梯 度 , 循 序 渐 进 , 切 不 可 搞 “一 步到 位 ”, 否 则 会 使 学 生 产 生 畏 难 情 绪 , 影 响 问 题 的 解 决 , 降 低 学 习 的 效率 。总 之 , 变 式 练 习 要 源 于 课 本 又 要 高 于 课 本 , 同 时 要 遵 守 以 下 几 个 原 则 :1 明 确 目 的 , 遵 循 课 标 2 突 出 重 点 , 以 点 带 面3 题 面 多 样 , 适 当 重 复 4 针
14、对 实 际 , 因 人 而 异 。著 名 的 数 学 教 育 家 波 利 亚 曾 形 象 的 指 出 : “好 问 题 同 某 种 蘑 菇 有些 相 像 , 它 们 都 成 堆 地 生 长 , 找 到 一 个 以 后 , 你 应 当 在 周 围 找 一 找 , 很可 能 附 近 就 有 好 几 个 。 ” 数 学 课 堂 教 学 中 , 变 式 练 习 就 是 数 学 教 育家 波 利 亚 所 说 的 蘑 菇 , 它 让 学 生 能 够 把 自 主 学 习 和 主 体 智 力 参 与 , 以 及多 向 性 、 多 层 次 的 交 互 作 用 引 进 教 学 过 程 。 教 师 通 过 变 式
15、练 习 , 不 但 使学 生 能 举 一 反 三 , 而 且 能 使 教 学 结 构 发 生 质 的 变 化 , 使 学 生 成 为 创 造 的主 人 。 希 望 在 我 们 的 课 堂 中 能 多 开 展 些 变 式 练 习 , 这 样 , 变 式 练 习 将 成为 老 师 手 中 的 方 向 盘 带 领 学 生 告 别 那 无 尽 头 的 题 海 。参 考 文 献 1 张 宪 铸 一 道 向 量 习 题 的 推 广 及 应 用 数 学 通 讯 ,2001, 172. 刘 绍 学 数 学 (人 教 版 ) 新 教 材 必 修 ( 1)3. 李 建 华 数 学 (人 教 版 ) 新 教 材 必 修 ( 5)4. 波 利 亚 怎 样 解 题 5. 毛 莲 香 倡 导 数 学 变 式 教 学 促 进 学 生 思 维 发 展