1、专题限时集训( 九) 圆锥曲线的定义、方程及性质(建议用时：60 分钟)一、选择题1(2018郑州模拟 )已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1，F 2，离心率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若AF 1B 的周长为2312，则 C 的方程为( )A. y 21 B. 1x23 x23 y22C. 1 D. 1x29 y24 x29 y25D 由椭圆定义可知：|AB|AF 1|BF 1|AF 2| BF2|AF 1| BF1|2a 2a12，即 a3，又e ，解得：b 25，椭圆 C 的方程为： 1，故选 D.ca a2 b2a 23 x29
2、y252(2018武汉模拟 )已知双曲线 C： 1 的一条渐近线与圆x2a2 y2b2x2y 26x 2y90 相切，则双曲线 C 的离心率等于 ( )A. B.54 53C. D.32 43A 双曲线 C： 1 的一条渐近线 bxay 0，圆x2a2 y2b2x2y 26x 2y90 化为标准方程为：(x3) 2 (y1) 21，双曲线C： 1 的一条渐近线与圆 x2y 26x 2y 90 相切，x2a2 y2b2d 1，即 4b3a，e ，故选 A.|3b a|b2 a2 ca 1 b2a2 543(2018江门模拟 )F 是抛物线 y22x 的焦点，点 P 在抛物线上，点 Q 在抛物线的
3、准线上，若 2 ，则|PQ|( )PF FQ A. B492C. D372A 如图，设抛物线的准线和对称轴的交点为 K.过点 P 作准线的垂线，垂足为 M，则|PF|PM| ，由QFKQPM，得 ，即 ，所以|FK|MP| |QF|QP| 1|MP| 13|MP| 3，故 |PF|3，|QF| ，所以| PQ|PF| |QF| ，选 A.32 924(2018天津十二中学联考)已知双曲线 1(a0，b0)的右焦点x2a2 y2b2到抛物线 y2 2px(p0) 的准线的距离为 4，点(2,2 )是双曲线的一条渐近线与2抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为( )A. 1 B. 1x24 y25
4、 x25 y24C. 1 D. 1x26 y23 x23 y26D 将 (2,2 )代入 y22px，可得 p2，抛物线方程为 y24x ，准线方程2为 x1，则 c14， c3，又 ，c 2a 2b 2，可得ba 222 2a ，b ，双曲线方程为 1，故选 D.3 6x23 y265(2018长春模拟 )已知椭圆 1 的左右焦点分别为 F1，F 2，过 F2x24 y23且垂直于长轴的直线交椭圆于 A，B 两点，则ABF 1 内切圆的半径为( )A. B143C. D.45 34D 由 1 得 a2，c1，根据椭圆的定义可知ABF 1的周长为x24 y234a8，ABF 1面积为 |F1F
5、2|yAy B| 23 3 8r，解得 r ，故12 12 12 34选 D.6(2017全国卷 )已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右顶点分别为x2a2 y2b2A1，A 2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bxay 2ab0 相切，则 C 的离心率为( )A. B.63 33C. D.23 13A 由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心坐标为 (0,0)，半径为 a.又直线 bxay2ab0 与圆相切，圆心到直线的距离 d a，解得 a b，2aba2 b2 3 ，ba 13e .ca a2 b2a 1 (ba)2 1 (13)2 63故选 A.7(2018南阳模拟 )抛物线 C：y
6、22px(p0) 的焦点为 F，过 F 且倾斜角为60的直线为 l，M (3,0)，若抛物线 C 上存在一点 N，使 M，N 关于直线 l 对称，则 p( )A2 B3 C4 D5A M，N 关于过 F 倾斜角为 60的直线对称， |MF |NF |，由抛物线定义知，|NF|等于点 N 到准线的距离，即| NF|x N ，由于|MF | (3)，p2 p2x N (3)，x N 3，代入抛物线方程可得p2 p2yN ，k MN ，解得 p2，故选 A.6p 6p3 3 338(2018德州模拟 )若双曲线的中心为原点， F(0，2)是双曲线的焦点，过 F 的直线 l 与双曲线相交于 M, N
7、两点，且 MN 的中点为 P(3,1)，则双曲线的方程为( )A. y 21 By 2 1x23 x23C. x 21 Dx 2 1y23 y23B 由题意设该双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，y2a2 x2b2M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，则 1 且 1，则y21a2 x21b2 y2a2 x2b2 ，y1 y2y1 y2a2 x1 x2x1 x2b2即 ，则2y1 y2a2 6x1 x2b2 1，即 b23a 2，则 c24a 24，所以y1 y2x1 x2 6a22b2 1 23 0a21，b 23，即该双曲线的方程为 y2 1.故选 B.x23二、填空题9(2018梧州
