1、小题分层练(十) 压轴小题巧解练(2)(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2018东莞高三二模 )已知函数 f(x)3x 的图象上的两点(x 0，y 0)，ax(4x 0， x0 y0)关于原点对称，则函数 f(x)( )A. 在(，0) 内单调递增B. 在(0，)内单调递减C在 (，0)(0 ，)内单调递减D. 在(，0) (0， )在内单调递增A 易知函数 f(x)3x 为奇函数，因为其图象上的两点( x0，y 0)ax(4x 0， x0 y0)关于原点对称，所以Error!解得Error!即6 1，解得a2a14，即 f(x)3x ，则 f(x)3x 在(，0)内单调递增，故选 A.1
2、4x 14x2(2018江西高三质监 )函数 f(x)的定义域为 D，若满足：f( x)在 D 内是单调函数；存在a，b D 使得 f(x)在a，b上的值域为 ，则称函数 f(x)a2，b2为“成功函数” 若函数 f(x)log m(mx2t)(其中 m0，且 m1)是“成功函数” ，则实数 t 的取值范围为( )A(0， ) B.( ，18C. D.18，14) (0，18)D 无论 m1 还是 0m1，f(x )log m(mx2t)都是 R 上的单调增函数，故应有Error! 则问题可转化为求 f(x) ，即 f(x) logm(mx2t) ，即x2 x2mx2tm x 在 R 上有两个
3、不相等的实数根的问题，令 m x(0)，则12 12mx2tm x 可化为 2 2t0，则Error!故 0t ，选 D.12 183设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x)对任意的 xR ，都有 f(x2)f(x 2)，且当 x2,0时，f(x) x1，若在区间 (2,6内关于 x 的方程(12)f(x)log a(x2)0(a1)恰好有 3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是( )A(1,2) B(2，)C(1， ) D( ，2)34 34D 对于任意的 xR，都有 f(x2)f(2x) ，函数 f(x)是一个周期函数，且 T4.又当 x2,0时，f(x) x1，且函数 f
4、(x)是定义在 R 上的偶函数，(12)若在区间(2,6内关于 x 的方程 f(x)log a(x2) 0 恰有 3 个不同的实数解，则函数 yf(x )与 ylog a(x2) 在区间(2,6上有三个不同的交点，如下图所示：又 f(2) f(2)3，则对于函数 ylog a(x2)，由题意可得，当 x2 时的函数值小于 3，当x6 时的函数值大于 3，即 loga43，且 loga83，由此解得 a2.344已知椭圆 C： 1 的左、右顶点分别为 A，B ，F 为椭圆 C 的右焦x24 y23点，圆 x2y 24 上有一动点 P，P 不同于 A，B 两点，直线 PA 与椭圆 C 交于点 Q，
5、则 的取值范围是( )kPBkQFA. B(，0)( ， 34) (0，34) (0，34)C(，1)(0,1) D(，0)(0,1)D 由题意得 A(2,0)， B(2,0)，F(1,0)，PA PB.设点 Q 的坐标为(x 0，y 0)，则 kQAkQF y0x0 2 y0x0 1 y20x0 2x0 1 .12 3x204x0 2x0 1 32 x04x0 1 ，kPBkQF 1kQAkQF 4x0 13x0 2 43(1 1x0 2)又 x0(2,2)且 x01， 0 或 0 1，43(1 1x0 2) 43(1 1x0 2)故 的取值范围为(，0)(0,1)选 D.kPBkQF5已知
6、椭圆 E： 1(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为x2a2 y2b2M，直线 l：3x 4y 0 交椭圆 E 于 A，B 两点若 |AF|BF |4，点 M 到直线l 的距离不小于 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )45A. B.(0，32 (0，34C. D.32，1) 34，1)A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为 4a2(| AF|BF|) 8，所以 a2.又 d ，所以|30 4b|32 42 451b2，所以 e .因为 1b2，所以 0e .ca 1 b2a2 1 b24 32(教师备选)(2018河南郑州高三二模 )如图，已知抛
