1、13.3 复数的几何意义学习目标 1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一 复平面思考 实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案 任何一个复数 z a bi，都和一个有序实数对( a， b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二 复数的几
2、何意义1复数与点、向量间的对应关系2复数的模复数 z a bi(a， bR)，对应的向量为 ，则向量 的模叫做复数 z a bi 的模(或绝对OZ OZ 值)，记作| z|或| a bi|.由模的定义可知：| z| a bi| .a2 b2知识点三 复数加、减法的几何意义思考 1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案 如图，设 ， 分别与复数 a bi， c di 对应，且 ， 不共线，OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 2则 ( a， b)， ( c， d)，OZ1 OZ2 由平面向量的坐标运算，得 ( a c， b d)，OZ1 OZ2 所以
3、 与复数( a c)( b d)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行OZ1 OZ2 思考 2 怎样作出与复数 z1 z2对应的向量？答案 z1 z2可以看作 z1( z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z1 z2对应的向量(如图)图中 对应复数 z1， 对应复数 z2，则 对应复数 z1 z2.OZ1 OZ2 Z2Z1 梳理 (1)复数加减法的几何意义复数加法的几何意义 复数 z1 z2是以 ， 为邻边的平行四边形的OZ1 OZ2 对角线 所对应的复数OZ 复数减法的几何意义 复数 z1 z2是从向量 的终点指向向量 的终OZ2 O
4、Z1 点的向量 所对应的复数Z2Z1 (2)设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则| z1 z2| ，即两个复a c2 b d2数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点( )2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上( )3在复平面内，虚轴上的点构对应的复数都是纯虚数( )4复数的模一定是正实数( )3类型一 复数的几何意义例 1 实数 x 分别取什么值时，复数 z( x2 x6)( x22 x15)i 对应的点 Z 在：(1)第三象限；(2)直线 x y30 上解 因为 x 是实数，所以 x2 x6， x22 x15 也是实数(1)
5、当实数 x 满足Error!即当3| x yi|y2i|解析 34i x yi， x3， y4.则|15i| ，| x yi|34i|5，26|y2i|42i|2 ，5|15i| x yi|y2i|.4设 z134i， z223i，则 z1 z2在复平面内对应的点位于第_象限答案 四解析 z1 z257i， z1 z2在复平面内对应的点为(5，7)，其位于第四象限5设平行四边形 ABCD 在复平面内， A 为原点， B， D 两点对应的复数分别是 32i 和24i，则点 C 对应的复数是_答案 52i解析 设 AC 与 BD 的交点为 E，则 E 点坐标为 ，设点 C 坐标为( x， y)，则
6、(52， 1)x5， y2，故点 C 对应的复数为 52i.781复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径(1)复数 z a bi(a， bR)的对应点的坐标为( a， b)，而不是( a， bi)(2)复数 z a bi(a， bR)的对应向量 是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，OZ 因为复平面上与 相等的向量有无数个OZ 2复数的模(1)复数 z a bi(a， bR)的模| z| .a2 b2(2)从几何意义上理解，表示点 Z 和原点间的距离，类比向
7、量的模可进一步引申：| z1 z2|表示点 Z1和点 Z2之间的距离一、填空题1复数 z34i 对应的向量 的坐标是_OZ 答案 (3,4)解析 复数 z34i 对应的向量 的坐标是(3,4)OZ 2已知 z( m3)( m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是_答案 (3,1)解析 由题意得Error!解得30， b22 b6( b1) 250，即( m1)( m3)0，解得1 m3.实数 m 的取值范围是(1,3)1010在复平面内， 对应的复数是 2i， 对应的复数是13i，则 对应的复数为AO CO CA _答案 34i解析 由复数的几何意义知 (2,1)，AO
8、 (2，1)，又 (1，3)，OA CO (1，3)(2，1)(3，4)，CA CO OA 对应的复数为34i.CA 11复数 z( a2)( a1)i， aR 对应的点位于第二象限，则| z|的取值范围是_答案 322， 3)解析 复数 z( a2)( a1)i 对应的点的坐标为( a2， a1)，因为该点位于第二象限，所以Error! 解得1 a2.由条件得| z| a 22 a 12 2a2 2a 52(a2 a 14) 92 ，2(a 12)2 92因为1 a2.所以| z| .322， 3)二、解答题12若复数 z( m2 m2)(4 m28 m3)i( mR)的共轭复数 对应的点在
9、第一象限，求实z数 m 的取值范围解 由题意得 ( m2 m2)(4 m28 m3)i， 对应的点位于第一象限，z z所以有Error! 所以Error!所以Error!即 1m ，故所求实数 m 的取值范围为 .32 (1， 32)1113已知 ABCD 是复平面内的平行四边形，且 A， B， C 三点对应的复数分别是13i，i,2i，求点 D 对应的复数解 方法一 设 D 点对应的复数为 x yi(x， yR)，则 D(x， y)，又由已知 A(1,3)， B(0，1)， C(2,1)， AC 的中点为 ， BD 的中点为 .(32， 2) (x2， y 12 )平行四边形对角线互相平分，
10、Error!Error!即点 D 对应的复数为 35i.方法二 设 D 点对应的复数为 x yi (x， yR)则 对应的复数为( x yi)(13i)AD ( x1)( y3)i， 对应的复数为(2i)(i)22i，BC ，AD BC ( x1)( y3)i22i.Error! Error!即点 D 对应的复数为 35i.三、探究与拓展14若复数 z 满足| zi| (i 为虚数单位)，则 z 在复平面所对应的图形的面积为2_答案 2解析 设 z x yi(x， yR)，则 zi x yii x( y1)i，| zi| ，x2 y 12由| zi| 知 ， x2( y1) 22.2 x2 y
11、 12 2复数 z 对应的点( x， y)构成以(0,1)为圆心， 为半径的圆面(含边界)，2所求图形的面积 S2.1215在复平面内 A， B， C 三点对应的复数分别为 1,2i，12i.(1)求 ， ， 对应的复数；AB BC AC (2)判断 ABC 的形状；(3)求 ABC 的面积解 (1) 对应的复数为 zB zA(2i)11i；AB 对应的复数为 zC zB(12i)(2i)3i；BC 对应的复数为 zC zA(12i)122i.AC (2)由(1)知| |1i| ，| |3i| ，| |22i|2 ，AB 2 BC 10 AC 2| |2| |2| |2.AB AC BC 故 ABC 为直角三角形(3)S ABC | | | 2 2.12AB AC 12 2 2
