1、1第 3 课时 三个正数的算术几何平均不等式学习目标 1.理解定理 3.2.能用定理 3 及其推广证明一些不等式.3.会用定理解决函数的最值或值域问题.4.能运用三个正数的算术几何平均不等式解决简单的实际问题知识点 三项均值不等式思考 类比基本不等式： (a0， b0)，请写出 a， b， cR 时，三项的均值不a b2 ab等式答案 .a b c3 3abc梳理 (1)三个正数的算术几何平均不等式(定理 3)如果 a， b， cR ，那么 ，当且仅当 a b c 时，等号成立a b c3 3abc(2)基本不等式的推广对于 n 个正数 a1， a2， an，它们的算术平均不小于它们的几何平均
2、，即 ，当且仅当 a1 a2 an 时，等号成立a1 a2 ann na1a2an(3)重要变形及结论 abc 3； a3 b3 c33 abc；(a b c3 ) .31a 1b 1c 3abc a b c3 a2 b2 c23上式中 a， b， c 均为正数，等号成立的条件均为 a b c.类型一 用平均不等式求最值例 1 (1)求函数 y( x1) 2(32 x) 的最大值；(1 x32)(2)求函数 y x (x1)的最小值4x 12解 (1)1 x ，32 x0， x10.322又 y( x1) 2(32 x)( x1)( x1)(32 x) 3(x 1 x 1 3 2x3 ) 3
3、，当且仅当 x1 x132 x，(13) 127即 x 时， ymax .43 (1， 32) 127(2) x1， x10， y x4x 12 (x1) (x1) 112 12 4x 123 14，312x 112x 1 4x 12当且仅当 (x1) (x1) ，12 12 4x 12即 x3 时等号成立即 ymin4.反思与感悟 (1)利用三个正数的算术几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大” (2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常
4、数、平方变形等跟踪训练 1 求函数 y(13 x)2x 的最大值(0 x13)解 y(13 x)2x (13 x)(13 x)6x 3 ，16 161 3x 1 3x 6x3 481当且仅当 13 x13 x6 x，即 x 时， ymax .19 481类型二 用平均不等式证明不等式例 2 已知 a， b， cR .求证： a3 b3 c3 2 .1abc 3证明 a3 b3 c3 3 abc 2 ，1abc 1abc 3当且仅当 a b c，且 abc 时等号成立33 a3 b3 c3 2 .1abc 3引申探究3若本例条件不变，求证： 3.b c aa c a bb a b cc证明 b
5、c aa c a bb a b cc 3(ba cb ac) (ca ab bc)3 3 3633，3bacbac 3caabbc当且仅当 a b c 时取等号反思与感悟 证明不等式的方法(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、二定、三相等”的条件若满足即可利用平均不等式证明(2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子跟踪训练 2 已知 x， y， z 都是正数，且 xyz1，求证：(1 x y)(1 x z)(1 y z)27.证明 1 x y3 0,1 x z3 0，3xy 3xz1 y z3 0，3yz(1 x y)(1
6、 x z)(1 y z)27 .3xyz2又 xyz1，(1 x y)(1 x z)(1 y z)27，当且仅当 x y z1 时，等号成立类型三 用平均不等式解决实际应用问题例 3 如图，将边长为 1 的正六边形铁皮(图)的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图)当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积解 设正六棱柱的底面 B1B2B3B4B5B6的边长为 x(0 x1)，则 OB1 B1B2 x.由正六边形 A1A2A3A4A5A6的边长为 1，4得 OA1 A1A21， A1B1 OA1 OB11 x.作 B1C1 A1A2于点
7、C1，在 Rt A1C1B1中， B1A1C160，则容器的高 B1C1 A1B1sin 60 (1 x)32于是容器的容积为V f(x) Sh (1 x)(634x2) 32 x2(1 x)(0 x1)94则 f(x) x2(1 x) xx(22 x) 3 ，94 98 98 x x 2 2x3 13当且仅当 x x22 x，即 x 时， Vmax .23 13故当正六棱柱容器的底面边长为 时，最大容积为 .23 13反思与感悟 利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤(1)理解题意，设变量设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函