8、模拟 )已知双曲线 1( a0，b0) 的右顶点为 M，离心x2a2 y2b2率为 ，过点 M 与点(0，2)的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的3方程为_ 1 由 e ，a 2b 2c 2得 b a，所以双曲线的渐近线方x22 y24 ca 3 2程为 y x，由 得 a ，所以双曲线的方程为 1.20 2a 0 2 2 x22 y2410(2018唐山模拟 )抛物线 M：y 22px(p0)与椭圆N： 1(ab0)有相同的焦点 F,抛物线 M 与椭圆 N 交于 A，B，若x2a2 y2b2F，A，B 共线，则椭圆 N 的离心率等于_1 由题意，知 F ，c ，即 p2c .由抛物线与
9、椭圆的对称性知，2 (p2，0) p2两曲线的公共点的连线和 x 轴垂直，所以|AB| AF|BF| ，又由抛物线的2b2a定义知|AB| 2p，所以 4c ，即 c22aca 2 0，e 22e10，解得2b2ae 1.211(2018珠海模拟 )过点 M(1,1)作斜率为 的直线 l 与椭圆13C： 1(ab0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 Cx2a2 y2b2的离心率为_设 A(x1，y 1)，B(x 2， y2)，由题得，63Error!，b 2(x1x 2)(x1x 2)a 2(y1y 2)(y1y 2)0，2b 2(x1x 2)2a 2(y1y 2)0
10、，b 2(x1x 2)a 2(y1y 2)， ，a 23b 2，b2a2 y1 y2x1 x2 13a 23( a2c 2)，2a 23c 2，e .6312(2018揭阳模拟 )已知双曲线 x2 1 的离心率为 ，左焦点为 F1，y2b2 52当点 P 在双曲线右支上运动、点 Q 在圆 x2( y1) 21 上运动时，| PQ|PF 1|的最小值为_依题意可知 a1，b ，设 B(0,1)，由| PF1| |PF2|2 得52 12|PQ|PF 1|PQ|PF 2|2|QF 2|2，问题转化为求点 F2到圆 B 上点的最小值，即|QF 2|min|BF 2|1 1 ，故(|PQ| |PF 1
11、|)min 2 .32 12 12 52三、解答题(教师备选)(2017全国卷 )已知抛物线 C：y 22x，过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆(1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上；(2)设圆 M 过点 P(4，2)，求直线 l 与圆 M 的方程解 (1)证明：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，l：x my 2，由Error!可得 y22my40，则 y1y24.又 x1 ，x 2 ，故 x1x2 4.y212 y22 y1y224因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为 1，y1x1y2x2 44所以 OAOB，故坐标原点 O
12、 在圆 M 上(2)由(1)可得 y1y 22m，x1x 2m(y 1y 2)42m 24，故圆心 M 的坐标为( m2 2，m)，圆 M 的半径 r .m2 22 m2由于圆 M 过点 P(4，2)，因此 0，AP BP 故(x 14)(x 24)(y 12)(y 22)0，即 x1x24( x1x 2)y 1y22(y 1y 2)200.由(1)可知 y1y24，x 1x24，所以 2m2m10，解得 m1 或 m .12当 m1 时，直线 l 的方程为 xy 20，圆心 M 的坐标为(3,1)，圆 M 的半径为 ，10圆 M 的方程为( x3) 2( y1) 210.当 m 时，直线 l
13、 的方程为 2xy 40，圆心 M 的坐标为 ，圆12 (94， 12)M 的半径为 ，854圆 M 的方程为 2 2 .(x 94) (y 12) 851613(2018西安模拟 )已知椭圆 E： 1(ab0)的半焦距为 c，原点 Ox2a2 y2b2到经过两点(c,0)，(0，b) 的直线的距离为 c.12图 254(1)求椭圆 E 的离心率：(2)如图 254，AB 是圆 M：(x2) 2(y1) 2 的一条直径，若椭圆 E 经52过 A， B 两点，求椭圆 E 的方程解 (1)过点(c,0), (0 ，b) 的直线方程为 bxcybc0，则原点 O 到该直线的距离 d ，bcb2 c2
14、 bca由 d c，得 a2b2 ，解得离心率 .12 a2 c2 ca 32(2)法一：由(1)知，椭圆 E 的方程为 x24y 24b 2.依题意，圆心 M(2, 1)是线段 AB 的中点，且| AB| ，10易知，AB 与 x 轴不垂直，设其方程为 yk(x2) 1，代入得(14k 2)x28k(2 k1)x 4(2k1) 24b 20，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 ，8k2k 11 4k2 42k 12 4b21 4k2由 x1x 24，得 4，解得 k ，8k2k 11 4k2 12从而 x1x282b 2，于是|AB| |x1x 2|1 (12)2 ，52 x1 x22 4x1x2 10b2 2由|AB| ，得 ，10 10b2 2 10解得 b23，故椭圆 E 的方程为 1.x212 y23