7、物线 C1 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点 (2,4)，圆 C：x 2y 24x30，过圆心 C2 的直线 l 与抛物线和圆分别交于 P，Q，M ，N ，则|PN| 4| QM|的最小值为( )A. 23 B. 42C. 12 D. 52A 由题意抛物线过定点(2,4)，得抛物线方程 y2 8x，焦点为 F(2,0)圆的标准方程为( x2) 2y 21，所以圆心为(2,0)，半径 r1.由于直线过焦点，所以有 ，又|PN| 4| QM|(PF1)(4 QF4)1PF 1QF 2p 12PF4QF52(PF4QF) 52 523，当且仅(1PF 1QF) (5 4QFPF PFQF)当
8、 PF2QF 时等号成立选 A.6抛物线 C1：y x2(p0)的焦点与双曲线 C2： y 21 的右焦点的连12p x23线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则p( )A. B.316 38C. D.233 433D 经过第一象限的双曲线 C2的渐近线方程为 y x.抛物线 C1的焦点为33F1 ，双曲线 C2的右焦点为 F2(2,0)因为 y x2，所以 y x，所以抛(0，p2) 12p 1p物线 C1在点 M 处的切线斜率为 ，即 x0 ，所以 x0 p.因为 F1(x0，x202p) 33 1p 33 33， F2(2,0)，M 三
9、点共线，所以 ，解得 p ，故选(0，p2) ( 33p，p6)p2 00 2p6 p233p 0 433D.(教师备选)(2018辽宁大连高三一模 )若直线 kxyk10(k R )和曲线E：y ax3bx 2 (b0)的图象交于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C (x3，y 3)(x1x 2x 3)53三点时，曲线 E 在 A、C 点处的切线总是平行的，则过点(b，a)可作曲线 E 的几条切线( )A. 0 B. 1C. 2 D. 3C 直线 kx yk10(k R)过定点(1,1)，由题意可知：定点(1,1) 是曲线 E：y ax 3bx 2 (b0)的对称中心，53Erro
10、r!解得Error!，所以曲线 E：y x3x 2 ，(b，a) .13 53 ( 1，13)f(x)x 22x，设切点 M(x0，y 0)，则 M 纵坐标 y0 x3x ，又 f(x 0)x 2x 0，13 20 53 20切线的方程为：y (x 2x 0)(xx 0)，(13x30 x20 53) 20又直线过定点 ， (x 2x0)(1x 0)，得( 1，13) 13 (13x30 x20 53) 20x 3x 020，(x x 0) 2(x01)0，即(x 01)(x x 02)0，30 30 20解得 x02 或 1，故可做两条切线，选 C.7(2018昆明二模 )已知函数 f(x)
11、 k (ln xx)，若 x1 是函数 f(x)的唯exx一极值点，则实数 k 的取值范围是 ( )A( ，e B(，e)C(e， ) De，)A 由函数 f(x) k (ln xx)，可得 f(x) k exx exx exx2 (1x 1) x 1x，f( x)有唯一极值点 x1，f(x )0 有唯一根 x1， k0 无(exx k) exx根，即 yk 与 g(x) 无交点，可得 g(x) ，由 g(x)0 得，g(x)exx exx 1x2在1， ) 上递增，由 g(x )0 得，g(x)在(0,1) 上递减，g(x) ming(1)e，ke，即实数 k 的取值范围是(，e ，故选 A
12、.8(2018广东茂名高三二模)若对任意的 x0，不等式 x22m ln x1(m0)恒成立，则 m 的取值范围是( )A1 B1，)C2，) De，)A 由已知可得 x22mln x 10 对任意的 x0 恒成立，设 f(x)x 22mln x1，则 f(x) 2x ，2mx 2x2 mx当 m0 时 f(x )0 在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，又 f(1)0， 在(0,1) 上 f(x)0，不合题意；当 m0 时，可知 f(x)在(0， )单调递减，在( ，)单调递增，要使m mf(x)0 在(0 ， ) 上恒成立，只要 f( )0，令 g(m)f ( )m m ln
13、m mm1(m 0) ， g(m)ln m，可知 g(m)在(0,1) 上单调递增，在(1 ，)上单调递减，又 g(1)0，g(m) 0，g(m)0，m1.故选 A.9已知函数 f(x)x 3ax 24 在 x2 处取得极值，若 m，n1,1，则 f(m)f(n) 的最小值是 ( )A13 B15C10 D15A 求导得 f( x)3x 22ax，由函数 f(x)在 x2 处取得极值知 f(2)0，即342a20，所以 a3.由此可得 f(x)x 33x 24，f(x) 3x 26x，易知 f(x)在1,0)上单调递减，在(0,1 上单调递增，所以当 m1,1 时，f (m)minf (0)4