8、数的最大值或最小值问题(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值(4)验证相等条件，得出结论跟踪训练 3 已知球的半径为 R，球内接圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 r 和 h 为何值时，内接圆柱的体积最大？解 设内接圆柱的体积为 V，又 R2 r2 ，h24 r2 R2 ，h24 V r2h h.(R2h24)5又 V (4R2 h2)h 4 4 4R2 h22h2 4 124R2 h222h2 4 12(8R23)3 R3，439当且仅当 4R2 h22 h2，即 h R，此时 r R 时，等号成立233 63当 h R， r R 时，233 63内接圆柱的体积最大为 R3.4391函数
9、 f(x) 2 x(x0)的最小值为( )1x2A3B4C5D6答案 A解析 x0， f(x) x x3 3，当且仅当 x ，即 x1 时等号成1x2 31x2xx 1x2立2设 x0，则 f(x)4 x 的最大值为( )12x2A4 B4 C不存在 D.22 2 52答案 D解析 x0， f(x)4 x 412x2 (x2 x2 12x2)43 4 ，3x2x212x2 32 52当且仅当 ，即 x1 时，等号成立x2 x2 12x23已知 x 为正数，下列各选项求得的最值正确的是( )A y x22 x 3 6，故 ymin6.4x3 3x22x4x36B y2 x 3 3 ，故 ymin
10、3 .1x 32x1x 32 32C y2 x 4，故 ymin4.1xD y x(1 x)(12 x) 3 ，故 ymax .133x 1 x 1 2x3 881 881答案 C解析 A，B，D 在使用不等式 a b c3 (a， b， cR )和3abcabc 3(a， b， cR )时都不能保证等号成立，最值取不到(a b c3 )C 中， x0， y2 x 2 224，当且仅当 x ，即 x1 时取等号1x (x 1x) 1x4设 a， bR ，且 a b3，则 ab2的最大值为( )A2B3C4D6答案 C解析 ab24 a 4 34 3b2 b2 a b2 b23 (a b3 )4
11、1 34，当且仅当 a 1 时，等号成立即 ab2的最大值为 4.b25已知 a， b 为实数，且 a0， b0，则 (a b1a)(a2 1b 1a2)的最小值为_答案 9解析 因为 a0， b0，所以 a b 3 3 0， 1a 3ab1a 3b同理可得 a2 3 0， 1b 1a2 31b由及不等式的性质，得 3 3 9，(a b1a)(a2 1b 1a2) 3b 31b当且仅当 a b1 时，等号成立1求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立72求形如 y ax2 (x0， a0， b0)的函数的最小值，
12、关键是拆 为 ，则bx bx bx b2x b2xy ax2 ax2 3 .求形如bx b2x b2x 3ax2b2xb2x 3232ab2y ax (x0， a0， bc0)的函数的最小值，关键是拆 ax 为 ，则cbx2 ax2 ax2y ax 3 .cbx2 ax2 ax2 cbx2 3ax2ax2cbx2 3232a2cb一、选择题1函数 y x2(15 x) 的最大值为( )(0 x15)A. B.4675 2657C. D.4645 2675答案 A解析 y x2(15 x) (15 x) 3 ，(52x)(52x) 425 425 (13) 4675当且仅当 x15 x，即 x
13、时等号成立52 2152若 a b0，则 a 的最小值为( )1ba bA0B1C2D3答案 D解析 a b0， a ( a b) b 3 3，当且仅1ba b 1ba b 3a bb 1ba b当 a2， b1 时取等号， a 的最小值为 3.故选 D.1ba b3设 x， y， z0 且 x y z6，则 lgxlg ylg z 的取值范围是( )A(，lg6 B(，3lg2Clg6，) D3lg2，)答案 B解析 6 x y z3 ， xyz8，3xyzlg xlg ylg zlg( xyz)lg 83lg 2 .84若实数 x， y 满足 xy0，且 x2y2，则 xy x2的最小值是
14、( )A1B2C3D4答案 C解析 xy x2 xy xy x23 3，12 12 314x4y2当且仅当 xy x2，即 y2 x 时取等号125已知 a， b， cR ， x ， y ， z ，则( )a b c3 3abc a2 b2 c23A x y z B y x zC y z x D z y x答案 B解析 由 a， b， cR ，易知 ，即 x y.a b c3 3abc又 z2 ， x2 ，a2 b2 c23 a b c29且 x2 ， x2 z2，则 x z，a2 b2 c2 2ab bc ca9 3a2 b2 c29 a2 b2 c23因此 z x y.6已知圆柱的轴截面周
