1、 http:/ 年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题 (本题共有 6 小题，每题均给出（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分。)1. 删去正整数数列 1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第2003 项是 【答】 （ ）（A）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492. 设 那么直线 和曲线 的图形是【答】 （ ,0,abR0axyb2xayb）(A) (B) (C) (D)3.
2、过抛物线 的焦点 F 作倾斜角为 的直线. 若此直线与抛物线交于 A，B28yx60两点，弦 AB 的中垂线与 轴交于 P 点，则线段 PF 的长等于 【答】 （ ）（A） (B) (C) (D) 163313834 若 则 的最大值是 5,2x2tantancos66yxxx【答】 （ ） （A） (B) (C) (D) 1516171255. 已知 在区间 内，且 则函数 的最小值是 ,xy2,xy2249uxy【答】 （ ）（A） (B) (C) (D) 8541127156. 在四面体 ABCD 中设 ，直线 AB 与 CD 的距离为 2，夹角为 ，则四,3ABCD 3面体 ABCD
3、的体积等于 【答】 （ ）（A） (B) (C) (D) 3212133二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。yxyxyxxyhttp:/ 的解集是_32430xx8设 是椭圆 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且 ，则12,F19y12:PF的面积等于_.12P9. 已知 2430,AxxR若 ，则实数 的取值范围是10,75.BaABa_.10. 已知 均为正整数，且 若 ，则,bcd35log,l,24acbd9c_.bd11. 将八个半径都为的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，
4、则此圆柱的高等于_.12设 _120.01,21),n ni nMnaia 十 进 制 位 纯 小 数 只 取 或 （是 中元素的个数， 是 中所有元素的和，则 _nTnSMlmnST三、解答题 （本题满分 60 分，每小题 20 分）13 设 证明不等式 35,2x2131529.xxhttp:/ A,B,C 分别是复数 （其中 都是实数）对应的012,1ZaibiZci,abc不共线的三点. 证明：曲线 与 中424cossnsi()ttZtRABC平行于 AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点.15. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A, 且 OA=a, 折叠纸片，使圆
5、周上某一点 刚好与 A 点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当 取遍圆周上所有的 A点时，求所有折痕所在直线上点的集合.http:/ 年全国高中数学联赛加试试题第二试一、 （本题满分 50 分）过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线，切点为 A, B. 所作割线交圆于 C, D 两点，C 在P, D 之间. 在弦 CD 上取一点 Q, 使 求证：.DAQPBC.QPA二、 （本题满分 50 分）设三角形的三边长分别是整数 且 已知 其中,lmn.l44433,1010lmn而 表示不超过 的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.,xxx三、 （本题满分 50 分）由 n 个点和
6、这些点之间的 条连线段组成一个空间四边形，其中l 21,nq已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在21,.lqqN一点至少有 条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点 A,B,C,D 和四条连线段 AB,BC,CD,DA 组成的图形）http:/ 年全国高中数学联赛第一试参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6C B A C D B提示：1. 注意到 , ,故 ;05422162048320a2. 题设方程可化为 和 ,观察图形可知；baxyy3. 易知直线 AB 的方程为 ,因此 A,B 两点的横坐标满足方程 ,从3 016832x而弦 AB 中点的横坐标为 ,纵坐标
7、 ,进而求得中垂线方程之后，令40x340yy=0，得点 P 的横坐标即 PF= ；3164. 原函数可化为 ,可以证明函数在已知的区间上为增函6cos42sinxxy数，故当 时，y 取最大值 ;3x315. 消去 y 之后可得： ,用基本不等式可求得函数 u 的最小值 ;24975xu 5126. 可用等积法求得，过程略。二、填空题7. . 提示： 原不等式可以化为:3,215,301|3|2xx8. 4 是直角三角形，故 的面积为 ;21FP21FP 42|21PFS9. a提示： ,令 , ,则只需 在3Aaxfx1572xaxgxgf,http:/ x 轴的下方，其充要条件是 ,由此
8、推出 ;031gf 14a1093 提示： 由已知得 , ,又 ，故dcba4523, 42,cdab9c,推得 , ;92242 cadbcab 1922cdab32,516d11 48+提示：如图，上下层的四个球的球心 A1,B1,C1,D1,A,B,C,D 分别是上下两个边长为 2 的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时 A1 在底面上的射影 M 为弧 AB 的中点。由于 A1A=A1B=AB=2, , ,求得OA12N,故所求的高为 ； 42211 8NMA48+12 提示： ,81nT nnnS 102101022 三、解答题13 证明：由 可得bdacdbcadc
9、badcba 2)( 22当且仅当 a=b=c=d 时取等号 5 分,2c则 xxxx 31123151 15 分94因为 不能同时相等，所以xx,2,20 分1923512x14设 ,则代入并由复数相等可得Ryxiz,即 因为 1012sin22 xcbaytx axbxcay2http:/ 不共线 ，所以 ,可见所给曲线是抛物线段（图略）5 分02bcaAB,BC 的中点分别是 ,；所以 DE 的方程为 243,41cbED10 分cbaxcy23联立两式得 ,得 ,注意到 ,所以抛物线与012x21x4321中平行于 AC 的中位线 DE 有且只有一个公共点，此点的坐标为 ,相ABC ,
10、bca应的复数为 15 分ibcaz42115如图建立直角坐标系，设 ,MN 为 AA1 的中垂线，设 P（x,y）是sin,co1RAMN 上任一点，则|PA|=|PA1| 5 分代入推得 10 分axyxR2sinco22可得 其中 ,sin22ax 2siny. 所以 15 分2coyx12yxR平方后可化为 12222ayRa所求点的集合为椭圆 外（含边界）部分。20 分1222aRyxhttp:/ NO.1:大学期间获得多次一等奖学金，尤其擅长化学高考 141 分，能快速理清化学脉络，抓住核心难点进行讲解，单科优秀，物理高考 128 分，擅长高中家教，曾带过三名高中理科学生，成绩均有
11、显著提高，以优异成绩考入中科院研究生院化学学院，专业物理化学。 北京上门一对一物理家教辅导老师 NO.2:特别擅长辅导初高中化学家教，已经带过八名高中学生的物理化学，化学高考 146 分（江苏满分 150 分） ，能快速理清化学脉络，讲清楚高中化学所有重难点，特别是高考常考知识点，曾带过多名理科学生，成绩均有显著提高，正在带一名高一的数学物理化学和三名高三的化学学员。 北京上门一对一物理家教辅导老师 NO.3:理工科出身，数学家教、物理家教擅长，化学基本功扎实。善于举一反三，对比法总结归纳知识体系。英语综合能力强，能从语音、语法、词汇、阅读、会话等方面辅导，以近 600 分通过大学英语四、六级考试。文章来源：http:/
