1、从复数相等到复数方程由复数相等的定义:a+bi=c+di(a,b,c,dR) a=c,且 b=d,可诱发简单的复数方程,尤其是关于复数 z 的一元一次方程和一元二次方程问题.母题结构:()解复数 z 的方程 f(z)=0,有两种方法:(分解法)设 z=a+bi,代入方程 f(z)=0,利用复数相等,列方程组,求实数 a,b;(整体法)把 z 整体视为未知数,解关于 z 的方程;()实系数一元二次方程的两根互为共轭复数.母题解析:()略;()设实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根分别为 z1,z2,则 z1+z2=- R,z 1z2= R z1,z2abac互为共轭复数.1.复数相等
2、子题类型:(2013 年安徽高考试题) 设 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若 z i+2=2z,则 z=( )iz(A)1+i (B)1-i (C)-1+i (D)-1-i解析:由 z R z i+2=2z 的实部为 2 z 的实部为 1,设 z=1+xi,则(1+x 2)i+2=2+2xi 1+x2=2x x=1 z=1+i.故选(A).点评:对于含有实数 a,b 和虚数单位 i 的方程,一般通过把方程等价转化为 f(a,b)+ig(a,b)=0,由此得 f(a,b)=0,且 g(a,b)=0,解方程组,求 a,b.同类试题:1.(2011 年湖南高考试题)若(x-i)i=y+2i,
3、x,yR,则复数 x+yi=( )(A)-2+i (B)2+i (C)1-2i (D)1+2i2.(2012 年湖北高考试题)若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位 ),则 a+b= .ib132.一元一次子题类型:(2014 年湖南高考试题 )满足 =i(i 为虚数单位)的复数 z=( )zi(A) + i (B) - i (C)- + i (D)- - i2121 21 21解析:由 =i z+i=zi (1-i)z=-i= (-2i)= (1-i)2 z= (1-i).故选(B).zi1点评:若复数 z 满足 z1z=0,则 z=0;若复数 z 满足 z1z=z2,则 z= ,这
4、是整体法求解复数方程的理论依据;关于复数 z 的1z一元一次方程,或可转化为复数 z 的一元一次方程,均可使用整体法求解.同类试题:3.(2012 年福建高考试题)若复数 z 满足 zi=1-i,则 z 等于( )(A)-1-i (B)1-i (C)-1+i (D)1+i4.(2012 年安徽高考试题)( 文)复数 z 满足(z-i)i=2+i,则 z=( )(A)-1-i (B)1-i (C)-1+3i (D)1-2i3.二次方程子题类型:(2007 年上海高考试题)(理)己知 a、bR,且 2+ai,b+i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程 x2+px036 备战高考数学的一条捷径.预
5、测高考试题的有效手段 2019 年课标高考母题 +q=0 的两个根,那么 p、q 的值分别是( )(A)p=-4,q=5 (B)p=-4,q=3 (C)p=4,q=5 (D)p=4,q=3解析:由实系数一元二次方程的两根互为共轭复数 2+ai,b+i 互为共轭复数 a=-1,b=2 两个根分别为 2-i、2+i;由韦达定理知:(2-i)+(2+i)=-p,(2-i)(2+i)=q p=-4,q=5.故选(A).点评:实系数一元二次方程的两根互为共轭复数是一元二次方程的优美结果,因此,也是高考的一个命题点,同时也是解决该类高考试题的基本工具.同类试题:5.(2007 年上海春招试题)若关于 x
6、的一元二次实系数方程 x2+px+q 有一个根为 1+i( 是虚数单位),则 q= .i6.(2008 年上海高考试题)若 z 是实系数方程 x2+2x+p=0 的一个虚根,且|z|=2,则 p= . 4.子题系列 :7.(2011 年湖南高考试题)若 a,bR,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( )(A)a=1,b=1 (B)a=-1,b=1 (C)a=-1,b=-1 (D)a=1,b=-18.(2005 年广东高考试题)若(a-2i)i=b-i,其中 a,bR,i 为虚数单位,则 a2+b2=( )(A)0 (B)2 (C) (D)559.(2008 年北京高考试题)己知(a-i
7、) 2=2i,其中 i 是虚数单位,那么实数 a= .10.(2013 年天津高考试题)(理)已知 a,bR,若(a+i)(1+i)=bi,则 a+bi= .11.(2010 年江西高考试题)已知(x+i)(1-i)=y, 则实数 x,y 分别为( )(A)x=-1,y=1 (B)x=-1,y=2 (C)x=1,y=1 (D)x=1,y=212.(2010 年山东高考试题)己知 =b+i(a,bR),其中 i 为虚数单位,则 a+b=( )ia2(A)-1 (B)1 (C)2 (D)313.(2012 年湖北高考试题)若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则 a+b= .ib131
