1、- 1 -初中数学竞赛专题选讲（初三.17）函数的图象一、内容提要1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量 x 为横坐标和以它的函数 y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数 y=f(x)的图象.例如 一次函数 y=kx+b (k,b 是常数，k 0) 的图象是一条直线 l. l 上的任一点 p0(x0,y0) 的坐标，适合等式 y=kx+b, 即 y0=kx0+b； 若 y1=kx1+b，则点 p1(x1,y1) 在直线 l 上.2. 方程的图象：我们把 y=kx+b 看作是关于 x, y 的 二元一次方程 kxy+b=0, 那么直线 l 就是以这个方程的解为坐标的点的集合，我们把这条
2、直线叫做二元一次方程的图象.二元一次方程 ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a0,b0) 叫做 直线方程.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如：二元二次方程 y=ax2+bx+c(a0) (即二次函数)的图象是抛物线；二元分式方程 y= (k0) (即反比例函数) 的图象是双曲线. xk3. 函数的图象能直观地反映自变量 x 与函数 y 的对应规律. 例如： 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； 由图象的上升，下降反映函数 y 是随 x 的增大而增大(或减小) ； 函数 y=f(x)的图象在横轴的上方，下方
3、或轴上，分别表示 y0,y0,f(x)0 且 a0.ab抛物线与纵轴的交点在正半轴上， 截距 c0.抛物线与横轴有两个交点， b 24ac0.例 2. 已知：抛物线 f：y=(x2) 2+5. 试写出把 f 向左平行移动 2 个单位后，所得的曲线 f1 的方程；以及 f 关于 x 轴对称的曲线 f2 的方程. 画出 f1 和 f2 的略图，并求：（1） x 的值什么范围，曲线 f1 和 f2 都是下降的；（2） x 的值在什么范围，曲线 f1 和 f2 围成一个封闭图形；（3） 求在 f1 和 f2 围成封闭图形上，平行于 y 轴的线段的长度的最大值 .解：f 1 ：y= x 2+5 ( 由顶
4、点横坐标变化确定的) ，f2 ：y=(x2) 25 (由开口方向相反确定的).（1）当 x0 时，f 1 下降，当 x2 时，f 2 下降，当 0x2 时，曲线 f1 和 f2 都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组 .5)2(xy，x22x3=0 . x=1；或 x=3.当1x 3 时，曲线 f1 和 f2 围成一个封闭图形 .(3)封闭图形上，平行于 y 轴的线段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差.在区间 1x 3 内，- 3 -设 f1 上的点 P1(x,y1), f 2 上的点 P2(x,y2)，求 y1y 2 的最大值，可用配方法：y1y 2 (x
5、2+5) (x 2) 252x 2+4x+6 2(x1) 2+8.20, 那么 y=kx+k 中，xk当 k0 时，直线上升且在 y 轴上的截距为正. 所以应选 (D)；注意到 y=1 中， 当 x=0 和 x=1 时 y 有最大值 1，故选 (A).2三、练习1. 填空： 横坐标为2 的点的集合，记作直线，纵轴记作直线，横轴记作直线，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线，经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程. 点 P（x, y）关于横轴的对称点 P1 的坐标是（ ） ，点 P 关于原点的对称点 P2 的坐标是（ ）. f：y=3(x2) 2+5,关于横轴对称的抛物线 f1 记作
6、f 关于原点对称的抛物线 f2 记作. A（1，3）关于直线 y=x 的对称点 A， 的坐标是（ ）.点 B（2，3）关于直线 y=x 的对称点 B， 的坐标是（ ）.2. 根据图象位置判断指定的常数的符号 直线 y=kx+b 经过二、一、四象限，则 k,b 的符号是- 7 - 抛物线 y=ax2+bx+c 的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号 a_, _,b_,c_,abb24ac_,_c4_acb23. 选择题（只有一个正确的答案）（1）下图（1）是一次函数 px+qy+r=0 的图象，下列条件正确的是（ ）.（A）p=q, r=0 . (B) p=q, r=0. (C)p=q, r=
7、1. (D) p=q, r=1.（2）下图（2）是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，如下答案哪个正确？（ ）（A）a+b+c=0. （B）a+b+c0. （D）a+b+c 值不定.(1) （3）二次函数 y=a(x+m)2+n 中，a0 , m0, n0 它的图象（ ）(4)两个一次函数 y=mx+n y=nx+m 且 mn0. 正，负，正，负，负，正，负.3. (A)， (B)， (B) ， (C)， (D)， (C) 4. x0，图象不以过原点； y0；x0； y0.5. y= (x 是正整数 xm=5). xm26. （如图） 7. 乙追及甲； 甲先 1 小时； 时速甲 4、乙 5
8、 千米； 乙用 4 小时追上甲先走的 4 千米 y 甲 =4x, y 乙 =5x 8. 由图象 a,a+1 异号，L 2 过 A，B，C 三点. 3，1. ，0， . - 12 -9. (2，2) ，(4，3)，(7，6)，(9 ，9)，( 3，3)，(6，6). 由 x2x+1810 .x当 x0 时，x 2x+1810x, x211x+180, (x2)(x 9)0，2x9, 这时，有 4 个整数点：(2，2) ，(4，3) ，(7，6)，(9，9)；当 x0 时，x 2x+18 10x, x 29x+18 0， （x+6 ）(x+3)0，6x3, 这时有两个整数点：(3，3) ，(6，6).
