1、1第 2 课时 绝对值不等式的解法学习目标 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax b| c，| ax b| c，| x a| x b| c，| x a| x b| c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解知识点一 | ax b| c 和| ax b| c 型不等式的解法思考 1 | x|2 说明实数 x 有什么特征？答案 x 在数轴上对应的点 x 到原点的距离大于等于 2. x2 或 x2.思考 2 若|2 x3|5，求 x 的取值范围答案 x|1 x4梳理 (1)含绝对值不等式| x| a 与| x| a 的解法| x| aErro
2、r!| x| aError!(2)|ax b| c(c0)和| ax b| c(c0)型不等式的解法| ax b| c c ax b c，| ax b| cax b c 或 ax b c.知识点二 | x a| x b| c 和| x a| x b| c 型不等式的解法思考 如何去掉| x a| x b|的绝对值符号？答案 采用零点分段法即令| x a| x b|0，得x1 a， x2 b，(不妨设 a b)|x a| x b|Error!梳理 | x a| x b| c 和| x a| x b| c 型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，
3、给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键(2)以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并2画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法类型一 | ax b| c 与| ax b| c(c0)型的不等式的解法例 1 解下列不等式：(1)|5x2|8；(2)2| x2|4.解 (1)由|5 x2|8，得 5x28 或
4、 5x28，解得 x2 或 x ，原不等式的65解集为Error!.(2)原不等式等价于Error!由得 x22 或 x22， x0 或 x4，由得4 x24，2 x6.原不等式的解集为 x|2 x0 或 4 x6反思与感悟 | ax b| c 和| ax b| c 型不等式的解法(1)当 c0 时，| ax b| cax b c 或 ax b c，|ax b| c c ax b c.(2)当 c0 时，| ax b| c 的解集为 R，| ax b| c 的解集为.(3)当 c0 时，| ax b| c 的解集为 R，| ax b| c 的解集为.跟踪训练 1 解关于 x 的不等式：|x1|
5、4|2.解 | x1|4|22| x1|422| x1|6Error!Error!Error!5 x1 或 3 x7.不等式| x1|4|2 的解集为 x|5 x1 或 3 x7类型二 | x a| x b| c 和| x a| x b| c(c0)型不等式的解法例 2 解关于 x 的不等式：|3 x2| x1|3.解 方法一 分类(零点分段)讨论法|3x2|0，| x1|0 的根 ，1 把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的23定义，代数式|3 x2| x1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解3集的并集因为当 x 时，23|3x2| x1|23 x1 x34
6、 x，所以当 x 时，|3 x2| x1|334 x3 x0.23因此，不等式组Error!的解集为 x|x0因为当 x1 时，23|3x2| x1|3 x21 x2 x1，所以当 x1 时，23|3x2| x1|32 x13 x2.因此，不等式组Error!的解集为.因为当 x1 时，|3 x2| x1|3 x2 x14 x3，所以当 x1 时，|3 x2| x1|34 x33 x .32因此，不等式组Error!的解集为Error!.于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即 x|x0Error! Error!.方法二 构造函数 f(x)|3 x2| x1|3，则原不等式的解集为
7、x|f(x)0f(x)Error!作出函数 f(x)的图象，如图它是分段线性函数，函数的零点是 0 和 .从图象可知，32当 x(，0) 时，有 f(x)0.(32， )所以原不等式的解集是(，0) .(32， )反思与感悟 | x a| x b| c，| x a| x b| c(c0)型不等式的三种解法：分区4间(零点分段)讨论法、图象法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况跟踪训练 2 解不等式| x7| x2|3.解 方法一 | x7| x2|可以看成数轴上的动点(坐标为 x)到对应点7 的距离与到对应点 2 的距离的差，先找到这个差
