1、11.3 多边形及其内角和,第2课时 多边形的内角和,第十一章 三角形,1,课堂讲解,多边形的内角和 多边形的外角和 多边形内角和与外角和的关系,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各 边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向，一 共转过了多少度呢？,知1讲,1,知识点,三角形外角的定义,思考我们知道，三角形的内角和等于180，正方形、长方形的 内角和都 等于360.那么，任意一个四边形的内角和是否也等 于360呢？你能利用 三角形内角和定理证明四边形的内角和等 于360吗？,要用三角形内角和定理证明四边形的内角和 等于360 只 要
2、将四边形分成几个三角形即可.,如图11.3-8,在四边形ABCD中，连接对 角线AC， 则四边形ABCD被分为 ABC和 ACD两个三角形. 由此可得 DAB + B+ BCD+ D= 1+ 2+ B+ 3+ 4+ D = ( l+ B+ 3)+( 2+ 4+ D). 1+ B+ 3=180, 2+ 4+ D = 180, DAB + B + BCD+ D=180+180=360. 即四边形的内角和等于360.,知1讲,观察图11. 3-9,填空:从五边形的一个顶点出发，可以作_条对角线，它们将五边形 分为_个三角形，五边形的内角和等于180 _. 从六边形的一个顶点出发，可以作_条对角线，它
3、们将六边形 分为_个三角形，六边形的内角和等于180 _. 通过以上过程，你能发现多边形的内角和与 边数的关系吗？,类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？,知1讲,知1讲,一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n 3) 条对角线，它们将n边形分为（n 2)个三角形，n边形 的内角和等于180(n 2).,把一个多边形分成几个三角 形，还有其他分法吗？由新 的分法，能得出多边 形内角 和公式吗？,知1讲,这样就得出了多边形内角和公式： n边形内角和等于(n 2) 180.,如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角 有什么关系？ 如图，在四边形ABCD中，A+C=180
4、, A+B+C+D=(42) 180=360 B+D=360 (A+C )=360180=180 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一 组对角也互补.,【例1】,解：,知1讲,已知边数求内角和可直接代入内角和公式： n边形内角和等于(n2)180求解,知1讲,一个多边形的各内角都等于120，它是几边形？,知1练,（来自教材）,1,已知正多边形的每个内角都是156，求这个多边形的边数,2,四川遂宁若一个多边形的内角和是1 260， 则这个多边形的边数是_,设这个多边形的边数为n，由题意知， (n2)1801 260，解得n9.,【例2】,导引：,9,知1讲,(1)已知多边形的内角和求边数
5、n的方法：根据多边形内角和公式列方程：(n2)180内角和，解方程求出n，即得多边形的边数； (2)已知正多边形每个内角的度数k求边数n的方法：根据多边形内角和公式列方程：(n2)180kn，解方程求出n，即得多边形的边数,知1讲,(2015怀化)一个多边形的内角和是360，这个多边形是( ) A三角形 B四边形 C六边形 D不能确定,（来自典中点）,1,知1练,(2015丽水)一个多边形的每个内角均为120，则这个多边形是( ) A四边形 B五边形 C六边形 D七边形,（来自典中点）,2,知1练,知2导,2,知识点,三角形的外角和,如图11.3-11，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外
6、角的 和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？,【例3】,考虑以下问题：,（1）任何一个外角同与它相邻的内角有什么 关系？ （2）六边形的6个外角加上与它们相邻的内 角，所得总和是多少？ （3）上述总和与六边形的内角和、外角和有 什么关系？联系这些问题，考虑外角和的求法.,六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180.因此六 边形 的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6180. 这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和 减去内角 和，即外角和等于,6180 (6 2) 180=2180 =360 .,分析：,解：,知2导,思考：如果将例2中六边形换为n边形(
7、n是不小于3的 任意整数），可以 得到同样结果吗？,知2导,知2导,归 纳,（来自点拨）,由上面的思考可以得到： 多边形的外角和等于360.,你也可以像以下这样理解为什么多边形的外 角和等 于360.如图11.3-12,从多边形的一个顶点A出发， 沿多边形 的各边走过各顶点，再回到点A，然后 转向出发时的方向. 在行程中所转的各个角的和， 就 是多边形的外角和.由于走了一周， 所转的各 个角的和等于一个周角， 所以多边形的外角和等 于 360.,知2讲,图 11.3-12,已知四边形的四个外角度数比为1234，求各外角的度数,由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系可求出各外角 设四边形的最小
8、外角为x，则其他三个外角分别为2x， 3x，4x.根据四边形外角和等于360，得x2x3x 4x360. 所以x36，2x72，3x108，4x144. 所以四边形各外角的度数分别为36，72，108，144.,【例4】,导引：,解：,知2讲,知2讲,(1)用多边形外角和定理求内(外)角或求正多边形的边数，一般可 利用方程思想通过列方程解决，都是列出外角和的字母表达式： 各个外角的和(如本例)或边数正多边形每个外角的度数，再 说明它们等于360，即可求出； (2)由于多边形的外角和等于360，因此有些正多边形的内角问 题也可以转化为外角问题来解决.,知3导,3,知识点,多边形内角和与外角和的关
9、系,多边形的内角与相邻外角的关系的运用 同顶点 的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问 题的关键，是内、外角转换的纽带,(1)因为每个外角都是60，所以360606，所以是六边形根据内角和公式计算出内角和是720，外角和是恒值为360(也可以由每个外角都是60，得每个内角都是120，进而得到内角和是720)； (2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180，但外角和不变,填空： (1)一个多边形每个外角都是60，这个多边形是_ 边形，它的内角和是_度，外角和是_度； (2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加_，外角和增加_,知3讲,【例5】,解析：,六,720,360,180,
10、0,由于多边形的外角和等于360，因此有些正 多边形的内角问题也可以转化为外角问题来解决,知3讲,一个正多边形的一个内角比它的外角的3倍还多20，求这个多边形的边数,知3练,（来自点拨）,1,(2015宿迁)已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为( ) A3 B4 C5 D6,2,一个多边形的内角和是外角和的一半，它 是几边形？ (2) 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？,（来自教材）,3,知3练,(2015广元)一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为( ) A5 B6 C7 D8,（来自典中点）,4,知3练,通过本节课的探究与学习，你有哪些收获与体会？ 多边形内角和定理及外角和定理的内容、推导和应用。 体会数学中的类比和转化的数学思想。,1. 完成教材P24-25习题11.3T3-4， T6-8； 2.补充:请完成典中点剩余部分习题.,必做：,
