1、阿波罗尼斯圆性质及其应用背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一（人教 A 版 124 页 B 组第 3 题）已知点 M 与两个定点 O(0,0),A(3,0)点距离的比为 ，求点 M 的轨迹方程。12（人教 A 版 144 页 B 组第 2 题）已知点 M 与两个定点 距离的比是一个1， 2正数 m,求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑 m=1 和 m）。1两种情形公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在
2、平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆（定值为 1 时是直线，定值不是 1 时为圆）定义：一般的平面内到两顶点 A，B 距离之比为常数 （ ）的点的轨迹为 1圆，此圆称为阿波罗尼斯圆类型一：求轨迹方程1.已知点 与两个定点 ， 的距离的比为 ，求点 的轨迹方程M0,O,3A21M2.已知 ， ，试分析 点的轨迹2aABB3.（2006 年高考四川卷第 6 题）已知两定点 A（-2，0），B（1，0），如果动点 P 满足条件 ，则点 P 的轨迹所包围的图形面积等于（）|=2|A B. C. D.9 48 类型二：求三角形面
3、积的最值4.（2008 江苏卷）满足条件 AB 2，AC BC 的 ABC 的面积的最大值是25.（2011 浙江温州高三模拟）在等腰 ABC 中，AB=AC，D 为 AC 的中点，BD=3，则 ABC 面积的最大值为6.在 ABC 中， AC=2，AB=mBC(m1),恰好当 B= 时 ABC 面积的最大，m=3 类型三：定点定值问题7.已知圆 O： ,点 B(-5,0),在直线 OB 上存在定点 A(不同于点 B)，满2+2=9足对于圆 O 上任意一点 P，都有 为一常数，试求所有满足条件的点 A 的坐标，并求8.（2014 湖北文科卷 17 题）已知圆 O： ,点 A(-2.0),若定点
4、 B(b,0)(b2+2=1)和常数 ：对圆 O 上任意一点 M，都有 = ,2 满 足 |=|， 则 =类型四：阿波罗尼斯圆的性质9.已知圆 C: 其中 P 为圆 C 上的动点，(1)2+(1)2=1,定点 (0,0),(2,0),则 PO+PB 的最小值为210.已知函数 =2 ,若集合() (+12)2+22+(12)2(),则实 数 的取 值 范 围为类型五：阿波罗尼斯圆的应用阿波罗尼斯圆与向量（阿氏圆+等和线）11.已知 + ,设 ,若=6， =2，点 满 足 =2+ 2(+)(,)=|恒成立，则 的最大值为(,)(0,0) (0,0)12.（2018.1 湖州、衢州、丽水三地市教学
5、质量检测试卷 17 题）设点 是P所在平面内动点，满足 , （ ），ABCCPAB3+42,R若 ，则 的面积最大值是=P3AB阿波罗尼斯圆与三角形13.（2018.5 月宁波模拟 16 题）已知向量 a,b满足 ，若|=3， |=2|恒成立，则实数 的取值范围为|+|3 14.（2018.4 月杭州市第二次高考科目教学质量检测 17 题）在 ABC 中，恒成立，求 的最大值， |+15.在 中， 、 分别为中线，若 ，则 的取值范围.ABCDEba35BEAD阿波罗尼斯圆与几何体16.（2014 二模（理）在等腰梯形 中， 、 分别为底边 的中ABCDEFCDAB,点，把四边形 沿直线 折起
6、后所在平面记为 ， ，设 与AEFDPP，所成的角分别为 ， （ ， 均不为 0）， ，则点 的轨迹为.121221A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线17.在四面体 中，已知 ， ， ，且 ，ABCDBCA6D2B2CDA则 的最大值为.V18.（2018.5 月浙江高三五校联考 17 题）棱长为 36 的正四面体 ABCD 的内切球上有一个动点 M，则 MB+ 的最小值13练习：1. 已知向量 ， ，若 恒成立，则实数 的取值范围为.3bab23b2. （2015 湖北理科卷 14 题）如图，圆 与 轴相切与点 ，与 轴正半Cx0,1Ty轴交于两点 （ 在 A 的上方），B, 2B（1）圆 C 的标准方程为.过点 任作一条直线与圆 相较于 两A1:2yxONM,点，下列三个结论：（2） ; ;MBAN22MBAN其中正确结论的序号是。（写出所有正确结论的序号）3. 为等腰直角三角形， ， ， 为 中点，将BCS90CBS26SASB沿 翻折到 位置，且 为直二面角， 为空间中一个动AAP点.（1）若 ，且 ，求 面积的最大值；SP面2P（2） 在三棱锥 表面上， 为 中点， 、 为线段 两个三等ABCEBCMNSE分点， 、 为空间中的两个动点， ，且 ，求HG2GHN34H的最小值。PBACNEABCS SM