15、长为 6，体积为 V，则下列总成立的是( )A V B VC V D V 18 18答案 B解析 设圆柱半径为 r，则圆柱的高 h ，所以圆柱的体积为 V r2h r26 4r2 r2(32 r) 3，6 4r2 (r r 3 2r3 )当且仅当 r32 r，即 r1 时取等号二、填空题7若 a， b， c(0，)，且 a b c1，则 的最小值为_1a b 1b c 1c a答案 92解析 a， b， c(0，)，( a b)( b c)( c a) 3 3(1a b 1b c 1c a) 3a bb cc a99，3 1a b1b c1c a当且仅当 a b c 时等号成立，故 2(a b
16、 c) 9.(1a b 1b c 1c a)又 a b c1， .1a b 1b c 1c a 928已知 x， y， zR ，且 x3 y4 z6，则 x2y3z 的最大值为_答案 1解析 因为 x， y， zR ，且 x3 y4 z6，所以 6 x3 y4 z y y y4 z6 6 ，x2 x2 6x2x2yyy4z 6x2y3z所以 x2y3z1，当且仅当 y4 z 时取等号x29若 a2， b3，则 a b 的最小值为_1a 2b 3答案 8解析 a2， b3， a20， b30，则 a b1a 2b 3( a2)( b3) 51a 2b 33 58，3a 2b 3 1a 2b 3当
17、且仅当 a2 b3 ，1a 2b 3即 a3， b4 时等号成立10已知关于 x 的不等式 2x 7 在 x( a，) 上恒成立，则实数 a 的最小值为1x a2_答案 2解析 2 x ( x a)( x a) 2 a，1x a2 1x a2 x a0，2 x 3 2 a1x a2 3x ax a 1x a232 a，10当且仅当 x a ，即 x a1 时取等号1x a22 x 的最小值为 32 a.1x a2由题意可得 32 a7，得 a2.11已知 a， b， cR ，且满足 a2 b3 c1，则 的最小值为_1a 12b 13c答案 9解析 因为 a， b， cR ，且满足 a2 b3
18、 c1，所以 ( a2 b3 c)1a 12b 13c (1a 12b 13c)3 3 9，3a2b3c31a12b13c当且仅当 a2 b3 c 时取等号13因此 的最小值为 9.1a 12b 13c三、解答题12已知 a， b， c 均为正数，证明： a2 b2 c2 26 ，并确定 a， b， c 为何值(1a 1b 1c) 3时，等号成立解 因为 a， b， c 均为正数，由算术几何平均不等式，得 a2 b2 c23( abc)23， 3( abc)13，1a 1b 1c所以 29( abc)2. (1a 1b 1c)故 a2 b2 c2 23( abc)239( abc)23，(1a
19、 1b 1c)又 3(abc) 39( abc) 32 6 ， 27 3当且仅当 a b c 时，式和式等号成立当且仅当 3(abc)239( abc)23时，式等号成立，即当且仅当 a b c14时，原式等号成立，所以原不等式成立13已知 x， y， zR ， x y z3.(1)求 的最小值；1x 1y 1z11(2)证明：3 x2 y2 z29.(1)解 因为 x y z3 0，3xyz 0，1x 1y 1z 33xyz所以( x y z) 9，(1x 1y 1z)则 3，1x 1y 1z当且仅当 x y z1 时，等号成立，故 的最小值为 3.1x 1y 1z(2)证明 x2 y2 z
20、2 x2 y2 z2 x2 y2 y2 z2 z2 x23 3.x2 y2 z2 2xy yz zx3 x y z23当且仅当 x y z1 时，等号成立，又 x2 y2 z29 x2 y2 z2( x y z)22( xy yz zx)0，所以 3 x2 y2 z29.四、探究与拓展14制造一个容积为 立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米 30 2元，做侧面的金属板的价格为每平方米 20 元，当圆柱形桶的底面半径为_米，高为_米时，所使用的材料成本最低答案 393392解析 设此圆柱形桶的底面半径为 r 米，高为 h 米，则底面面积为 r2，侧面积为 2 rh，设原料成本
21、为 y 元，则 y30 r240 rh.桶的容积为 ， r2h ， 2 2 rh ， y30 r2 1012r 20r (3r2 1r 1r)103 ，33当且仅当 3r2 ，即 r 时等号成立，此时 h .1r 393 39215设 0 ，求函数 ysin (1cos )的最大值 2解 ysin (1cos )2sin cos2 0(0 )， 2 2 2y 取最大值当且仅当 y2取最大值12y24sin 2 cos4 2 24sin 2 cos2 cos2 2 2 222sin 2 cos2 cos2 2 2 22 3(2sin2 2 cos2 2 cos2 23 )2 3 ，(23) 1627当 2sin2 cos 2 时取等号， 2 2此时 tan2 ，tan ， 2 12 2 22而 tan 在 (0，)上有解 ， 2 22 (可 取 2arctan22)则 y ，故 ymax .2max1627 439
