1、15.4 因式分解教学任务分析知识与能力使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系；能够利用乘法公式对简单的多项式进行因式分解过程与方法通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力教学目标情感与态度通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系教学重点 理解因式分解的意义；识别分解因式与整式乘法的关系教学难点 运用乘法公式进行因式分解教学方法 创设情境主体探究合作交流应用提高教学过程设计一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容复习与回顾：整式的乘法，计算下列各式：x(x+1)= ； (x+1)(x 1)= 讨论：63
2、0 能被哪些数整除?在小学我们知道，要解决这个问题需要把 630 分解成质数乘积的形式：，类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的753260乘积的形式问题 1 把下列多项式写成两个整式的乘积的形式：（1） _； （2） _x2 1x学生活动设计学生独立思考，发现由于 x(1x) 、( x1)( x1) ，得到上述问题的22答案：（1） x(1 x) ；（2） ( x1)( x1) 2 1教师活动设计让学生独立完成上述问题，在解决问题的过程中体会上述过程与整式乘法的关系，初步理解因式分解；进而引导学生观察上述等式从左到右的过程与整式乘法的联系，作以下归纳：把一个多项式化成几个整
3、式的积的形式，这样的变形叫做因式分解，也叫作分解因式问题 2 谈谈你对整式乘法和因式分解的理解师生活动设计在学生讨论的基础上，让学生作以下分析：因式分解是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式；而整式乘法是把几个整式乘积的形式化为多项式，所以因式分解与整式乘法是相反的变形练习：理解概念判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解?（1）x 24y 2=(x+2y)(x2y)； （2）2x( x3y)=2x 26xy ； （3）(5a1) 2=25a210a+1； （4）x 2+4x+4=(x+2)2； （5）(a3)(a+3)=a 29； （6）m 24=(m+2)( m2)；（7）2 R+ 2
4、r= 2 (R+r)二、主体探究、合作交流，探究因式分解的方法问题 3 分解因式 mambmc学生活动设计学生根据对因式分解概念的理解以及因式分解和整式乘法的关系，自主探索上述问题的答案，从探索的过程中总结这种分解因式的方法提公因式法学生分析：多项式中的各项都含有因式 m，因此可以把 m 提出来得到mamb mcm(abc )教师活动设计适当提醒和启发，引导学生对这种因式分解的特点进行归纳，进而得到：多项式中各项都有的因式，叫做这个多项式的公因式；把多项式 ma+mb+mc 分解成 m(a+b+c)的形式，其中 m 是各项的公因式，另一个因式 (a+b+c)是 ma+mb+mc 除以 m 的商
5、，像这种分解因式的方法，叫做 提公因式法提公因式法巩固练习：说出下列多项式各项的公因式（1）ma + mb； （2）4kx8ky； （3）5y 3+20y2； （4）a 2b2ab 2+ab提公因式的方法：（1）系数的最大公约数作为公因式的系数；（2）相同字母的最低次数作为公因式中的字母部分例 1 分 解 因 式把 cab32318分析：应先找出 与 的公因式，再提公因式进行分解例 2 把 2 a(bc) 3(b+c)分解因式 分析：(b+c )是这两个式子的公因式，可以直接提出)(3解 ： )32(acb随堂小测问题 4 你能将多项式 x2 16 和多项式 m24n 2 因式分解吗？这两个多
6、项式有着什么共同特点？学生活动设计学生观察上述两个多项式的特点，可以发现上述两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，而整式乘法公式中的平方差公式是(ab)( a b)a 2b 2，反过来就是a2b 2(ab)(ab) ，这样的变形就是因式分解，从而可以对上述多项式因式分解x216x 24 2(x4)(x4)，m 24n 2m 2(2 n)2(m2n)(m 2n)教师活动设计经过学生的自主探索，引导学生进行归纳：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即a2b 2(ab)(ab) 例 3 分解因式 （1）4x 29； （2）(x+p) 2( x+q)2分析：在（1）中，4x 2 =
