1、课题：第十七讲 解直角三角形 课型：复习课 年级：九年级 教学目标：1.熟记 30，45，60的三角函数值，在理解三角函数定义的基础上进行有关的计算和解答2.能够利用直角三角形的边角关系，解决测量、航行、工程技术等生活中的实际问题，提高应用知识的能力教学重点与难点：重点：熟记特殊角的三角函数值，能够利用三角函数进行有关的计算和解答难点：能够利用直角三角形的边角关系，解决生活中的实际问题，提高应用知识的能力课前准备：教师准备：多媒体课件教学过程:一、知识梳理，建构网络1. 锐角三角函数：定义：如图，在 RtABC 中，C=90，sin A= = ；余cosA= = ；tan A= = 余余 性质
2、：若A 为锐角，则有 sin(90A)= ，cos(90A)= ，sin2A+cos2A= ，tanAtan(90A)= . 当A 度数在 090之间变化时，正弦、正切值随着角度的增大而 ，余弦值随着角度的增大而 2. 30，45，60的三角函数值：三角函数 30 45 60 备注sin 2123随着角度的增大而增大cos 31随着角度的增大而减小tan 31 3随着角度的增大而增大3. 解直角三角形： 由直角三角形中已知的元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形ba cABC 直角三角形边角关系：在 RtABC 中，C=90，A，B，C 的对边分别是a，b，c两锐角之间的关系： ；三边之间
3、的关系： （勾股定理）； 边与角之间的关系：sinA= ， cosA= ，tanA= 4. 锐角三角函数应用中的相关概念： 仰角、俯角：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角，视线在水平线 的角叫俯角 坡度、坡角：坡面的 与水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比）；坡面与 的夹角叫做坡角 方向角：如图，过观测点 O 作一条水平线（一般向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则观测点 O 与目的地的连线与表示南北方向的铅垂线的夹角（小于 90）叫做方向角处理方式：利用多媒体出示解直角三角形的知识点，以问题串的形式让学生回顾,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，需要教师强调的地方教
4、师要结合具体的例子先简单分析，在后面的例题讲解中再着重强调设计意图：以问题串的形式让学生回顾解直角三角形的相关知识,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，为后面的题组训练打好基础，让学生掌握课堂的主动权，让学生在小组交流讨论中完成建构并从中感受到知识间的内在联系，并在数学学习活动中完成解直角三角形的知识要点复习, 为下一步激活运用这些知识打好基础二、专题探究，归纳整合活动内容 1：锐角三角函数的定义1在 RtABC 中，C=90，AC=12 ，BC =5，则 sinA 的值为（ ）A B C D255121321352如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，O 都在格点上，则
5、 sinAOB =( )A B C D10323110处理方式：学生讨论交流，在复习丛书上完成后再展示说明，学生之间互相补充教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点设计意图：通过学生自主探究、合作交流，进一步巩固锐角三角函数的定义活动内容 2：30，45，60的三角函数值视线视线水平线仰角俯角铅垂线南西北东目的地O观测点水平线铅垂线第 2 题图OBA3在ABC 中，若 ，则C 的度数是（ ）0)tan1(2cos2BAA45 B60 C75 D105 4计算 ，其结果是 60tan3cos5sin2处理方式：学生先讨论交流，然后找两名学生利用展台展示说明解决问题的方法，学生之间互相补充教师适
6、时点评，然后师生共同总结所考察知识点设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，熟记 30，45，60的三角函数值，进而使学生由特殊三角函数值求锐角及由特殊角求三角函数值活动内容 3：解直角三角形5在 RtABC 中，C=90，A，B，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且a= ，b= ，1求这个三角形的其他元素6ABC 中,C 为直角,A ,B , C 所对的边分别为 a ，b , c ,且 b=3 ,A=30,求B , a , c .处理方式：学生先讨论交流，然后找两名学生到黑板板演，然后展示说明解题的思路与方法，学生之间互相补充教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点设计
