1、1一 二维形式的柯西不等式学习目标 1.认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值知识点 二维形式的柯西不等式思考 1 ( a2 b2)(c2 d2)与 4abcd 的大小关系如何？那么( a2 b2)(c2 d2)与( ac bd)2的大小关系又如何？答案 ( a2 b2)(c2 d2)4 abcd，(a2 b2)(c2 d2)( ac bd)2.思考 2 当且仅当 a b 且 c d 时，( a2 b2)(c2 d2)4 abcd，那么在什么条件下( a2 b2)(c2 d2)( ac b
2、d)2?答案 当且仅当 ad bc 时，( a2 b2)(c2 d2)( ac bd)2.思考 3 若向量 ( a， b)，向量 ( c， d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？答案 | ac bd|.a2 b2 c2 d2梳理 (1)二维形式的柯西不等式定理 1：若 a， b， c， d 都是实数，则( a2 b2)(c2 d2)( ac bd)2，当且仅当 ad bc 时，等号成立二维形式的柯西不等式的推论： | ac bd|(a， b， c， dR)；a2 b2 c2 d2 | ac| bd|(a， b， c， dR)a2 b2 c2 d2(2)柯西不等式的向量
3、形式定理 2：设 ， 是两个向量，则| | | |，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成立(3)二维形式的三角不等式定理 3： (x1， y1， x2， y2R)x21 y21 x2 y2 x1 x22 y1 y22当且仅当三点 P1， P2与原点 O 在同一直线上，并且 P1， P2点在原点 O 两旁时，等号成立推论：对于任意的 x1， x2， x3， y1， y2， y3R，有 .x1 x32 y1 y32 x2 x32 y2 y32 x1 x22 y1 y22事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1， P2， P3的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，( x
4、3， y3)，2根据 P1P2P3的边长关系有| P1P3| P2P3| P1P2|，当且仅当三点 P1， P2， P3在同一直线上，并且点 P1， P2在 P3点的两旁时，等号成立类型一 利用柯西不等式证明不等式例 1 已知 a1， a2， b1， b2R ，求证：( a1b1 a2b2) ( a1 a2)2.(a1b1 a2b2)证明 a1， a2， b1， b2R ，( a1b1 a2b2)(a1b1 a2b2) a1b12 a2b22 (a1b1)2 (a2b2)2 2(a1b1a1b1 a2b2a2b2)( a1 a2)2.( a1b1 a2b2) ( a1 a2)2.(a1b1 a
5、2b2)反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，有时需要将待证不等式进行变形，以具备柯西不等式的运用条件，这种变形往往要认真分析题目的特征，根据题设条件，利用添项、拆项、分解、组合、配方、数形结合等方法跟踪训练 1 已知 为锐角， a， bR ，求证： ( a b)2.a2cos2 b2sin2证明 (cos2 sin 2 )a2cos2 b2sin2 ( a2cos2 b2sin2 ) 2( a b)2，(acos cos bsin sin ) ( a b)2.a2cos2 b2sin2例 2 若实数 x， y， z 满足 x24 y2 z23，求证：| x2 y z|3.证明
6、 因为 x24 y2 z23，所以由柯西不等式得x2(2 y)2 z2(121 21 2)( x2 y z)2Error!Error!.整理得( x2 y z)29，即| x2 y z|3.3反思与感悟 (1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积” ，构造使用柯西不等式的条件(2)此类题也可以用三角不等式，把 ABO 的三个顶点分别设为 O(0,0)， A(x1， x2)，B( y1， y2)即可跟踪训练 2 设 a， b， c 为正数，求证： (a b c)a2 b2 b2 c2 a2 c2 2证明 由柯西不等式知， a b，a2 b2 12 12即 a b，2 a2 b2同理， b c， a