8、等于 3 的点，即 x1.由图易知不等式|x7| x2|3 的解为 x1，即 x(，1方法二 令 x70，得 x7，令 x20，得 x2.当 x7 时，不等式变为 x7 x23，93 成立， x7.当7 x2 时，不等式变为 x7 x23，即 2x2， x1，7 x1.当 x2 时，不等式变为 x7 x23，即 93 不成立， x.原不等式的解集为(，15方法三 将原不等式转化为| x7| x2|30，构造函数 y| x7| x2|3，即 yError!作出函数的图象，由图象可知，当 x1 时， y0，即| x7| x2|30，原不等式的解集为(，1类型三 含绝对值不等式的恒成立问题例 3 已
9、知函数 f(x)|2 x1|2 x a|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x) a 恒成立，求实数 a 的取值范围解 (1)当 a3 时， f(x)|2 x1|2 x3|， f(x)6，等价于|2 x1|2 x3|60，令 g(x)|2 x1|2 x3|6，令|2 x1|0，得 x ，令|2 x3|0，得 x .12 32 g(x)Error!作 y g(x)的图象，如图， f(x)6 的解集为1,2(2) f(x)|2 x1|2 x a|(2 x1)(2 x a)| a1|， f(x)min| a1|.要使 f(x) a 恒成立，只需| a1
10、| a 成立即可由| a1| a，得 a1 a 或 a1 a，6 a ，12 a 的取值范围是 .( ，12)引申探究若 f(x)|2 x1|2 x a|且 f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围解 f(x)|2 x1|2 x a|(2 x1)(2 x a)| a1|， f(x)max| a1|. f(x) a 恒成立，| a1| a， a a1 a， a ， a 的取值范围是 .12 (12， )反思与感悟 不等式解集为 R 或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题 f(x) a 恒成立 f(x)max a， f(x) a 恒成立 f(x)min a.跟踪训练 3 已知不等式| x2| x
11、3| m.根据以下情形分别求出 m 的取值范围(1)若不等式有解；(2)若不等式的解集为 R；(3)若不等式的解集为.解 方法一 因为| x2| x3|的几何意义为数轴上任意一点 P(x)与两定点 A(2)，B(3)距离的差，即| x2| x3| PA| PB|.则(| PA| PB|)max1，(| PA| PB|)min1.即1| x2| x3|1.(1)若不等式有解， m 只要比| x2| x3|的最大值小即可，即 m1， m 的取值范围为(，1)(2)若不等式的解集为 R，即不等式恒成立， m 只要比| x2| x3|的最小值还小，即m1， m 的取值范围为(，1)(3)若不等式的解集
12、为， m 只要不小于| x2| x3|的最大值即可，即 m1， m 的取值范围为1，)方法二 由| x2| x3|( x2)( x3)|1，|x3| x2|( x3)( x2)|1，可得1| x2| x3|1.(1)若不等式有解，则 m(，1)(2)若不等式的解集为 R，则 m(，1)(3)若不等式的解集为，则 m1，).71不等式| x1|3 的解集是( )A x|x4 或 x2 B x|4 x2C x|x4 或 x2 D x|4 x2答案 A解析 | x1|3，则 x13 或 x13，因此 x4 或 x2.2不等式 0 的解集为( )|2x 1| 2|x 3|A.Error!B.Error
13、!C.Error!D.Error!答案 C解析 原不等式Error! Error!Error!3不等式| x1| x2|5 的所有实数解的集合是( )A(3,2) B(1,3)C(4,1) D.(32， 72)答案 C解析 | x1| x2|表示数轴上一点到2，1 两点的距离之和，根据2，1 之间的距离为 1，可得到与2，1 距离和为 5 的点是4,1.因此| x1| x2|5 解集是(4,1)4已知 x 为实数，且| x5| x3| m 有解，则 m 的取值范围是( )A m1B m1C m2D m2答案 C解析 | x5| x3|( x5)( x3)|2， m2.5解不等式|2 x1|3
14、x2|8.解 (1)当 x 时，23|2x1|3 x2|812 x(3 x2)85 x9 x ， x .95 958(2)当 x 时，23 12|2x1|3 x2|812 x3 x28 x5， x.(3)当 x 时，12|2x1|3 x2|85 x185 x7 x ，75 x .75原不等式的解集为 .( ， 95 75， )1解不等式| ax b| c，| ax b| c(1)当 c0 时，| ax b| c c ax b c，解之即可； |ax b| cax b c 或ax b c，解之即可(2)当 c0 时，由绝对值的定义知| ax b| c 的解集为，| ax b| c 的解集为 R.