7、意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，使学生回顾解直角三角形的两种情况，理解满足什么条件能解出直角三角形，增强学生的学习兴趣及自信心三、典例精析，方法总结【例 1】 在ABC 中，A=30，B=45，AC = ，求 AB 的长32处理方式：让一名学生板演，其余学生认真在丛书上解题，完成后再展示说明，学生之间互相补充教师适时点评，及时点拨：过点 C 作 CDAB 于点 D，将ABC 转化为有公共直角边的两个直角三角形是此题的关键，然后利用三角函数即特殊角的三角函数值解决问题方法总结：解直角三角形时，除了直角外，还知道两个元素（至少有一个是边） ，就能求出其余的边和角一般三角形中，
8、知道三个元素（至少有一个是边） ，就能求出其余的边和角，此时应将一般三角形转化为直角三角形，同时注意尽量不要破坏所给条件，还需熟记特殊角的三角函数值设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，加深对解直角三角形及特殊角的三角函数值的理解与掌握4530CBA拓展训练：在ABC 中，B=45，AC = ，AB=6画出示意图，求 BC 的长( 保留根号)62处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论，学生展示思路，全班同学共同反馈，教师点拨教师点拨：已知两边及一边的对角画三角形，有两种情况，这两种情况代表了两种题型，即BC 是两条线段的和或差，过点 A 作 ADBC 于点 D，则 B
9、C=BDCD最后利用课件归纳利用解直角三角形解决一般三角形的方法（两个基本图形的翻转、旋转及平移） ，关键是抓住基本图形巩固训练：1、 如图，已知铁塔塔基距楼房的水平距离 BD 为 50 米，由楼顶 A 望塔顶的仰角为 45 ，由楼顶望塔底的俯角为 30，塔高 DC 为 米；2、 如图，大楼 AB 与大楼 CD 的水平距离为 50 米，某人站在大楼 AB 的楼顶 B 处，测得大楼 CD 顶端 D 的俯角为 30，测得大楼 CD 的楼底的俯角为60，求大楼 AB 及 CD 的高度【例 2】 益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥如图，新大桥的两端位于 A ，B 两
10、点，小张为了测量 A，B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如下数据：BDA=76.1，BCA=68.2，CD=82 米求 AB 的长（精确到 0.1 米参考数据：sin76.10.97，cos76.10.24，tan76.14.0，sin68.20.93，cos68.20.37，tan68.12.5） 处理方式：让一名学生板演，教师巡视，解题后，教师放幻灯片，小组兵教兵校对、更正错误点拨：设 AB=x 米，利用锐角三角函数，在 RtABC 和 RtABD 中，分别用 x 表示出 AC 和 AD的长，再根据 CD=ACAD ，列出关于 x 的方程求解C D ABD CB
11、ADCBA第题 1 图 第题 2 图；，中 ，米 ，解 ： 设 5.268tantatanRBCACABAtB ；，中 ， 41.7ta xDDt 米 。的 长 约 为（ 米 ） ， 因 此 ，解 得 ： ，又 .567.54631082xxC方法总结：把应用问题转化为直角三角形问题时，一是要选定所需锐角所在的直角三角形，二是正确选择三角函数关系式，不可混淆，三是灵活应用设公共边为未知数，利用三角函数得出方程解答设计意图：“学数学、用数学”应是我们每位数学教师在教学中时刻不忘的数学宗旨.我们教育的学生，不只要学会知识，更重要的是会用知识.将实际问题抛给学生，引导学生想象问题情境，将自己置身于问
12、题情境中，才能顺利的转化为数学问题，从而学会用数学知识解决实际问题【例 3】如图，某海域有两个海拔均为 200 米的海岛 A 和海岛 B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为 1100 米的空中飞行，飞行到点 C 处时测得正前方一海岛顶端 A 的俯角是 60，然后沿平行于 AB 的方向水平飞行 1.99104 米到达点 D 处，在 D 处测得正前方另一海岛顶端 B 的俯角是45，求两海岛间的距离 AB处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论，由一位同学展示思路，全班同学共同反馈，教师点拨教师点拨：首先过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F，连接 AB，易得四边形 A
