1、1第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式滚动训练(三)(第三讲第四讲)一、选择题1设 a， bR 且 a b16，则 的最小值是( )1a 1bA. B. C. D.14 18 116 12答案 A解析 ( a b) 24，(1a 1b) (a1a b1b) .1a 1b 14当且仅当 ，a1b b 1a即 a b8 时取等号2若 A x x x ， B x1x2 x2x3 xn1 xn xnx1，其中 x1， x2， xn都是正21 2 2n数，则 A 与 B 的大小关系为( )A A BB A BC A BD A B答案 C解析 依数列 xn的各项都是正数，不妨设 0
2、 x1 x2 xn，则 x2， x3， xn， x1为数列 xn的一个排列依排序原理，得 x1x1 x2x2 xnxn x1x2 x2x3 xnx1，即x x x x1x2 x2x3 xnx1.21 2 2n3用数学归纳法证明 122 22 n1 2 n2 1( nN )的过程中，在验证 n1 时，左端计算所得的项为( )A1 B12C122 2 D122 22 3答案 C解析 当 n1 时，左端122 2，故选 C.4已知 x， y， z， a， b， c， k 均为正数，且x2 y2 z210， a2 b2 c290， ax by cz30， a b c k(x y z)，则 k 等于(
3、)A. B. C9D319 13答案 D2解析 因为 x2 y2 z210， a2 b2 c290， ax by cz30，所以( a2 b2 c2)(x2 y2 z2)( ax by cz)2，又( a2 b2 c2)(x2 y2 z2)( ax by cz)2，当且仅当 k 时，等号成立，ax by cz则 a kx， b ky， c kz，代入 a2 b2 c290，得 k2(x2 y2 z2)90，于是 k3，故选 D.5用数学归纳法证明不等式 (n2， nN )的过程中，由 n k1n 1 1n 2 12n 1314递推到 n k1 不等式左边( )A增加了一项12k 1B增加了两项
4、 ，12k 1 12k 2C增加了 B 中两项但减少了一项1k 1D以上各种情况均不对答案 C解析 n k(k2， kN )时，左边 ，1k 1 1k 2 12kn k1 时，左边 ，1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 2增加了两项 ， ，少了一项 .12k 1 12k 2 1k 16函数 y5 的最大值是( )x 1 9 3xA6 B2 C5 D23 3 2 14答案 D解析 函数的定义域为1,3，且 y0.由柯西不等式可得 y5 5 x 1 9 3x x 1 2 ，当且仅当 ，即 x 时，函数取得最3 3 x 25 3x 1 3 x 1453 x 13 x 3914大值 2 ，
5、故选 D.147若 2x3 y5 z29，则函数 的最大值为( )2x 1 3y 4 5z 6A. B25 15C2 D.30 30答案 C解析 由柯西不等式可得( 1 1 1)2(2 x13 y45 z6)2x 1 3y 4 5z 63(121 21 2)，2 x3 y5 z29，( 1 1 1)2120，2x 1 3y 4 5z 6 2 ，2x 1 3y 4 5z 6 30 的最大值为 2 .故选 C.2x 1 3y 4 5z 6 30二、填空题8已知 a， b， c 都是正数，且 2a b c6，则 a2 ab ac bc 的最大值为_答案 9解析 a， b， c 都是正数， a2 ab
6、 ac bc( a b)(a c) 2.(a b a c2 )2 a b c6， a2 ab ac bc9， a2 ab ac bc 的最大值为 9.9已知两组数 1,2,3 和 45,25,30，若 c1， c2， c3是 45,25,30 的一个排列，则c12 c23 c3的最大值是_，最小值是_答案 220 180解析 由排序不等式知顺序和最大，反序和最小，故所求最大值为125230345220，最小值为 145230325180.10已知实数 x， y， z 满足 2x y3 z32，则 的最小值为x 12 y 22 z2_答案 16147解析 1 22 23 214，由柯西不等式可得
7、(2 21 23 2)(x1) 2( y2) 2 z2(2 x2 y23 z)232 2， ，当且仅当 时，等号成立，x 12 y 22 z216147 2x 1 1y 2 3z即 的最小值是 .x 12 y 22 z21614711已知 a， b， c 都是正数， a2 b3 c9，则 的最小值为_14a 118b 1108c答案 19解析 ( a2 b3 c)(14a 118b 1108c)( )2( )2( )2 21，当且仅当a 2b 3c (12a)2 ( 132b)2 ( 163c)2 (12 13 16)a3 b9 c 时取等号，又 a2 b3 c9， ，即最小值为 .14a 1
8、18b 1108c 19 194三、解答题12设函数 y| x1| x2|的最小值为 M.(1)求实数 M 的值；(2)若不等式 M(其中 a0)恒成立，求实数 a 的取值范围a x 4 2x解 (1)因为| x1| x2|( x1)( x2)|3，所以 M3.(2)因为( )21 2( )2(a x2 x)3( a2)，当且仅当a x 2 2 x 2 时，等号成立，即当 x 2， a时， 取得最大2 x 2 a x2a 23 a x 22 x值 ，所以 3.3a 2 3a 2又 a0，所以 0 a1.13已知函数 f(x)| x1|2 x2|.(1)求不等式 f(x) x1 的解集；(2)若
9、 f(x)的最大值是 m，且 a， b， c 均为正数， a b c m，求 的最小值b2a c2b a2c解 (1)由已知可得Error!或Error!或Error! 解得 0 x2.故不等式的解集为0,2(2)f(x)Error!得最大值， m f(1)2， a b c2.又( a b c) ( )2( )2( )2 ( a b c)2，(b2a c2b a2c) a b c (ba)2 (cb)2 (ac)2 a b c2，当且仅当 a b c 时取等号，故 的最小值是 2.b2a c2b a2c b2a c2b a2c14已知数列 an和 bn，其中 an135(2 n1)， bn12
10、2 n1 ，当nN 时，试比较 an与 bn的大小，并证明你的结论解 由已知得 an (n1)( n1) 2，1 2n 12bn 2 n1.2n 12 1当 n1 时， a14， b11，则 a1 b1，当 n2 时， a29， b23，则 a2 b2，当 n3 时， a316， b37，则 a3 b3，当 n4 时， a425， b415，则 a4 b4，当 n5 时， a536， b531，则 a5 b5当 n6 时， a649， b663，则 a6 b6，当 n7 时， a764， b7127，则 a7 b7，5，由此得到，当 nN ， n5 时， an bn.猜想：当 nN ， n6 时， an bn.前一结论上面已用穷举法证明，后一猜想用数学归纳法证明如下：当 n6 时，上面已证 a6 b6.假设当 n k(kN ， k6)时，上述结论成立，即当 k6 时，( k1) 22 k1.当 n k1 时，要证 ak1 bk1 ，即证( k2) 22 k1 1，只需证( k2) 222 k1，根据归纳假设，22 k12( k1) 211，所以只需证( k2) 22( k1) 21，即证 k24 k42 k24 k3，即证 k21.因为 k6，所以此式显然成立故当 n k1 时结论成立由可知，对任何 nN ， n6 结论都成立
