1、1等比数列考纲要求1了解等比数列与指数函数的关系2理解等比数列的概念3掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式；能在具体的 问题情境中， 识别数列的等比关系，并能运用有关知识解决问题来源:Z&xx&k.Com知识梳理1等比数列：一般地，如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q(q0) 表示，等比数列的通项公式为 an_.2等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，并且 G_.显然，只有同号的两个数才有等比中项3对于等比数列a n，当公比 q1 时，若已知首项 a1
2、和项数 n，求其前 n 项和时，可用公式Sn_进行求和；若已知首项 a1 和末项 an，求其前 n 项和时，可用公式 Sn_进行求和当公比 q1 时，该数列是各项不为零的常数列，此时 Sn_.4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a na m_(n，mN * )(2)若a n为等比数列，且 kl mn(k，l，m ，nN *)，则_(3)若a n， bn(项数相同)是等比数列，则 an(0) ， ， a ，a nbn， 仍是等比数列1an 2n anbn(4)公比不为1 的等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n 仍成等比数列，其公比为_基础自测1(
3、2012 江苏苏州高三第一次期末考 试) 在等比数列a n中，若 a3a5a78，则 a2a8_.2在数列a n与b n中，a 12,4a n1 a n0(nN *)，b n 是 an 与 an1 的等比中项，则b n的通项公式为_3.(2013盐城三调)在等比数列 an中，若 a22，a 632，则 a4_.4(2012 江苏徐州高三质检)在等比数列a n中，a 1a 2 ，a 3 a41，则 a7a 8a 9a 10 的值为_ 125(2012 浙江高考)设公比为 q(q0) 的等比数列a n的前 n 项和为 Sn，S 23a 22，S 43a 42，则q_.基础自测 14 ；2. n1
4、或 n1 ；3 8；4 12；(14) (14)5.解析：由已知 S4S 23a 43a 2，即 a4a 33a 43a 2，即 2a4a 33a 20，两边同除以 a2 得，2q2q30，即 q 或 q 1(舍)32思维拓展：1判断数列为等比数列有哪些方 法？提示：(1)定义法： q(q 是不等于 0 的常数， nN*) 数列a n是等比数列；也可用 q( q 是不等an 1an anan 1于 0 的常数，nN *，n2)数列 an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是 n 的初始值不同(2)等比中项公式法：a a nan2 (anan1 an2 0， nN*) 数列a n是等比数列2n
5、 12解决与等比数列有关问题的常见思想方法有哪些？提示：(1)函数思想：在等比数列 an中， an qn，它的各项是函数 y qx图象上的一群孤立的点(2)方a1q a1q程思想：准确分析 a1，q，an，Sn，n 之间的关系，通 过列方程 (组)可做到“知三求二” (3) 分类讨论思想：无论是等比数列的前 n 项和公式的给出， 还是等比数列单调性的划分都体 现了分类讨论思想的具体运用 (4)类比思想：等差数列中的“和” “倍数”可以与等比数列中的“积” “幂”相类比关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广(5)整体思想：等比数列a n的前 n 项和公式Sn qn(
6、q1)，常把 视为一个整体，其前 n 项和公式可写成 Snk kq n，k (q 1)a1 anq1 q a11 q a11 q a11 q a11 q2的形式，这对于解答填空题是很有帮助的探究突破【探究突破一】等比数列的判断与证明【例 1】 (2 012 湖北黄冈期末 )已知数列a n中，a 11，前 n 项和为 Sn，且 Sn1 Sn1(nN *)，32(1)求证：数列a n是等比数列，并求此数列的通项公式；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，求满足不等式 Tn 的 n 值1an 12Sn 2解：由 Sn1 Sn1，得当 n2 时， Sn Sn1 1，S n1 S n (SnS n1 )
7、，即32 32 32an1 an. (n2)32 an 1an 32又 a11，得 S2 a11a 1 a2，a2 . .32 32 a2a1 32数列 an是首项为 1，公比为 的等比数列，即 an n1 .32 (32)(2)数列 an是首 项为 1，公比为 的等比数列， 数列 是首项为 1，公比为 的等比数列32 1an 23Tn 3 .又S n2 n2，不等式 Tn 可化为 n3. n1 或 n2.1 (23)n1 23 1 (23)n (32) 12Sn 2 (32)【方法提炼】证明一个数列是等比数列，通常要找出这个数列相邻两项或几项的关系，再结合等比数列定义或等比中项的概念证明【针
