1、学案 22 简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换自主梳理1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2_；(2)cos 2_11_；(3)tan 2_ ( 且 k )k2 4 22公式的逆向变换及有关变形(1)sin cos _ cos ；sin 22sin (2)降幂公式：sin 2_，cos 2_；升幂公式：1cos _，1cos _；变形：1sin 2sin 2cos 22sin cos _.自我检测1(2010陕西)函数 f(x)2sin xcos x 是 ( )A最小正周期为 2 的奇函数B
2、最小正周期为 2 的偶函数C最小正周期为 的奇函数D最小正周期为 的偶函数2函数 f(x)cos 2x2sin x 的最小值和最大值分别为 ( )A3,1 B2,2C3， D2，32 323函数 f(x)sin x cos x 的最小值是 ( )A1 B C. D112 124(2011清远月考)已知 A、 B 为直角三角形的两个锐角，则 sin Asin B ( )A有最大值 ，最小值 012B有最小值 ，无最大值12C既无最大值也无最小值D有最大值 ，无最小值12探究点一 三角函数式的化简例 1 求函数 y74sin x cos x4cos 2x4cos 4x 的最大值和最小值变式迁移 1
3、 (2011泰安模拟) 已知函数 f(x) .4cos4x 2cos 2x 1sin(4 x)sin(4 x)(1)求 f 的值；( 1112)(2)当 x 时，求 g(x) f(x)sin 2x 的最大值和最小值0，4) 12探究点二 三角函数式的求值例 2 已知 sin( 2)sin( 2) ，( ， )，求 2sin2tan 1 的值4 4 14 4 2 1tan 变式迁移 2 (1)已知 是第一象限角，且 cos ，求 的值513 sin 4cos2 4(2)已知 cos( ) ， 0，4 35故可知 ，32 474sin( ) ，4 45从而 cos 2sin(2 )22sin( )
4、cos( )4 42( ) .45 35 2425sin 2cos(2 )212cos 2( )412( )2 .35 725cos(2 ) (cos 2sin 2) ( )4 22 22 2425 725 .31250例 3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系第(3)小题则利用基本不等式求解
5、即可(1)证明 由 sin(2)3sin ，得 sin() 3sin( ) ，即 sin()cos cos( )sin 3sin( )cos 3cos()sin ，sin()cos 2cos( )sin ，tan( )2tan .(2)解 由(1)得 2tan ，即 2x ，tan tan 1 tan tan x y1 xyy ，即 f(x) .x1 2x2 x1 2x2(3)解 角 是一个三角形的最小内角，0 ，0x ，3 3设 g(x)2x ，则 g(x)2x 2 (当且仅当 x 时取“”)1x 1x 2 22故函数 f(x)的值域为(0， 24变式迁移 3 证明 因为左边 2sin xc
6、os xsin x cos x 1sin x cos x 12sin xcos xsin2x cos x 122sin xcos xsin2x cos2x 2cos x 1 2sin xcos x 2cos2x 2cos x sin x1 cos xsin x1 cos x1 cos x1 cos x 右边sin x1 cos xsin2x 1 cos xsin x所以原等式成立课后练习区1D 0 ，3sin 2sin ，6sin cos sin ，又sin 0，cos ，16cos( )cos() cos .162C 因为 ，4 4所以 ( ) .4 ( 4)所以 tan tan( 4) (
7、 4) .tan tan( 4)1 tan tan( 4) 3223B cos 212sin 2，12sin2 .又 ，14 ( 4，0)sin .124B f(x) 2tan x 2tan x1 2sin2x212sin x 2cos xsin x 2sin xcos x 4sin 2xf 8.(12) 4sin 65C 由 cos 2B3cos( AC)20 化简变形，得 2cos2B3cos B10，cos B 或 cos B1(舍)12sin B .326247解析 因为 为第二象限的角，又 sin ，35所以 cos ，tan ，45 sin cos 34所以 tan 2 .2tan
8、 1 tan2 24771 2解析 y2cos 2xsin 2xsin 2x1cos 2xsin 2x cos 2x1 sin 1，2 (2x 4)当 sin(2x )1 时，函数取得最小值 1 .4 28.12解析 cos 2sin( 4)cos2 sin222sin cos (sin cos ) ，222cos sin .129解 (1)sin 22sin cos ，cos ，(2 分)sin 22sin 原式 sin 402sin 20 sin 802sin 4012sin 1602sin 80 .(6 分)sin180 2016sin 20 116(2)原式 (9 分)3 4cos 2
9、 2cos22 13 4cos 2 2cos22 1 tan 4.(121 cos 221 cos 22 2sin222cos22分)10解 f(x) sin xcos xcos xsin 3 (2 x) 12 sin 2x cos 2x132 12sin 1.(4 分)(2x 6)(1)T ，故 f(x)的最小正周期为 .(6 分)22(2)因为 0x ，所以 2x .2 6 6 56所以当 2x ，即 x 时， f(x)有最大值 0，6 2 3(10 分)当 2x ，即 x0 时，f(x)有最小值 .6 6 32(12 分)11解 (1)f( )2cos sin 2 4cos3 23 3 31 2 .(4 分)34 94(2)f(x)2(2cos 2x1) (1cos 2x)4cos x3cos 2x4cos x 13(cos x )2 ，xR.(10 分)23 73因为 cos x1,1，所以，当 cos x1 时，f(x)取得最大值 6；当 cos x 时， f(x)取得最小值 .(14 分)23 73
