1、随机信号处理教程,献给进入信息领域学习的你！,随机信号处理教程,第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程,第5章 窄带系统和窄带随机信号,1,2,3,4,5,窄带系统及其特点,窄带随机信号的基本概念,窄带高斯随机信号分析,窄带随机信号包络的自相关特性,正弦信号叠加窄带高斯噪声的包络和相位的分布,5.1窄带系统及其特点,系统的中心频率 远大于系统的带宽 ，即 ，这样的系统称为窄带系统 设窄带系统输入为 ，输出为 ， 和 得拉普拉斯变换分别为 和 。当系统结
2、构已知时，其系统函数 为= (5.1.1)上式中，分母多项式为零时方程的根 ， ， ，称为系统函数 的极点，分子多项式为零时方程的根 ， ， ，称为系统函数 的零点。,5.1窄带系统及其特点,图5.1 窄带系统的幅频特性,图5.2 窄带对称系统函数的极点分布,如果系统是窄带的，且其极点簇关于中心线 对称，则该系统为窄带对称系统。窄带对称系统的幅频特性和它的极点分布分别如图5.1和图5.2所示。,5.1窄带系统及其特点,对于任何窄带对称系统，系统的冲激响应函数 总可以表示为= (5.1.8)也就是说 可以分解成慢变化部分 和快速变化部分 ，如图5.4所示。 被称为系统冲激响应的包络。,图5.4
3、窄带对称系统的冲激响应,5.1窄带系统及其特点,由 求,对 进行拉普 拉斯反变换得到,求出 的极点分布图,求出系统的系统函数,去掉一个极点族，把余下的极点族沿虚轴平移，使其极点族中心对称线与实轴重合,5.1窄带系统及其特点,包络线定理给了我们一个求解窄带对称系统冲激响应的简单办法。特别是在许多情况下，我们只关心 的包络 ，这时，包络线定理就显得更重要了。在这种时候，并不需要首先从 求 ，然后设法整理成式(5.1.8)那样的形式来求得 ，而可以用包络线定理，从 的s平面导出 的s平面，然后根据式(5.1.11)求得 ，省去很多麻烦的运算。,5.2 窄带随机信号的基本概念,定义：一个平稳随机信号
4、，若它的功率谱密度函数 具有如下形式(5.2.1) 而且信号的带宽 满足 ，则称此随机信号为窄带随机信号。 为窄带随机信号的中心频率。,图 5.9 窄带随机信号的功率谱密度,5.2 窄带随机信号的基本概念,可以把窄带随机信号表示为(5.2.2)式中 是窄带随机信号的慢变幅度，称为窄带随机信号的包络； 是信号的慢变相位，称为窄带随机信号的随机相位，它们都是随机过程。我们称式(5.2.2)为准正弦振荡。,图5.10 窄带随机信号的样本函数,5.2 窄带随机信号的基本概念,根据电路理论的知识，我们可以用幅度衰减的旋转矢量来表示一个衰减的正弦振荡 。这样，总和旋转矢量 就是这些幅度衰减的旋转矢量之和。
5、这些旋转矢量都是相同的角速度 ，并有相同的衰减规律。若坐标系以 旋转，则旋转矢量可以画成并不旋转的矢量。如图5.12所示。,图5.12 随机衰减矢量叠加示意图,5.2 窄带随机信号的基本概念,1) 和 分别是宽平稳随机过程，且 和 是联合宽平稳的 2) 和 的均值都为0，即 3) 和 的自相关函数相等，即 4) 和 的功率谱密度相等，即 5) 和 的平均功率相等，它们也等于窄带随机信号的平均功率，即 6) 7) 8),5.3 窄带高斯随机信号分析,假设被研究的随机变量可以表示成大量独立随机变且之和，其中每一个别随机变量对于总和只起微小的作用，则这个随机变量服从高斯分布。因此， 和 都服从高斯分
6、布，且相互独立。即所以， 和 的一维概率密度函数分别为(5.3.4)(5.3.5)和 的二维联合概率密度函数为(5.3.6),5.3 窄带高斯随机信号分析,随机过程 的一维概率密度函数为(5.3.15) 式(5.3.15)表明，窄带高斯信号的包络的一维分布服从瑞利分布。 随机过程 的一维概率密度函数为令 (5.3.16) 式(5.3.16)表明，窄带高斯信号的相位的一维分布是均匀分布的。,5.3 窄带高斯随机信号分析,随机过程 的一维概率密度为(5.3.21)(5.3.22) 式(5.3.22)表明，窄带高斯随机信号包络平方的一维分布服从指数分布。特别地，当 时，有(5.3.23) 此时，其均
7、值和方差分别为,5.4 窄带随机信号包络的自相关特性,综上所述， 自相关性的强弱只取决于 的包络 ，而与其高频振动项 无关。这样一来，利用窄带对称系统的包络线定理的概念，如果用冲激响应 的低通系统等效替代窄带系统，那么，该系统在白色过程的作用下，其输出响应必为 。因此，有(5.4.2) 其中， 为 的包络 自相关函数， 是冲激响应的包络 的自相关积分。(5.4.3),5.4 窄带随机信号包络的自相关特性,结论：白色过程通过窄带线性系统后，输出准正弦过程包络的自相关函数等于该过程的自相关函数的包络。即(5.4.9),图5.16 窄带系统及其等效低通系统的传输特性,5.5 正弦信号叠加窄带高斯噪声
8、的包络和相位的分布,正弦信号与窄带高斯噪声的叠加成为令则,5.5 正弦信号叠加窄带高斯噪声的包络和相位的分布,的两个正交分量 和 为它们是独立且同分布的，即 和 都服从均值为零、方差为 的高斯分布。因而对于给定的 值， 和 也必然是高斯分布的，而且相互独立。在给定的 的条件下， 和 的均值和方差为(5.5.8)(5.5.9)(5.5.10) 所以有,5.5 正弦信号叠加窄带高斯噪声的包络和相位的分布,在给定的 的条件下， 和 的一维概率密度分别为(5.5.11)(5.5.12) 因此，在信号相位 为条件下， 和 的二维联合概率密度函数为(5.5.12),5.5 正弦信号叠加窄带高斯噪声的包络和
9、相位的分布,图5.17 随机相位正弦信号与窄带高斯噪声叠加合成包络的分布,5.5 正弦信号叠加窄带高斯噪声的包络和相位的分布,下面分三种情况对式(5.5.26)进行讨论。1）当 时，即 ，此时无信号，而噪声总是有的，有(5.5.28)即 (5.5.29)这是我们熟悉的瑞利分布的概率密度形式。也就是说，此时合成包络服从瑞利分布。2） 不大，这说明信号和噪声互相都不能忽略，此时合成包络服从菜斯分布。,，即 ，此时说明信噪比大，信号比噪声强得多，输出合成包络主要取决于信号振幅P。 当 时，有 ，则有 。由式(5.5.24)得(5.5.30) 把它代人式(5.5.26)，得到(5.5.31) 此时，合成包络趋于以P为均值的高斯分布。,5.5 正弦信号叠加窄带高斯噪声的包络和相位的分布,Thank You !,
