1、高中物理 巧用万有引力定律估测天体质量和密度一、考点突破：考点 课程目标 备注估测天体质量和密度1. 掌握估测天体质量天体运动模型2. 掌握估测天体质量和密度需要已知的物理量高考重点，每年必考，重点考查利用天体运动模型估测中心天体的质量和密度要知道哪些物理量二、重难点提示：重点：掌握估测天体质量和密度需要已知的物理量。难点：天体运动模型的建立。一、解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即。2222 4TrmrvmarMGn（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即 mg（g 表2RMmG示天体表面的重力加速度） 。二、天体质量的估算1
2、. 在星球表面利用重力加速度进行估测对于没有卫星的天体（或虽有卫星，但不知道有关卫星运动的参量），可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力的关系来计算天体的质量。 GgRMmg22R为天体的半径g天体表面的重力加速度【核心归纳】求地球质量需要知道地球表面的重力加速度和地球半径。2. 利用绕中心天体匀速圆周运动的天体的参数进行估算原理：对于有卫星的天体，可以认为卫星绕天体中心做匀速圆周运动，天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力。（1）若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的轨道半径为 r，卫星运动的周期为 T，据牛顿第二定律 224MGmrrT卫中 卫 234GTM中（2）若已知卫星绕中
3、心天体做圆周运动的轨道半为 r，卫星运动的线速度为 v，据牛顿第二定律 rvmMG22r中中GrvM2中（3）若已知卫星运动的线速度 v 和运行周期 T，则据牛顿第二定律T3中 rv22r中中vm2r2中中说明：（1）明确被估测的天体为中心天体；（2）需要知道的物理量均为描述卫星的物理量（v、r、T 或 ）中的任意两个。三、天体密度的估算1. 在星球表面利用重力加速度进行估测 RGgRMRmGg 43342 中中需要知道星球半径及星球表面的重力加速度。2. 利用绕中心天体匀速圆周运动的天体的参数进行估算 322224rTrv中由上式可以看出需要知道描述卫星参数（v、r、T 或 ）中的任意两个，
4、而且还要知道中心天体的半径。特例：若卫星为近地卫星，则：rR，所以 ，32244RMrTmrG中。23GT中故：只需知道天体运动的周期 T。例题 1 （福建）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为 N。已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为（ ）A. B. C. D. Gmv2v4Nv2Gv4思路分析：设卫星的质量为 m由万有引力提供向心力，得 RM22mg Rv2由已知条件：m 的重力为 N 得Nmg 由得 g ，代入得：RmNNmv2代入得 M ，故 B 项正确。Gv4答案
5、：B例题 2 （新课标卷）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期为 T，引力常量为 G。则地球的密度为（ ）A. B. 023GT gG023C. D. T思路分析：在两极物体所受的重力等于万有引力，即 ，在赤道处的物体02mRM做圆周运动的周期等于地球的自转周期 T，则 ，则密度g24 。B 正确。34RMGg203 )(302g答案：B知识脉络：1. 解决天体（卫星）运动问题的基本思路 （ 1） 天 体 运 动 的 向 心 力 来 源 于 天 体 之 间 的 万 有 引 力 ， 即 G2rMm man mrv2 m2
6、r m24Tr。 （ 2） 在 中 心 天 体 表 面 或 附 近 运 动 时 ， 万 有 引 力 近 似 等 于 重 力 ， 即 G2R mg（ g表示 天 体 表 面 的 重 力 加 速 度 ） 。 2. 质量和密度的估测天 体 质 量 和 密 度 的 计 算 （ 1） 利 用 天 体 表 面 的 重 力 加 速 度 g和 天 体 半 径 R.。 由 于 G2RMm mg， 故 天 体 质 量 M G2， 天 体 密 度 V43。 （ 2） 通 过 观 察 卫 星 绕 天 体 做 匀 速 圆 周 运 动 的 周 期 T和 轨 道 半 径 r。 由 万 有 引 力 等 于 向 心 力 ， 即
7、 G2Rm r2， 得 出 中 心 天 体 质 量 M234GTr； 若 已 知 天 体 半 径 R， 则 天 体 的 平 均 密 度 3234TrMV； 若 天 体 的 卫 星 在 天 体 表 面 附 近 环 绕 天 体 运 动 ， 可 认 为 其 轨 道 半 径 r等 于 天体 半 径 R， 则 天 体 密 度 2G。 可 见 ， 只 要 测 出 卫 星 环 绕 天 体 表 面 运 动 的 周期 T， 就 可 估 算 出 中 心 天 体 的 密 度 。 满分训练：1798 年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量 G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知万有引力常量 G，地球表
8、面处的重力加速度 g，地球半径 R，地球上一个昼夜的时间 T1（地球自转周期） ，一年的时间 T2（地球公转周期） ，地球中心到月球中心的距离 L1，地球中心到太阳中心的距离 L2。你能计算出（ ）A. 地球的质量 m 地 B. 太阳的质量 m 太 GgR2 234C. 月球的质量 m 月 D. 可求月球、地球及太阳的密度2134T思 路 分 析 ： 对 地 球 表 面 的 一 个 物 体 m0 来 说 ， 应 有 m0g ， 所 以 地 球 质 量 m 地20RG中 ，选项 A 正确；对地球绕太阳运动来说，有 m 地 L2，则 m 太 GgR2 2L中4T，B 项正确。对月球绕地球运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月234TL球的卫星运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D 项错误。答案：AB
