1、1.3 命题及其关系、充要条件,-2-,-3-,知识梳理,考点自测,1.命题,真假,真,假,-4-,知识梳理,考点自测,2.四种命题及其关系 (1)四种命题的表示及相互之间的关系,(2)四种命题的真假关系 互为逆否的两个命题 ( 或 ). 互逆或互否的两个命题 .,等价 同真 同假,不等价,-5-,知识梳理,考点自测,3.充分条件、必要条件与充要条件的概念,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,-6-,知识梳理,考点自测,1.在四种形式的命题中,真命题的个数只能为0,2,4. 2.p是q的充分不必要条件,等价于 q是 p的充分不必要条件.其他情况依次类推. 3.集合与充要
2、条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件AB;p是q的必要不充分条件AB;p是q的充要条件A=B.,-7-,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)命题“若= ,则tan =1”的否命题是“若= ,则tan 1”. ( ) (2)命题“若x2-3x+20,则x2或x1”的逆否命题是“若1x2,则x2-3x+20”. ( ) (3)一个命题的逆命题与否命题,它们的真假没有关 ( ) (4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. ( ) (5)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同. ( ),-
3、8-,知识梳理,考点自测,2.(2017辽宁大连一模,文3)若a,b均为实数,则“ab”是“a3b3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析:由aba3b3,由a3b3ab.所以“ab”是“a3b3”的充要条件,故选C.,C,-9-,知识梳理,考点自测,3.设有下面四个命题: p1:若复数z满足 R,则zR; p2:若复数z满足z2R,则zR; p3:若复数z1,z2满足z1z2R,则z1= 2 ; p4:若复数zR,则 R. 其中的真命题为( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4,B,所以b=0,所以zR.
4、故p1正确; p2:因为i2=-1R,而z=iR,故p2不正确; p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2R,而它们的实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确; p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.,-10-,知识梳理,考点自测,4.(2017山东潍坊期末,文4)已知命题“若x=5,则x2-8x+15=0”,则它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中,真命题有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,B,解析:原命题“若x=5,则x2-8x+15=0”为真命题,又当x2-8x+15=0时,x=3或x=5,故其逆命题“若x2-8x+15=0,则
5、x=5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题,否命题为假命题,故选B.,-11-,知识梳理,考点自测,5.(2017河南郑州模拟)给出以下四个命题: “若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; “全等三角形的面积相等”的否命题; “若q-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题; 若ab是正整数,则a,b都是正整数. 其中真命题是 .(只填序号),解析:命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然为真命题;不全等的三角形的面积也可能相等,故为假命题;原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故为真命题;若ab是正整数,但a,b
6、不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故为假命题.,-12-,考点一,考点二,考点三,命题及其相互关系 例1(1)命题“若a2+b2=0,则a=0,且b=0”的逆否命题是( ) A.若a2+b20,则a0且b0 B.若a2+b20,则a0或b0 C.若a=0且b=0,则a2+b20 D.若a0或b0,则a2+b20 (2)已知原命题为“若 an,nN*,则an为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,真,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假,D,A,-13-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)原命题的逆否命题是条件和结论对调
7、且都否定,注意“且”应换成“或”. (2)从原命题的真假入手,由于 anan+1anan为递减数列,即原命题和逆命题均为真命题,又原命题与其逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,则其逆命题、否命题和逆否命题均为真命题.,-14-,考点一,考点二,考点三,思考由原命题写出其他三种命题应注意什么?如何判断命题的真假? 解题心得1.写一个命题的其他三种命题时,需注意: (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,则写其他三种命题时需保留大前提. 2.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例即可. 3.根据“原命题与逆否命题同真同假,逆
8、命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.,-15-,考点一,考点二,考点三,对点训练1(1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( ) A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 (2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假,C,B,-16-,考点一,考点二
9、,考点三,解析:(1)由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”. (2)先判断原命题:当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,bR),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|= ,所以原命题为真,故其逆否命题为真;再判断其逆命题,取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,所以其逆命题为假,故其否命题也为假,故选B.,-17-,考点一,考点二,考点三,充分条件、必要条件的判断 思考充分条件、必要条件的判断有哪几种方法? 考向1 定义
10、法判断 例2已知p:实数x,y满足x1,且y1,q:实数x,y满足x+y2,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,A,解析:若x1,且y1,则有x+y2成立,所以pq;反之由x+y2不能得到x1,且y1.所以p是q的充分不必要条件.,-18-,考点一,考点二,考点三,考向2 集合法判断 例3“x0”是“ln(x+1)0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,B,解析:由ln(x+1)0可得0x+11,即-1x0,而x|-1x0 x|x0,所以“x0”是“ln(x+1)0”的必要不充分
11、条件,故选B.,-19-,考点一,考点二,考点三,考向3 等价转化法判断 例4(1)给定两个条件p,q,若 p是q的必要不充分条件,则p是 q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,A,A,-20-,考点一,考点二,考点三,(2)因为函数f(x)的图象过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点函数y=-2x+a(x0)没有零点函数y=2x(x0)的图象与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a0或a1.又因为a|a1,故选A.,-21-,考点一,考点二,考点三,解题心得充要条件的三种判断方法: (1)定义法:根据pq,qp是否成立进行判断.
12、 (2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法:一是指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成容易判断充要条件为止;二是指根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.,-22-,考点一,考点二,考点三,对点训练2(1)(2017北京东城一模,文6)“sin +cos =0”是“cos 2=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2017湖南娄底二模,文4)“a0”是“x2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,
13、A,A,B,-23-,考点一,考点二,考点三,解析: (1)cos 2=0(cos +sin )(cos -sin )=0cos +sin =0或cos -sin =0, 所以“sin +cos =0”是“cos 2=0”的充分不必要条件.故选A.,(3)由x2+5x-60得x1或x2x|x1或x0”是“x2”的必要不充分条件,故选B.,-24-,考点一,考点二,考点三,充分条件、必要条件的应用,D,(1,2,-25-,考点一,考点二,考点三,-26-,考点一,考点二,考点三,思考如何求与充要条件有关的参数问题?如何证明一个论断是另一个论断的充要条件? 解题心得1.与充要条件有关的参数问题的求
14、解方法:解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解. 2.充要条件的证明方法:在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.,-27-,考点一,考点二,考点三,对点训练3已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若xP是xS的必要条件,则m的取值范围为 .,0,3,解析:由x2-8x-200,得-2x10,即P=x|-2x10. 由xP是xS的必要条件,知SP,所以0m3. 经检验,m=0,m=3均符合题意. 故所求m的取值范围是0,3.,-28-,考点一,考点二,考点
15、三,变式发散本题条件不变,问是否存在实数m,使xP是xS的充要条件?,解 若xP是xS的充要条件,则P=S.,故不存在实数m,使xP是xS的充要条件.,-29-,考点一,考点二,考点三,1.写一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断命题的真假时,可以借助原命题与其逆否命题同真或同假的关系来判定. 2.充分必要关系的几种判断方法: (1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.,(3)集合间关系法:设A=x|p(x),B=x|q(x),利用集合A,B的关系来判断.,-30-,考点一,考点二,考点三,1.当一个命题中含有大前提时,其他三种命题也必须含有该大前提,也就是大前提不动. 2.在判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式. 3.判断条件之间的关系,要注意条件之间的推出方向,正确理解“p的一个充分不必要条件是q”等语言.,