8、对训练 1】(2012 江苏南京十二中月考 )已知数列a n中，a 11，a n1 2a n1(nN *)(1)设 bna n1，求证：b n是等比数列；(2)求数列 an的通项公式(1)证明： 2( nN*)，来源:学&科&网 Z&X&X& 2. bn是等比数列bn 1bn an 1 1an 1 2an 1 1an 1 bn 1bn又 b1a 112，b nb 12n1 2 n.(2)解：由(1)得 bn2 n，2na n1，a n2 n1.【探究突破二】等比数列基本量的运算【例 2】 已知等差数列a n满足 a22，a 58.(1)求 an的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列 bn中，
9、b 11，b 2b 3a 4，求b n的前 n 项和 Tn.解：(1)设等差数列a n的公差为 d，则由已知得Error!a1 0，d2.a na 1(n1)d2n2.来源:学科网 ZXXK(2)设等比数列b n的公比为 q，则由已知得 qq 2a 4，a46，q2 或 q3.等比数列 bn的各项均为正数， q2.b n的前 n 项和 Tn 2 n1.b11 qn1 q 11 2n1 2【方法提炼】来源:等比数列的基本量是首项 a1 和公比 q，建立关于它们的方程可确定等比数列，这也是方程思想的具体体现【针对训练 3】(2012 辽宁高考 )已知等比数列a n为递增数列，且 a a 10，2(
10、a na n2 )5a n1 ，则数列25an的通项公式 an_.解析：设数列a n的首项为 a1，公比 为 q，则 a q8a 1q9，a1q，由 2(ana n2 )5a n1 ，得212q25q20，解得 q2 或 q ，因 为数列a n为递增数列，所以 q2，a 12， an2 n.12【探究突破三】等比数列性质的应用【例 3】 在等比数列 an中，a n0(nN *)，公比 q(0,1)，且 a1a52a 3a5a 2a825，a 3 与 a5 的等比中项为 2，求数列a n的通项公式解：因为 a1a5 2a3a5a 2a825，所以 a 2a 3a5a 25. 又 an0，所以 a
11、3a 55.23 25又 a3 与 a5 的等比中项为 2，所以 a3a5 4.而 q(0,1)，所以 a3a 5.3所以 a34，a 51，q ，a116.所以 an16 n1 2 5 n.12 (12)【方法提炼】在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 mnpq( m，n，p，qN *)，则 amana paq”，可以减少运算量，提高解题速度【针对训练 3】(2012 江苏南京 盐城一模) 记等比数列a n的前 n 项积为 Tn(nN *)，已知am1 am1 2a m0，且 T2m1 128，则 m_.解析：a m1 am1 2a m0，a 2a m0.
12、a m2 或 am0(舍) 2mT2m1 a 1a2a3a2m1 a 2 2m1 128， m4.2m 1m【探究突破四】等比数列的综合应用【例 4】 (2012 江苏无锡洛社中学月考 )已知数列a n的首项 a1 ，a n1 ，n1,2，.35 3an2an 1(1)求证：数列 为等比数列来源:学,科,网(2)记 Sn ，若 Sn100，求最大正整数 n.1an 1 1a1 1a2 1an(3)是否存在互不相等的正整数 m，s，n，使 m，s，n 成等差数列且 am1，a s1，a n1 成等比数列？如果存在，请给出 证明；如果不存在，请说明理由解：(1)证明：由 an1 ，得 ， 1 ，3
13、an2an 1 1an 1 23 13an 1an 1 13an 13 13(1an 1)且 10， 10(nN *)，数列 为等比数列1a1 1an 1an 1(2)由(1)可求得 1 n1 ， 2 n1.1an 23 (13) 1an (13)Sn n2 n2 n1 ，1a1 1a2 1an (13 132 13n)13 13n 11 13 13n若 Sn100，则 n1 100 ，nmax99.13n(3)假设存在，则 mn2s，(a m1)( an1) (a s1) 2，an ， 2.3n3n 2 ( 3n3n 2 1)( 3m3m 2 1) ( 3s3s 2 1)化简得 3m3 n2
14、3 s，3m 3n2 23 s，当且仅当 mn 时等号成立3m n又 m，n，s 互不相等， 不存在互不相等的正整数 m，s，n.【方法提炼】等比数列的综合应用主要以通项公式、前 n 项和公式为载体，结合等比数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性通法；解答题“大而全” ，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查，常与函数、不等式、解析几何等内容相结合【针对训练 4】(2012 江苏南通高三第一次 调研) 已知等差数列 an的首项为 a，公差为 b，等比数列b n的首项为 b，公比为 a，其中 a，b 都是大于 1 的正整数，且 a1b 1，b 2a 3.(1)求 a 的 值