7、(2x)2，9=3 2，4x 29 = (2x )23 2，即可用平方差公式分解因式解：（1）4x 29= (2x) 23 2 = (2x+3)(2x3)；（2）(x +p)2(x+q) 2= (x+p)+(x+q) (x+p)(x+q)=(2x+p+q)(pq)例 4 分解因式 （1）x 4y 4； （2）a 3bab分析：（1）x 4y 4 可以写成(x 2)2(y 2)2 的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解（2）a 3bab 有公因式 ab， 应先提出公因式，再进一步分解解：（1）x 4y 4= (x2+y2)(x2y 2)= (x2+y2)(x+y)(xy )；（2）a 3b
8、ab = ab(a 21)= ab(a+1)(a1) 巩固练习 思维延伸1观察下列各式：3 21 2=8=81；5 23 2=16=82；7 25 2=24=83；把你发现的规律用含 n 的等式表示出来2对于任意的自然数 n，(n+7) 2( n5) 2 能被 24 整除吗?为什么?问题 5 你能把多项式 和 分解因式吗？这两个多项式有ba2ba什么特点？学生活动设计观察上述多项式，与乘法公式中的完全平方公式作比较，容易得到222)(baa教师活动设计学生得到结果后，让学生归纳 ，即222)(两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方同时归纳完全平方式的
9、定义：把形如 和 的式子叫作完全22ba2ba平方式例 5 分解因式（1） ； （2） 9246x 224yx学生活动设计学生在独立思考的基础上进行讨论，在（1）中，16x 2=(4x)2，9=3 2，24x =24x3，所以 是一个完全平方式， (4x3) 2924694162x在（2）中，形式上不满足完全平方式的特点，但是 y，变形后括号内的多项式是完全平方式，可以分解因式)(2yx教师活动设计在本问题的解决过程中，让学生进一步体会完全平方式的特点，能够灵活地用完全平方式分解因式例 6 分解因式（1）3ax 2+6axy+3ay2； （2）(a+ b)212(a+ b)+36分析：在（1）
10、中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一步分解解：（1）3ax 2+6axy+3ay2 = 3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；（2）(a+ b)212(a+b)+36=(a+b) 2 2(a+b)6+62=(a+b6) 21下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a 24a+4； （2）1+4a 2； （3）4b 2+4b1 ； （4）a 2+ab+b22分解因式（1）x 2+12x+36； （2）2xyx 2y 2； （3）a 2+2a+1； （4）4x 24x+1； （5）ax 2+2a2x+a3； （6）3x 2+6xy3y 2三、应用提高、拓展创新，培养学生的应用能力和创
11、新意识问题 6 把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？（1） ； （2） ；4yx3ab（3） ； （4） ；223aa22)()(qxp（5） 6)(1)(b学生活动设计：观察上述多项式的形式，发现（1）可以把 x4、y 4 看作(x 2)2、(y 2)2，可以利用平方差公式，得到 ( )( )而 还可以利用平方差公式进行分解得到4yx22yx2( )( )(x y)(xy)( )42（2）（3）中不能用公式，但是各项存在公因式，于是可以先提公因式，然后进行分解，得到（2） ；)()(23 bababa（3） ；222 )(3(6 yxyxyx （4）中若把(xp)和(x
12、q)看作一个整体，可以利用平方差公式分解（5）把(ab)看作一个整体，恰好是完全平方式教师活动设计让学生讨论如何进行分解因式，体会分解因式的一般步骤，归纳：（1） 先提公因式（有的话）；（2） 利用公式（可以的话）；（3） 分解因式时要分解到不能分解为止问题 7 证明：连续两个奇数的平方差可以被 8 整除学生分析：设连续两个奇数是 x、 x2，则有x2(x+2) 2=(x x2)(x+x +2)=2(2x+2)=4(x+1)，因为 x 是奇数，所以 x1 是偶数，所以4(x+1)能被 8 整除四、归纳小结、布置作业小结：因式分解的含义，灵活用提公因式法、公式法分解因式作业：习题 154高考 试题库 学优。中考。，网