15、2解| x a| x b| c，| x a| x b| c 型的不等式的核心步骤是“零点分段” ，即(1)令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集一、选择题1不等式 x2| x|20( xR)的解集是( )A x|2 x2B x|x2 或 x2C x|1 x1D x|x1 或 x1答案 A解析 当 x0 时，不等式化为 x2 x20，解得1 x2，所以 0 x2；当 x0 时，不等式化为 x2 x20，解得2 x1
16、，所以2 x0.9故原不等式的解集为 x|2 x22若关于 x 的不等式| x2| x a| a 在 R 上恒成立，则 a 的最大值是( )A0 B1C1 D2答案 B解析 | x2| x a| a2|，| a2| a，即 a2 a 或 a2 a， a1.3设函数 f(x)Error!则使 f(x)1 的自变量 x 的取值范围是( )A(，20,4B(，20,1C(，21,4D2,01,4答案 A4关于 x 的不等式| x3| x1| a23 a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A(，14，)B(，25，)C1,2D(，12，)答案 A解析 | x3| x1|4|4， a
17、23 a4，即 a23 a40，解得 a1 或 a4.5当| x2| a 时，不等式| x24|1 成立，则正数 a 的取值范围是( )A a 2 B0 a 25 5C a 2 D以上都不正确5答案 B解析 由| x2| a，得 a0，且 a2 x a2，由| x24|1，得 x 或 x .3 5 5 3Error!即 0 a 2，5或Error!无解0 a 2.5二、填空题106不等式 1 成立的充要条件是_|a b|a| |b|答案 | a| b|解析 1 0|a b|a| |b| |a b| |a| |b|a| |b|(|a| b|)|a b|(| a| b|)0.而| a b| a|
18、b|，| a b|(| a| b|)0.| a| b|0，即| a| b|.7若关于 x 的不等式| ax2|3 的解集为Error!，则 a_.答案 3解析 | ax2|3，1 ax5.当 a0 时， x ，与已知条件不符；1a 5a当 a0 时， xR，与已知条件不符；当 a0 时， x ，又不等式的解集为5a 1aError!，故 a3.8已知函数 f(x)| x a| a， g(x)4 x2，若存在 x0R 使 g(x0) f(x0)，则 a 的取值范围是_答案 ( ，178解析 若存在 x0R 使 g(x0) f(x0)，则 x2| x a| a40 有解当 x a 时， x2 x4
19、0，显然有解；当 x a 时， x2 x2 a40，由 14(2 a4)0，解得 a .故答案为 .178 ( ， 1789已知函数 f(x)|2 x1| x3，若 f(x)5，则 x 的取值范围是_答案 1,1解析 由题意可知，|2 x1| x35，即|2 x1|2 x，所以Error!或Error!解得 x1 或1 x ，12 12故 x 的取值范围是 xError!10已知集合 A x|x4| x1|5， B x|a x6且 A B(2， b)，则a b_.11答案 711已知函数 f(x)| x1|2 x a|的最小值为 3，则实数 a_.答案 4 或 8解析 当 a2 时，f(x)E
20、rror!当 a2 时，f(x)Error!由可得 f(x)min f 3，解得 a4 或 8.(a2) | a2 1|三、解答题12已知函数 f(x)|2 x a|2 x3|， g(x)| x1|2.(1)解不等式| g(x)|5；(2)若对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f(x1) g(x2)成立，求实数 a 的取值范围解 (1)由| x1|2|5，得5| x1|25，即7| x1|3，得不等式的解集为 x|2 x4(2)因为对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f(x1) g(x2)成立，所以 y|y f(x)y|y g(x)又 f(x)|2 x a|2 x3|(2 x a)(2 x
21、3)| a3|， g(x)| x1|22，所以| a3|2，解得 a1 或 a5.故实数 a 的取值范围为1，)(，513已知 a b1，对任意的 a， b(0，)， |2 x1| x1|恒成立，求 x 的1a 4b取值范围解 因为 a0， b0 且 a b1，所以 ( a b) 5 9，1a 4b (1a 4b) ba 4ab故 的最小值为 9，1a 4b因为对任意的 a， b(0，)，使 |2 x1| x1|恒成立，1a 4b所以|2 x1| x1|9，当 x1 时，2 x9，所以7 x1；当1 x 时，3 x9，所以1 x ；12 1212当 x 时， x29，所以 x11.12 12综
22、上所述， x 的取值范围是7,11四、探究与拓展14(2018全国)设函数 f(x)5| x a| x2|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 f(x)1，求 a 的取值范围解 (1)当 a1 时， f(x)5| x1| x2|Error!可得 f(x)0 的解集为 x|2 x3(2)f(x)1 等价于| x a| x2|4.而| x a| x2| a2|，且当( x a)(x2)0 时等号成立故 f(x)1 等价于| a2|4.由| a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是(，62，)15设函数 f(x)| x1| x2|.(1)画出函数 y f(x)的图象；(2)若不等式| a b| a b| a|f(x)(a0， a， bR)恒成立，求实数 x 的取值范围解 (1)当 x1 时，f(x)( x1)( x2)2 x3；当 1 x2 时，f(x)( x1)( x2)1；当 x2 时，f(x)( x1)( x2)2 x3.所以 f(x)Error!图象如图所示(2)由| a b| a b| a|f(x)，得 f(x)|a b| |a b|a|13又因为 2，|a b| |a b|a| |a b a b|a|所以 2 f(x)，解不等式 2| x1| x2|，得 x .12 52