8、4.(2006 年浙江高考试题)已知 =1-ni,其中 m,n 是实数,i 是虚数单位,则 m+ni=( )im(A)1+2i (B)1-2i (C)2+i (D)2-i15.(2017 年浙江高考试题)已知 a,bR,(a+bi) 2=3+4i(i 是虚数单位 ),则 a2+b2= ,ab= .16.(2013 年课标高考试题)设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( )(A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i17.(2009 年全国高考试题)己知 =2+i,则复数 z=( )iz1(A)-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i18.(2002 年上海高
9、考试题)若 zC, 且(3+z)i=1(i 为虚数单位),则 z= .19.(2012 年安徽高考试题)(理)复数 z 满足(z-i)(2-i)=5,则 z=( )(A)-2-2i (B)-2+2i (C)2-2i (D)2+2i20.(2007 年上海高考试题)(文)己知 a、bR,且 2+ai,b+3i(i 是虚数单位)是一个实系数一元二次方程的两个根,那么a、b 的值分别是( )(A)a=-3,b=2 (B)a=3,b=-2 (C)a=-3,b=-2 (D)a=3,b=221.(2012 年上海高考试题)若 1+ i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的一个复数根,则( )2
10、(A)b=2,c=3 (B)b=-2,c=3 (C)b=-2,c=-1 (D)b=2,c=-15.子题详解 :1.解:由(x-i)i=y+2i 1+xi=y+2i x=2,y=1 x+yi=2+i.故选(B)2019 年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 037 2.解:由 =a+bi 3+bi=(1-i)(a+bi)=(a+b)+(b-a)i a+b=3.ib133.解:由 zi=1-i z= -1=-1-i.故选(A).i14.解:由(z-i)i=2+i (z-i)i2=(2+i)i z-i=1-2i z=1-i.故选(B).5.解:由实系数一元二次方程的两根互为
11、共轭复数 另一根为 1-i;由韦达定理知:q=(1+i)(1-i)=2.6.解:由 z 是实系数方程 x2+2x+p=0 的一个虚根 也是实系数方程 x2+2x+p=0 的一个虚根 z =p p=z =|z|2=4.z 7.解:由(a+i)i=b+i -1+ai=b+i a=1,b=-1.故选(D).8.解:由(a-2i)i=b-i 2+ai=b-i a=-1,b=2 a2+b2=5.故选(D).9.解:由(a-i) 2=2i a2-1-2ai=2i a=-1.10.解:由(a+i)(1+i)=bi (a-1)+(a+1)i=bi a-1=0,a+1=b a=1,b=2 a+bi=1+2i.1
12、1.解:由(x+i)(1-i)=y (x+1)+(1-x)i=y x+1=y,1-x=0 x=1,y=2.故选(D).12.解:由 =b+i 2-ai=b+i a=-1,b=2 a+b=1.故选(B).ia213.解:由 =a+bi 3+bi=(1-i)(a+bi)=(a+b)+(b-a)i a+b=3.ib1314.解:由 =1-ni (1+i)(1-ni)=m (1+n)+(1-n)i=m 1+n=m,1-n=0 n=1,m=2 m+ni=2+i.故选(C).im15.解:由(a+bi) 2=3+4i a2-b2+2abi=3+4i a2-b2=3,ab=2 a2=4,b2=1 a2+b2
13、=5.16.解:由(1-i)z=2i=-(1-i) 2 z=-(1-i).故选(A).17.解:由 =2+i =(1+i)(2+i)=1+3i z=1-3i.故选(B).iz1z18.解:由(3+z)i=1 3+z=-i z=-3-i.19.解:由(z-i)(2-i)=5 5(z-i)=5(2+i) z-i=2+i z=2+2i.故选(D).20.解:因为 2+ai,b+3i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程的两个根,所以 2+ai 与 b+3i 互为共轭复数,则 a=-3,b=2.故选(A).21.解:由实系数一元二次方程的两根互为共轭复数 另一根为 1- i;由韦达定理知:b=-(1+ i)+(1- i)=-2,c=22(1+ i)(1- i)=3.故选(B)2