7、c.2 b2 c2 2 a2 c2将上面三个同向不等式相加，得 ( )2( a b c)，2 a2 b2 b2 c2 a2 c2 (a b c)a2 b2 b2 c2 a2 c2 2类型二 利用柯西不等式求最值例 3 若 3x4 y2，试求 x2 y2的最小值及最小值点解 由柯西不等式( x2 y2)(324 2)(3 x4 y)2，得 25(x2 y2)4，所以 x2 y2 ，425当且仅当 时等号成立，点( x， y)为所求最小值点，x3 y4解方程组Error!得Error!因此，当 x ， y 时， x2 y2取得最小值，最小值为 ，最小值点为 .625 825 425 (625， 8
8、25)反思与感悟 利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的前提条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一跟踪训练 3 已知 a， bR，且 9a24 b218，求 3a2 b 的最值解 由柯西不等式，得(9 a24 b2)(121 2)(3 a2 b)2，9 a
9、24 b218，36(3 a2 b)2.|3 a2 b|6.当Error!即Error!或Error! 时等号成立当 a1， b 时，3 a2 b 有最大值 6.324当 a1， b 时，3 a2 b 有最小值6.321已知 a， bR， a2 b24，则 3a2 b 的最大值为( )A4 B2 13C8 D9答案 B解析 ( a2 b2)(322 2)(3 a2 b)2，当且仅当 3b2 a 时取等号，所以(3 a2 b)2413.所以 3a2 b 的最大值为 2 .132已知 a0， b0，且 a b2，则( )A ab B ab12 12C a2 b22 D a2 b23答案 C解析 (
10、 a2 b2)(121 2)( a b)24， a2 b22.3设 xy0，则 的最小值为_(x24y2)(y2 1x2)答案 9解析 (x24y2)(y2 1x2) (12) 29，(x24y2)(1x2 y2)当且仅当 xy ，即 xy 时，取等号2xy 2最小值为 9.4设 a， b， m， nR，且 a2 b25， ma nb5，则 的最小值为_m2 n2答案 5解析 ( a2 b2)(m2 n2)( ma nb)225， m2 n25. .m2 n2 5当且仅当 an bm 时取等号5已知 a2 b21，求证：| acos bsin |1.证明 1 a2 b2( a2 b2)(cos
11、2 sin 2 )5( acos bsin )2，| acos bsin |1.1利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不等式的原形，进行多角度的尝试2柯西不等式取等号的条件也不容易记忆，如( a2 b2)(c2 d2)( ac bd)2等号成立的条件是 ad bc，可以把 a， b， c， d 看成等比，则 ad bc 来联想记忆一、选择题1已知 a， bR 且 a b1，则 P( ax by)2与 Q ax2 by2的关系是( )A P Q B P QC P Q D P Q答案 A解析 设 m( x， y)， n( ， )，a b a b则| ax by| mn| m|n
12、| ax2 by2 a2 b2 ax2 by2 a b ，ax2 by2( ax by)2 ax2 by2.即 P Q.2若 a， bR，且 a2 b210，则 a b 的取值范围是( )A2 ，2 5 5B2 ，2 10 10C ， 10 10D( ， )5 5答案 A解析 ( a2 b2)12(1) 2( a b)2， a2 b210，( a b)220.2 a b2 .5 53函数 y 2 的最大值是( )x 5 6 xA. B.3 5C3 D5答案 B6解析 根据柯西不等式知，y1 2 (当且仅当 x 时取等号)x 5 6 x 12 22 x 52 6 x2 52654若 3x22 y