13、BFE 为矩形根据矩形的性质，可得 AB=EF，AE =BF由题意可知：AE=BF=1100200=900（米） ，CD=1.9910 4 米，然后分别在 RtAEC 与 RtBFD 中，利用三角函数即可求得 CE 与 DF 的长，继而求得两海岛间的距离方法总结：此题考查了俯角的概念、矩形的性质及解直角三角形的知识借助已知条件，并充分利用特殊角构造直角三角形是求解此类问题的关键，注意数形结合思想的应用设计意图：使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力四、回顾反思，提炼升华；，米 ） ，则 ，是 矩 形
14、 ， 得 四 边 形连 接 ，于 点作， 过 点于 点作解 ： 过 点 4560(9021 BDFACEBFAEBAECD米 ） ；，中 ，在 (309tantatanRt 米 ） ；，中 ，在 F米为离， 因 此 ， 两 海 岛 间 的 距又 米 ）3028(93019.4ABEFABDC通过本节课的复习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家峨 山 镇 中 学 数 学 组边 角 关 系 三 边 关 系定 义30， 45， 60的 三 角 函 数 值锐 角 三角 函 数 锐 角 三 角 函 数 应用 中 的 相 关 概 念213231tancossin 604530三
15、 角 函 数 1三角形解直角 仰 角 、 俯 角方 位 角坡 度 、坡 角caA余余sinbco余余ta角 的 关 系解 直 角三 角 形性 质 a2+b2=c2 A+ B= C两 锐 角 互 余sin(90 A)=cosAcos(90 )sinsin2A+cos2A=1正 弦 值 、 正 切值 ， 随 锐 角 A的 增大 而 增 大 ； 余 弦值 ， 随 锐 角 A的 增大 而 减 小 处理方式：给学生 2 分钟左右的时间，让学生自主交流课堂实践的经历、感受和收获，然后找3 个学生尝试谈谈自己的收获，教师利用课件展示解直角三角形的知识树设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本讲复习的知
16、识进行梳理，培养学生知识归纳与整理的习惯与能力，通过师生共同总结，增强学生认识，加深学生印象，强化学生记忆五、达标测试，反馈提高1如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA =4km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为（ ）A4km B km C km D km322)13(2交通安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动小第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点 C，再在笔直的
17、车道 l 上确定点 D，使 CD 与 l 垂直，测得 CD 的长等于 21 米，在 l 上点 D 的同侧取点 A、B，使CAD=30，CBD=60（1）求 AB 的长（精确到 0.1 米，参考数据： ， ） ；73.141.2（2）已知本路段对汽车限速为 40 千米/小时，若测得某辆汽车从 到 用时为 2 秒，这辆汽车是否超速？说明理由（选做）3如图，一扇窗户垂直打开，即 OMOP ，AC 是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点 A 处，另一端在 OP 上滑动，将窗户 OM 按图示方向想内旋转 35到达 ON 位置，此时，点 A、C 的对应位置分别是点 B、D测量出ODB 为 25，点
18、D 到点 O 的距离为 30cm（1）求 B 点到 OP 的距离；（2）求滑动支架的长（结果精确到 1cm参考数据：sin250.42， cos250.91，tan250.47，sin550.82，cos550.57 ，tan551.43）处理方式：学生独立完成，对学生错误较多的题目进行讲解设计意图：设置的当堂检测便于及时获知学生对本讲知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的六、布置作业，课后促学必做题：新课程初中复习指导丛书 P 88-90 第 5 、6 、 10 、11 题.选做题：新课程初中复习指导丛书P 90 第 13 题.板书设计：第十七讲 解直角三角形知识梳理 构建网络 典例精析，方法总结例 ： 例 ： 例 ： 123学 生 活 动 区投影区