15、(2) 若对于任意的 nN *，总存在 mN *，使得 am3b n 成立，求 b 的值(3)令 Cna n1 b n，问数列C n中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由解：(1)由已知，得 ana( n1) b，bnba n1 .由 a1b 1，b2a 3，得 ab，aba2b.因 a，b 都是大于 1 的正整数，故 a2.又 ba，故 b3.再由 aba2b，得(a2) ba.由 ba，故(a2)bb，即( a3) b0.由 b3，故 a30 ，解得 a3.于是 2a3.根据 aN*，可得 a2.(2)由 a2，对于任意的 nN*，均存在
16、mN*，使得 b(m1)5b2 n1 ，则 b(2n1 m1) 5.又 b3，由数的整除性，得 b 是 5 的约数故 2n1 m11，b5.所以 b5 时，存在正自然数 m2 n1 满足题意(3)设数列C n中， Cn，Cn1 ，Cn2 成等比数列，由 Cn2 nbb2 n1 ，(Cn1 )2C nCn2 ，得(2nbbb2 n)2(2nbb2 n1 )(2nb2bb2 n1 )化 简，得 b2 n(n2) b2n1 .(*)当 n1 时，b1，等式(*) 成立，而 b3，不成立，当 n2 时，b4，等式 (*)成立当 n3 时，b2 n(n2)b2 n1 (n2)b2 n1 4b， 这 与
17、b3 矛盾这时等式(*) 不成立4综上所述，当 b4 时，不存在连续三项成等比数列；当 b 4 时，数列C n中的第二、三、四 项成等比数列， 这三项依次是 18,30,50.【考情分析】从近三年的高考试题来看，等比数列的定义、性质、通项公式及前 n 项和公式是高考的热点，是历年高考的必考内容要求学生会用定义证明一个数列是等比数列；能利用等比中项、通项公式与前 n 项和公式列方程，通过确定基本量或借助于等比数列的性质用整体代换的方法进行求值；要善于识别数列中的等比关系或转化为等比关系，并通过通项公式或前 n 项和公式解决相关的问题考查题型既有基本题，也有与等差数列、函数、方程、解析几何等知识有
18、关的综合题，难度较大【迁移应用】1.在正项等比数列a n中，a 3a1116，则 log2a2log 2a12_.解：因为等比数列a n中，a 3a1116，所以 a2a12a 3a1116，所以 log2a2log 2a12log 2(a2a12)log 2164.2. 在数列a n中，a n1 ca n(c 为非零常数)，前 n 项和为 Sn3 nk ，则实数 k 的值为_解析：依题意得，数列a n是等比数列，a 13k， a2S 2S 16，a 3S 3S 218， 则 6218(3 k)，由此解得 k1.3.(2014江西省七校联考)设各项都是正数的等比数列 an，S n 为前 n 项
19、和，且 S1010，S 3070，那么S40_.解析：依题意，数列 S10，S20S 10，S30S 20，S40S 30 成等比数列，因此有(S 20S 10)2S 10(S30S 20)，即(S2010) 210(70S 20)，故 S2020 或 S2030；又 S200，因此 S2030， S20S 1020，S 30S 2040，故S40S 3080，S 40150.4. (2014苏中三市、连云港、淮安调研)各项均为正数的等比数列a n中，a 2a 11.当 a3 取最小值时，数列a n的通项公式 an_.解析：法一：由 a a 1a3，a2a 11 及 an0 得 a3 a 1
20、24，当且仅当 a11 时取等号，2a1 12a1 1a1此时 a22，则 an2 n1 .法二：设公比为 q(q0)，则由条件得 a1qa 11，即 q ，从而 a3a 1q2，以下同解法一a1 1a15.已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 anS nn.(1)设 cna n1，求证：c n是等比数列；(2)求数列a n的通项公式解 (1)证明：a nS nn， a n1 S n1 n1. 得 an 1a na n1 1 ，2an1 a n1，2( an1 1) a n1， .an 1 1an 1 12首 项 c1a 11，又 a1a 1 1，a1 ，c1 .12 12又 cna n1
21、，故 cn是以 为首项， 为公比的等比数列12 12(2)由(1)知 cn n1 n an1 n.12 (12) (12) (12)6.设数列 （1）求证： 是等差数列；), aSSa且 满 足项 和 为的 前 na（2）若数列 .求证： 是等比数列.:满 足nb 6(53321 nnbb b5解析（1） )1(21nnaS得 ， ,1)()( 11 nnaa 1)()2(nna-得 故 ，即数列a n是等差数列.1)( nn 由 a2=1,得 a1=-1,故公差为 2，a n=2n-3 .2,2,26)(4 ),(,)1()5()32(,6)()( 11 11 的 等 比 数 列是 公 比 为即时当也 适 合而 时当 设 nnn nnnnn bbNbTbT