13、21，则 3x2 y 的取值范围是( )A0， B ，05 5C ， D5,55 5答案 C解析 (3 x2 y)2 32 223x2 2y25(3 x22 y2)5， 3 x2 y .5 55已知 a， b， c， d， m， nR ， P ， Q ，则 P 与 Q 的大小关ab cd am cnbm dn系为( )A P Q B P QC P Q D P Q答案 A解析 P ambm ncdnam2 cn2(bm)2 (dn)2 Q.am cnbm dn P Q.6已知 a， b0，且 a b1，则( )2的最大值是( )4a 1 4b 1A2 B.6 6C6 D12答案 D解析 ( )2
14、4a 1 4b 1(1 1 )24a 1 4b 1(1 21 2)(4a14 b1)24( a b)22(412)12，当且仅当 ，即 a b 时等号成立4b 1 4a 112二、填空题77设实数 x， y 满足 3x22 y26，则 P2 x y 的最大值为_答案 11解析 由柯西不等式，得(2x y)2( x)2( y)23 2 (23)2 (12)2(3 x22 y2) 6 11 ，(43 12) 116 (当 且 仅 当 x 411， y 311时 取 等 号 )所以 2x y .118设 x， yR ，则( x y) 的最小值是_(3x 2y)答案 52 6解析 ( x y) 2(3
15、x 2y) (x3x y2y)( )252 ，3 2 6当且仅当 时，等号成立x2y 3x y9已知 x0， y0，且 1，则 2x y 的最小值为_1x 1y答案 32 2解析 2 x y(2 x y)(1x 1y)( )2( )22x y (1x)2 (1y)2 232 ，(2x1x y1y) 2当且仅当 时，等号成立，2x1y 1x y又 1，1x 1y则此时Error!10已知函数 f(x)3 4 ，则函数 f(x)的最大值为_4 x x 3答案 5解析 由柯西不等式知，(3 4 )2(3 24 2)( )2( )225.4 x x 3 4 x x 3当且仅当 3 4 时，等号成立，x
16、 3 4 x因此 f(x)5.11函数 f(x)3cos x4 的最大值为_1 sin2x8答案 5 2解析 设 m(3,4)，n(cos x， )，1 sin2x则 f(x)3cos x4 1 sin2x mn| m|n| 5 .cos2x 1 sin2x 32 42 2当且仅当 m n 时，上式取“” 此时，3 4cos x0.1 sin2x解得 sinx ，cos x .75 325故当 sinx ，cos x 时75 325f(x)3cos x4 取得最大值 5 .1 sin2x 212已知关于 x 的不等式| x a| b 的解集为 x|2 x4则 的最大值为_at 12 bt答案
17、4解析 由| x a| b，得 b a x b a，则Error!解得 a3， b1.又 3t 12 t 34 t t 32 124 t2 t22 4，4 t t当且仅当 ，即 t1 时等号成立，4 t3 t1故( )max4. 3t 12 t三、解答题13设 a， bR ，且 a b2.求证： 2.a22 a b22 b证明 根据柯西不等式，有(2 a)(2 b)(a22 a b22 b)( )2( )22 a 2 b (a2 a)2 ( b2 b)2 2(2 aa2 a 2 bb2 b)( a b)24.9 2.a22 a b22 b 42 a 2 b原不等式成立四、探究与拓展14若 a
18、b1，则 2 2的最小值为( )(a1a) (b 1b)A1 B2C. D.252 72答案 C解析 2 2(a1a) (b 1b) a22 b22 .1a2 1b2 a b1， a2 b2 (a2 b2)(11)12 (a b)2 .12 12又 8，1a2 1b2 2ab 8a b2以上两个不等式都是当且仅当 a b 时，等号成立12 2 2 228 ，(a1a) (b 1b) 12 252当且仅当 a b 时等号成立1215已知 a， b(0，)， a b1， x1， x2(0，)求证：( ax1 bx2)(ax2 bx1) x1x2.证明 由 a， b(0，)， a b1，x1， x2(0，)，及柯西不等式，可得(ax1 bx2)(ax2 bx1)( )2( )2( )2( )2( ax1 bx2 ax2 bx1 ax1 ax2 bx2)2( a b )2 x1x2，bx1 x1x2 x1x2当且仅当 ，即 x1 x2时取得等号ax1ax2 bx2bx1所以( ax1 bx2)(ax2 bx1) x1x2.