14、.又因为 f( x)3x 26x 的图象开口向下，且对称轴为 x1，所以当 n1,1 时，f (n)minf(1)9.故 f(m)f(n)的最小值为13.10(2018四川德阳高三二诊)如图 43，过抛物线 y24x 的焦点 F 作倾斜角为 的直线 l，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于 A、B 、C 点，令 1， 2，则当 时， 1 2 的值为( )|AF|BF| |BC|BF| 3图 43A3 B4 C5 D6B 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由过抛物线 y24x 的焦点的直线的性质可得|AB|x 1x 22 ，4sin260 163x 1x 2 ，又 x1x2 1，可
15、得 x13，x 2 ，103 p24 13分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，则 1 |AF|BF| |AE|BD|3，同理可得 21， 1 24，故选 B.3 113 1 |BC|BF|二、填空题11(2018惠州二模 )已知函数 f(x)对任意的 xR，都有 f f ，(12 x) (12 x)函数 f(x1)是奇函数，当 x 时，f(x)2x ，则方程 f(x) 在区间12 12 123,5内的所有零点之和为_4 函数 f(x1)是奇函数，函数 f(x1)的图象关于点 (0,0)对称，把函数 f(x1)的图象向右平移 1 个单位可得函数 f(x)的图象，即函数 f(x
16、)的图象关于点(1,0) 对称，则 f(2x )f(x)又f f ，f(1x) f(x)，从而 f(2x )f (1x)，(12 x) (12 x)f(x1)f(x)，即 f(x 2)f(x1)f(x) 函数 f(x)的周期为 2，且图象关于直线 x 对称，画出函数 f(x)的图象如12图所示：结合图象可得 f(x) 在区间3,5内有 8 个零点，且所有零点之和为12244.12(教师备选)已知在直角梯形 ABCD 中，ABAD ，CD AD ， AB2AD2CD 2，将直角梯形 ABCD 沿 AC 折叠成三棱锥 DABC，当三棱锥 DABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为_已知直角梯形
17、ABCD，ABAD，CDAD，AB2AD2CD 2，沿43AC 折叠成三棱锥，如图：AB2，AD1，CD1， AC ，BC ， BCAC ，2 2取 AC 的中点 E，AB 的中点 O，连接 DE，OE，当三棱锥体积最大时，平面 DCA平面 ACB，OB OA OCOD，OB1，就是外接球的半径为 1，此时三棱锥外接球的体积： 13 .43 4312(2018沈阳二模 )已知椭圆 1 的右焦点为 F，P 是椭圆上一点，x216 y27点 A(0,3 )，当 APF 的周长最大时， APF 的面积为_3 椭圆 1 中， a4，b ，c3，由题意，设 F是左120311 x216 y27 7焦点，
18、则APF 周长|AF| |AP|PF |AF | AP|2a|PF|86| PA|PF|14|AF |(A，P，F三点共线时，且 P 在 AF的延长线上，取等号)，此时kAP ， AFF ，33FFP ，设| PF| x，则|PF|8x，由余弦定理得(8x)232x 2362 6xcos ，x ，所以APF 的面积 SS AF F S 23 1411PF F 6 .12 (33 141132) 12031113(2018安庆二模 )锐角三角形的三个内角分别为 A、B 、C，sin(AB )，sin C ， AB6，则ABC 的面积为_15 35126 sin(AB )sin Acos Bsin Bcos A ，615sin Csin(A B)sin Acos Bsin Bcos A ，35sin Acos B ，sin Bcos A ，25 15sin 2A(1sin 2B) ，sin 2B(1sin 2A) ，425 125sin 2Asin2B ，(425 sin2Asin2B)(125 sin2Asin2B)sin2Asin2B ，sin Asin B ， 6 2225 6 25S absin C sin C6( 2)12 csin A2sin Ccsin Bsin C 6
